Questões - Lei de Gauss - Fundamentos de Eletromagnetismo - 2023-2

74 CAPÍTULO 23 10 Coloque em ordem decrescente as situações da Pergunta 9, de acordo com o módulo do campo elétrico (a) no centro da casca e (b) em um ponto a uma distância 2R do centro da casca. 11 A Fig. 23.7 mostra uma parte de três longos cilindros carregados com o mesmo eixo. O cilindro central A tem uma carga uniforme qₐ = +3q₀. Que cargas uniformes devem ter os cilindros qₑ e qₓ para que (se for possível) o campo elétrico total seja zero (a) no ponto 1, (b) no ponto 2 e (c) no ponto 3? 11 Figura 23.7 Pergunta 11. 12 A Fig. 23.8 mostra quatro superfícies gaussianas de mesma superfície lateral cilíndrica e bases diferentes. As superfícies estão em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E paralelo ao eixo central dos cilindros. As formas das bases são as seguintes: S₁, hemisférios convexos; S₂, hemisférios côncavos; S₃, cones; S₄, discos planos. Coloque as superfícies em ordem decrescente, de acordo (a) com o fluxo elétrico total e (b) com o fluxo elétrico através das bases superiores. Figura 23.8 Pergunta 12. Problemas Fácil Médio Difícil CVF Informações adicionais disponíveis no e-book O Circo Voador da Física, de Jearl Walker, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2008. CALC Requer o uso de derivadas e/ou integrais BIO Aplicação biomédica Módulo 23.1 Fluxo Elétrico 1 Fácil A superfície quadrada da Fig. 23.9 tem 3,2 m de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 1.800 N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35° com a normal, como mostra a figura. Tome essa normal como apontando "para fora", como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície. Normal Figura 23.9 Problema 1. 2 Médio CALC Um campo elétrico dado por E = 4,0i - 3,0j + 2,0j, em que E está em Newtons por coulomb e y está em metros, atravessa um cubo gaussian com 2,0 m de aresta, posicionado da forma mostrada na Fig. 23.17. Determine o fluxo elétrico (a) através da face superior, (b) através da face inferior, (c) através da face da esquerda e (d) através da face traseira. (e) Qual é o fluxo elétrico total através do cubo? 3 M O cubo da Fig. 23.10 tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico está em Newtons por coulomb, é dado por a. 6,00i, b. -2,00j e c. -3,00i + 4,00k. (d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos? Figura 23.10 Problemas 3, 6 e 9. LEI DE GAUSS 75 4 Fácil Na Fig. 23.11, uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de Figura 23.11 Problema 4. 3,0 mN/C, com o aro, um círculo de raio a = 11 cm, perpendicular à direção do campo. A rede é eletricamente neutra. Determine o fluxo elétrico através da rede. 5 Fácil Na Fig. 23.12, um próton está uma distância d/2 do centro de um quadrado de aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado? (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d.) Figura 23.12 Problema 5. 6 Médio Em todos os pontos da superfície do cubo da Fig. 23.10, o campo elétrico é paralelo ao eixo z. O cubo tem 3,0 m de aresta. Na face superior do cubo, E = -34k N/C; na face inferior, E = +20k N/C. Determine a carga líquida que existe no interior do cubo. 7 Uma carga pontual de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica de 55 cm de aresta. Qual é o fluxo elétrico através dessa superfície? 8 Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem demarcar em até de íons negativos que podem desativar óxidos formados nas superfícies metálicas dos Figura 23.15 Problema 12. 8 M CFVE Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem demarcar em até dezenas de íons negativos que podem desativar óxidos formados nas superfícies metálicas dos FICHA 23.5 Problema 7. 5 CFV A superfície de carga é um condutor gerando e não seja: Figura 23.9 Problema 1. CALC O campo dentro ou no 10 M CERTA PENALIDADE NOT ím nome norte LOTERIA iluminado 11 M LEI DE GAUSS 79 ρ = 1 ,2 nC/m³. Determine o módulo do campo elétrico (a) no plano x = 4,0 cm; (b) no plano x = 6,0 cm. 60 CVF O mistério do chocolate em pó. Explosões provocadas por descargas elétricas (centelhas) constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos. Uma dessas explosões ocorreu em uma fábrica de biscoitos na década de 1970. Os operários costumavam esvaziar os sacos de chocolate em pó que chegavam à fábrica em uma bandeja, da qual o material era transportado por canos de plástico até o silo onde era armazenado. No meio do percurso, duas condições para que uma explosão ocorresse foram satisfeitas: (1) o módulo do campo elétrico ultrapassou 3 ,0 x 106 N/C, produzindo uma ruptura dielétrica do ar; (2) a energia da centelha resultante ultrapassou 150 mj, fazendo com que o pó explodisse. Vamos discutir a primeira condição. Suponha que um pó carregado negativamente esteja passando por um cano cilíndrico, de plástico, de raio R = 5,0 cm, e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com uma densidade volumétrica ρ. (a) Usando a lei de Gauss, escreva uma expressão para o módulo do campo elétrico E no interior do cano em função da distância r do eixo do cano. (b) O valor de E aumenta ou diminui quando r aumenta? (c) o campo E aponta para o eixo do cilindro ou para longe do eixo? (d) Para ρ = 1,1 x 10-3 C/m³ (um valor típico), determine o valor máximo de E e a que distância do eixo do cano esse campo máximo ocorre. (e) O campo pode produzir uma centelha? Onde? (A história continua no Problema 70 do Capítulo 24.) 61 Uma casca esférica, metálica, de raio c e a espessura insignificante, possui uma carga q1. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b e uma carga q2. Determine o campo elétrico em todos os pontos a uma distância r do centro das cascas (a) para r < a (b) para a < r < b, (e) para r > b. (d) Explique o raciocínio que você usou para determinar o modo como as cargas estão distribuídas nas superfícies internas e externas das cascas. 62 Uma carga pontual q = 1,0 x 10-7 C é colocada no centro de uma cavidade esférica, com 3,0 cm de raio, aberta em um bloco de metal. Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico (a) a 1,5 cm de distância do centro da cavidade; (b) no interior do bloco de metal. 63 Um próton, de velocidade v = 3,00 x 106 m/s, gira em órbita em torno de uma esfera carregada, de raio r = 1,00 cm. Qual é a carga da esfera? 64 A Eq. 23.31 (E = σ/ε₀) pode ser usada para calcular o campo elétrico em pontos da vizinhança de uma esfera condutora carregada. Aplique a equação a uma esfera condutora, de raio r e carga q, e mostre que o campo elétrico do lado de fora da esfera é igual ao campo produzido por uma carga pontual situada no centro da esfera. 65 Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma esfera de raio R. (a) Que fração da carga está contida em uma esfera de raio r = R/2,00? (b) Qual é a razão entre o campo elétrico no ponto r = R/2,00 e o campo elétrico em a superfície da esfera? 66 Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de —750 N • m²/C através de uma superfície esférica gaussiana, de 10,0 cm de raio, com centro em Q. (a) Se o raio da superfície gaussiana for multiplicado por dois, qual será o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da carga pontual? 67 o campo elétrico no ponto P, a uma pequena distância da superfície externa de uma casca esférica metálica, carregada uniformemente, com 10 cm de raio interno, tem um módulo de 450 N/C e aponta para longe do centro da casca. (a) Quando a mesma carga é redistribuída igualmente sobre a casca, de modo que o campo permaneça o mesmo e o módulo do campo seja 180 N/C. (b) determine o valor de cada carga que a casca foi carregada. Uma carga Q. Quando a carga Q é colocada, determine (a) o módulo e a (b) a carga total da carga Q quando a superfície interna da casca e (d) na superfície externa da casca. 68 O fluxo de campo elétrico em cada face de um dado tem um valor absoluto, em unidades de 10¹ N • m²/C, igual ao número N de pontos da face (1 ≤ N ≤ 6). O fluxo é par para número N ser ímpar a para fora se N for par. Qual é a carga no interior do dado? 69 A Fig. 23.38 mostra uma visão em seção reta de três placas isolantes de grande extensão cada uma com uma densidade uniforme de carga. As densidades superficiais de carga são α₃ = +2,00 μC/m²; α₂ = +4,00 μC/ m² α₁ = -5,00 μC/m²; L = 1,50 cm. Qual é o campo elétrico no ponto P na notação dos vetores unitários? 70 Uma esfera isolante com 5,0 cm de raio tem uma densidade volumétrica uniforme de carga ρ = 3,2 μC/m³. Determine o módulo do campo elétrico (a) 3,5 cm e (b) 8,0 cm do centro da esfera. 71 Uma superfície esfumada de forma hemisférica, com raio R = 5,68 cm, está imersa em um campo elétrico de módulo E = 25,0 N/C. Não existem cargas no interior da superfície. Na base (plana) da superfície, o campo é perfeitamente espalmado e aponta para o interior da superfície. Determine o fluxo (a) através da base (b) através da curva fora da superfície. 72 Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano do Problema 2? 73 Uma esfera isolante tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ. Seja r o vetor que liga o centro da esfera a um ponto genérico P no interior da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por E = ρr/3ε₀. (Note que o resultado não depende do raio da esfera.) (b) Dada uma cavidade esférica à direita na esfera, como mostrado na Fig. 23.39. Usando o princípio da superposição, mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e é dado por E = ρa³/3ε₀e em que a é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade. Figura 23.39 Problema 73. 74 Uma esfera com 6,00 cm de raio possui uma densidade de carga uniforme de 500 nC/m³. Considere uma superfície gaussiana coaxial com a esfera. Determine o fluxo elétrico através de superfície cúbica se a esfera tem todo o valor de (a) 4,00 cm e (b) 14,0 cm. 75 A Fig. 23.40 mostra um contador Geiger, aparelho usado para detectar radiação ionizante (radiação com energia suficiente para ionizar átomos). O contador é formado por um fio central positivamente carregado em um cilindro coaxial, com cargas induzidas de mesmo módulo na superfície. As cargas em um campo elétrico de alta intensidade são induzidas no fio central, no qual está imerso o cilindro. Uma partícula de radiação, que penetra na cavidade entre a superfície interna do cilindro e o sinalizador, provoca liberação de elétrons livres, que são acelerados na direção do fio positivo. O 80 CAPÍTULO 23 campo elétrico é tão intenso que, no percurso, os elétrons adquirem energia suficiente para ionizar outros átomos do gás através de colisões, criando, assim, outros elétrons livres. O processo se repete até os elétrons chegarem ao fio. A "avalanche" de elétrons resultante é recolhida pelo fio, gerando um sinal que é usado para assinalar a passagem da partícula de radiação. Suponha que o fio central tenha um raio de 25 μm e o cilindro tenha um raio interno de 1,4 cm e um comprimento de 16 cm. Se o campo elétrico na superfície interna do cilindro é 2,9 x 106 N/C, qual é a carga positiva do fio central? Figura 23.40 Problema 75. 76 Modelo do átomo de hidrogênio. Em um antigo modelo do átomo de hidrogênio, ele consistia em um próton pontual, com uma carga positiva +e, e um elétron de carga negativa -e, distribuído em torno do próton de acordo com uma função densidade de carga ρ = A exp(—2r/a), em que A é uma constante, a₀ = 0,53 x 10¹¹ m é o chamado raio de Bohr e r é a distância do centro do átomo. (a) Calcule o valor de A. (b) Usando o valor obtido no item (a), calcule o valor do campo elétrico produzido pelo átomo na posição do raio de Bohr. 77 Modelo atômico de Rutherford. Em 1911, Ernest Rutherford bombardeou átomos com partículas α para estudar a estrutura interna dos átomos. Ele afirmou: "Para ter ideia das forças necessárias para produzir um grande desvio de uma partícula α, suponha que o átomo consiste em uma carga pontual positiva Ze no centro, cercada por uma carga negativa -Ze distribuída uniformemente em uma esfera de raio R. No caso de um ponto no interior do átomo, o campo elétrico E a uma distância r do centro é dado por Eₓ = Zƒe ( 1 - r² ) 4πε₀ r³ R³) Mostre que essa equação está correta. 78 Efeito de campos elétricos sobre gotas de saliva com coronavírus. O meio principal de transmissão do coronavírus na atual pandemia de Covid-19 são gotas de saliva lançadas pelas pessoas quando estão respirando, tossindo, cantando, falando ou mesmo respirando. As gotas maiores logo caem no chão na ação da força gravitacional, mas as com um raio menor que cerca de 5 μm podem permanecer suspensas no ar e contribuir para a disseminação da doença. Muitas dessas partículas são eletricamente carregadas e podem ser removidas do ar por um campo elétrico. Suponha que uma gota de saliva com um raio de 2,0 μm e uma carga de (—2,5 x 10-7 )e, em que é e a carga elementar, está nas proximidades de uma superfície plana de plástico com uma densidade superficial de carga igual a +7,0 nC/m², o que pode ocorrer frequentemente nas residências. Qual é o módulo (a) da força eletrostática e (b) da força gravitacional à qual a gota está submetida? 79 Partícula dentro de uma casca. Uma partícula da carga +q é colocada no centro de uma casca condutora esférica eletricamente neutra de raio interno a e raio externo b. Qual é a carga criada (a) na superfície interna b) na superfície externa da casca? Qual é o módulo do campo elétrico E a uma distância r do centro da casca se (a) r < a, (b) a < r < b, (c) r > b? Em seguida, uma partícula de carga - q é colocada no lado de fora da casca. Uma nova carga será gerada pelas carga da unidade? Está existindo uma força eletrostática agindo sobre (a) a segunda partícula e (ii) a primeira partícula?