Exercícios - Séries de Fourier 2023-1

1.5. Ache a série de Fourier da função $f$ definida por $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{se}\ -\pi \leq x < 0, \\ 1, & \text{se}\ 0 \leq x \leq \pi/2, \\ 0, & \text{se}\ \pi/2 < x \leq \pi. \end{cases}$ 1.5. \frac{1}{4} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cos(2n-1)x + \sen(2n-1)x + \sen 2(2n-1)x}{2n-1} Qual é a série de Fourier de $f$? 1.8. Ache a série de Fourier da função $f$ definida por $f(x) = \begin{cases} -a, & \text{se}\ -\pi \leq x < 0, \\ a, & \text{se}\ 0 \leq x \leq \pi. \end{cases}$ Considere o caso particular $a=\pi/4$ e compare com (1.14). 1.8 \frac{4a}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right) RESPOSTA 2.4. (a) Mostre que a série de Fourier da função periódica \mathit{f} definida por f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}0, & \text{se} \;-\pi \leq x < 0, \\[3pt] x^2, & \text{se} \; 0 \leq x < \pi, \end{array} \right. é \frac{\pi^2}{6} + 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos nx}{n^2} + \pi\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sin nx}{n} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)x}{(2n-1)^3}. (b) Esboce o gráfico da soma da série acima no intervalo -5\pi \leq x \leq 5\pi. (c) Considerando o comportamento da série nos pontos x = 0 e x = \pi, obtenha as somas 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{12} \text{e} 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}. (d) No item anterior, deduza a segunda soma da primeira. (\text{Sugestão}. Some 2\sum\Big((1/2n)^2 \Big) a ambos os lados.) 1 5 flat Mo TEK ro l O E KE MZ O IT 2 SA F IT I a fif'm on I tan f an I 1 fiascos mtg da I cos nai da sinning E singed E.FI n a n ans O n par bn f 1 feel sin nye da f sininasan Leni lcosfnth 4 life n 2k k 112 why n 2k 1 k o e Sf la q t É am cos that bn sin nut mole que bn o se n 2k he par n 4k k 1,2 bn Ey se n 2k K imper n 4K 2 4 1,2 n 2 ze e 1 1,3 k Ze i n 41 2 l 1,2 bn l 1,2 portanto Stian E E qq.it coskan na t.fi at sincean isa t If I sin can c a St Cat I I IF Icosynyutsincun in iSin 2C2 x 1 8 f la 4 9 IT E ar o a O E d f it IT note que f é imper an o n o e entao bn I flat sin inal da I a sin inside ten cosine Zay cos hit 1 2g l c n n f 4g n impan O n por Sf a q É an costa bn sin na Steel If If singha 4g sina sing sing t se a i steal É singing 2 4 I a feel a 4 o it e a so 22 O E a s it ao f 1 a da I an I a cos na da't't aging I I zaninal day n It M f site I faced It costs an f tosh t sing I ft c n't lo o bn f f a sin na de I I l accosted It I secos inai da It fittest In using I I sings da I f raff In itsy o cosine 1 I fam 2 se n forimpar h 2k 7 K 1 2 Sf Cal I 2 If It cos chat t.fi t sin inat b Como St la converge pl f on de f e continue e pl flatfeet once f é des continuo o grafico de Sf e t A Sino o cos o I c em n o Sf107 fie o I 2 Ijf to ic I i t t t 1 It ft I em a IT Steal Azt I If 2 É Igt to I I 2 Ei Ci 15 25 1 É I It ft ft t I (d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} Valo que \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{1}{2^2} \cdot 12 + \frac{1}{2^2} \cdot 9 + \cdots = \frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots\right), \text{isto é}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{4} \text{então, como} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} \times \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} = \frac{\pi^2}{12} \Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{\pi^2}{12} + \frac{1}{4}S \text{Como} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2}( ) (x) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} \Rightarrow S = \left(\frac{\pi^2}{12} + \frac{S}{4}\right) + \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{\pi^2}{12} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2} \therefore S = \frac{\pi^2}{6} \underline{+} 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots ...