P2 - Fundamentos de Eletromagnetismo 2023-1

Vers˜ao 000 Vers˜ao Nome Turma 000 Vers˜ao 000 somente para con- ferˆencia FIS069: Primeira Prova 1(a) 1(b) 1(c) 2(a) 2(b) 3(a) 3(b) 3(c) 3(d) Nota Marque suas respostas no quadro acima e a ´ultima resposta literal `a caneta . Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final calcule os valores num´ericos. Entregue as folhas dos calculos. Assim, ´e possivel analisar os racioc´ınios e n˜ao somente os resultados. ´E permitido o uso de calculadora. 1 Uma barra n˜ao condutora de comprimento L =5,00 cm tem uma carga q =−4,00 fC uniformemente distribuida. a) Qual ´e a densidade linear de cargas na barras? b) Determine o campo el´etrico produzido no ponto P, situado no eixo x a uma distˆancia a1 =120 cm. c) Determine o campo el´etrico produzido no ponto P, situado no eixo x a uma distˆancia a2 =50,0 m. (a) (b) (c) Solu¸c˜ao: a) Densidade linear de cargas λ = q L = −4,00 fC 5,00 cm =−8,00 × 10−14 C/m b) Integrando o elemento de campo dE = λdx 4πε0x2 de x = a + L at´e x = a temos: E1 = q 4πε0a1(a1+L) =−2,40 × 10−5 V/m c) E2 = q 4πε0a2(a2+L) = q 4πε0a2 2 =−1,44 × 10−8 V/m (a) (2 pontos) (A) −3,71 × 10−14 C/m, (Correto:B) −8,00 × 10−14 C/m, (C) −9,97 × 10−14 C/m, (D) −1,43 × 10−13 C/m, (E) −2,40×10−14 C/m, (F) −4,42×10−14 C/m, (G) −3,06×10−13 C/m, (H) −1,66×10−13 C/m, (I) −1,86×10−13 C/m, (J) −2,21×10−13 C/m, (K) −2,63×10−13 C/m, (L) −1,76×10−14 C/m, (M) −1,26× 10−13 C/m, (N) −3,09 × 10−14 C/m, (O) −6,59 × 10−14 C/m, (b) (2 pontos) (A) −4,57 × 10−10 V/m, (Correto:B) −2,40 × 10−5 V/m, (C) −7,09 × 10−5 V/m, (D) −2,43 × 10−10 V/m, (E) −1,23 × 10−9 V/m, (F) −6,06 × 10−9 V/m, (G) −6,58 × 10−6 V/m, (H) −3,17 × 10−5 V/m, (I) −1,82×10−9 V/m, (J) −3,93×10−9 V/m, (K) −1,66×10−5 V/m, (L) −1,36×10−9 V/m, (e1:M ) −2,40× 10−9 V/m, (N) −5,90 × 10−5 V/m, (O) −4,70 × 10−9 V/m, (c) (2 pontos) (Correto:A) −1,44 × 10−8 V/m, (B) −3,31 × 10−8 V/m, (C) −2,59 × 10−8 V/m, (D) −1,28 × 10−8 V/m, (E) −1,14 × 10−8 V/m, (F) −5,03 × 10−9 V/m, (G) −2,95 × 10−8 V/m, (H) −7,87 × 10−9 V/m, (I) −6,50 × 10−9 V/m, (J) −4,53 × 10−9 V/m, (K) −5,68 × 10−9 V/m, (L) −1,97 × 10−8 V/m, (M) −9,24 × 10−9 V/m, (N) −1,71 × 10−8 V/m, (O) −2,25 × 10−8 V/m, 2 Um cilindro n˜ao condutor, muito longo de comprimento L =4,00 m e raio R1 =10,0 cm, carregado com uma carga total +q =2,00 × 10−9 C distribu´ıda uniformemente ´e envolvido coa- xialmente por uma casca cil´ındrica condutora (tamb´em de comprimento L) de raio R2 =20,0 cm com carga total q2 = −2q. Seja r a distˆancia a partir do eixo dos cilindros. Despreze os efeitos de borda e considere q =2,00 × 10−9 C Versao 000 a) Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para r = 5,00 cm. b) Encontre o potencial elétrico em um ponto r =25,0 cm fora da casca. Considere r < L e que o potencial na superficie do cilindro de raio R2 6 V(Rz) =0,000 V. Solugao: a) Aplicaremos a Lei de Gauss no interior do cilindro de raio R,, mas para isso temos que saber a carga dentro de um cilindro de raio r < R,. A densidade de carga é _ : _ 27 _ qar*lL _ ar p(r) = REL Assim q(r) = par*L = TRI = Re = 7 4 qr? § B-dd= 4 => Bart =, => Ss Eo eo Ry 2,00 x 107° C x 5,00 pa O20 X10 OX 5,0 emg 5 sat Van 2negL Ri 2x am xX €9 X 4,00 m x (10,0 cm)? b) Para r > Ry temos que a carga interna é q = q@ + q = +q — 2q¢ = —g. Aplicando a Lei de Gauss temos: f B-dd= 4 Ls part = —1 => p= S £0 Eo 2né Lr Como V, — Yj = — Sr Edr, basta integrar o campo elétrico acima para encontrar o potencial, utilizaremos a referéncia V, =0,000 V r r r 2,00 x 10-9 C 25,0 cm V= -| Edr = | — 41 yy — 41 In (=) = ——_———_[n Gar) = 2,01x10° V Ro Ry 27E9Lr 27 EQ Ro 27 é9L 20,0 cm (3 pontos) (A) 7,82 x 10! V/m, (B) 1,58 x 10° V/m, (C) 2,97 x 107! V/m, (D) 1,20 x 10! V/m, (Cor- ( ) reto:E) 4,50 x 10! V/m, (F) 5,74 x 10 V/m, (G) 1,01 x 10° V/m, (H) 2,48 x 10! V/m, (I) 5,81 x 107! V/m, “) | (J) 2,61 x 10-1 V/m, (K) 3,93 x 10! V/m, (L) 5,18 x 10' V/m, (M) 1,15 x 102 V/m, (N) 9,45 x 10! V/m, (e1:0) 4,50 x 107! V/m, (3 pontos) (A) 9,88 x 10° V, (Correto:B) 2,01 x 10° V, (C) 6,63 x 10-1 V, (D) 3,74 x 10° V, (E) 2,30 x 10° V, (b) | (F) 8,86 x 10-1 V, (G) 7,46 x 10° V, (H) 1,66 x 10° V, (1) 2,76 x 10° V, (J) 5,55 x 107! V, (K) 4,71 x 10° V, (L) 5,97 x 10° V, (M) 1,24 x 10° V, (N) 1,06 x 10° V, (O) 1,42 x 10° V, 3 Considere um capacitor de placas paralelas de area A = 115 cm? e distancia entre as placas d = 1,24 cm. O capacitor é ligado a uma bateria, que gera uma diferenca de potencial entre as placas do capacitor igual a Vo = 50,0 V. Depois que o capacitor é completamente carregado pela bateria, um dielétrico de constante dielétrica k = 2,61 é inserido no capacitor. Em relacao a situagao final em que o capacitor esta ligado a bateria e preenchido com dielétrico, responda: a) A partir da definigao V = — [ E - di e usando a Lei de Gauss para determinar 0 campo elétrico no interior do capacitor. Encontre a expressao literal para a capacitancia, substitua os valores dados no problema e marque sua resposta. b) Qual é 0 valor do potencial elétrico entre as placas do capacitor? c) Qual é 0 valor do médulo da carga elétrica nas placas? d) Qual é 0 valor do médulo da diferenga de potencial entre a placa positiva e um ponto a uma distancia d/2? Versao 000 Solugao: a) Defina uma superficie gaussiana cubica de area lateral S com uma das faces no interior da placa positiva e a face oposta na regiao entre as placas, paralela as placas. Pela Lei de Gauss, considerando um capacitor sem dielétrico, temos ES = a, onde o = ~ é a densidade superficial de cargas na placa do capacitor. Portanto, EF = a na diregao normal as placas, apontando da placa positiva para a negativa. Escolhendo um caminho paralelo as linhas de campo elétrico, temos que a diferenca de potencial entre as placas 6 V = fe Edl = Ed = a Portanto, como V = 2, temos C' = co | Na presenca do dielétrico, a capacitancia é aumentada pelo fator k: C = mt b) Como o capacitor estd ligado 4 bateria, mesmo apds a insercaéo do dielétrico a diferenga de potencial continua sendo Vo, a mesma da fornecida pela bateria. c) O mddulo da carga é simplesmente Q = CV, com C' dado pelo item (a) e V pelo item (b). Substituindo: Q = “S“Vo=Q. d) Como AV = EAI, para Al = d/2 tem-se a metade a diferenga de potencial entre as placas AV = %. (2 pontos) (A) 1,60 x 10-° F, (B) 1,24 10-1! F, (C) 1,58 x 10-" F, (D) 2,46 x 10-° F, (Correto:E) 2,14 x (a) |10-" F, (F) 1,82 x 10-!! F, (G) 5,24 x 10-™ F, (H) 1,24 x 107° F, (I) 3,36 x 10-® F, (J) 1,86 x 10-9 F, (e1:K) 2,14 x 10-9 F, (L) 2,72 x 1071! F, (M) 2,89 x 10-° F, (N) 1,38 x 10-® F, (O) 3,08 x 10-"' F, (2 pontos) (A) 1,93 x 10! V, (B) 2,85 x 10! V, (C) 3,49 x 10! V, (Correto:D) 5,00 x 10! V, (E) 1,30 x 10! V, (b) | (F) 6,92 x 10! V, (G) 8,94 x 10! V, (H) 4,43 x 101 V, (I) 2,39 x 10! V, (J) 1,56 x 101 V, (K) 7,76 x 10! V, (L) 1,08 x 10 V, (M) 6,15 x 10! V, (N) 4,01 x 10' V, (O) 9,93 x 10! V, (2 pontos) (A) 2,38 x 10-8 C, (B) 8,50 x 10-8 C, (C) 2,02 x 10-8 C, (Correto:D) 1,07 x 10-° C, (E) 1,62 x (c) | 10° C, (F) 1,67 x 10-7 C, (G) 1,30 x 1077 C, (H) 6,57 x 1071° C, (I) 1,98 x 10-7 C, (eL:J) 1,07 x 1077 C, (K) 3,09 x 10-8 C, (L) 3,95 x 10-!° G, (M) 1,80 x 10-® C, (N) 8,41 x 10-10 C, (O) 2,74 x 10-7 ©, (2 pontos) (A) 1,69 x 10' V, (B) 7,75 x 10° V, (C) 3,95 x 10! V, (D) 1,37 x 10' V, (E) 6,45 x 10° V, (d) | (F) 4,83x 10! V, (G) 5,40x 10° V, (H) 2,21 x10! V, (Correto:I) 2,50 10! V, (J) 3,01x10! V, (K) 3,45x10! V, (L) 1,98 x 10! V, (M) 1,12 x 10! V, (N) 9,05 x 10° V, €9 = 8,85 x 10-!? F/m (Caso uma constante fisica ou conversao apareca mais de uma vez, use aquela com o numero de digitos significativos compativel com a questaéo que esta resolvendo) E= _VV; U= g U=qV; $5 E-dA = A; am = 3.14; Perfmetro de circulo: 27r; Volume de esfera: fare; Area de circulo: rr: Area de esfera: Anr?; F = qE; dU = —dW = -—qE-dl; dV = —E.- di: dE = 41,7. e = 1.602 x 10-!9C; g = CV; u = beg E? Aneor 2