Questões - Autofunções Normalizadas - 2023-2

2. Para o problema de valores de contorno {(I) y'' + λ ⋅ y = 0; (II) y'(0) = 0; (III) y'(1) = 0 encontre as autofunções normalizadas, indi- cando a restrição que se aplica sobre os au- tovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. 3. Para o problema de valores de contorno {(I) y'' + λ ⋅ y = 0; (II) y'(0) = 0; (III) y(1) = 0 encontre as autofunções normalizadas, indi- cando a restrição que se aplica sobre os au- tovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. y'' + λy = 0 (i) y'(0) = 0 (ii) y(1) = 0 (iii) CASO λ = 0: y'' = 0 ⇒ y = ax + b (ii): y'(0) = 0 ⇒ 0 = a (iii): y(1) = 0 ⇒ 0 = a yₙ = bₙ é solução nesse caso Normalizando: ∫ ₀¹ [υ(x)|γₙ| ¹ dx = 1 / r(x) = 1 ∫ ₀¹ bₙ|² = 1 + bₙ = ±1 → γₙ = 1 (check) CASO λ > 0: y'' + λy = 0 Solução: yₙ = Aₙ cos √λₙ x + Bₙ sin √λₙ x (ii): y'(0) = 0 ⇒ Bₙ √λₙ = 0 ⇒ Bₙ = 0 (iii): y(1) = 0 ⇒ Aₙ cos √λₙ = 0 ⇒ √λₙ = nπ n ∈ ℕ* Auto função: yₙ = Aₙ cos ππ Normalizando: ∫ ₀¹ yₙ|² = 1 ⇒ Aₙ² ∫ ₀¹ cos²(nπx)dx = 1 ⇒ Aₙ² /2 [1 + cos2nx]dx = 1 ⇒ Aₙ² /2 [x + sin2nπ / 2nπ]|₀¹ = 1 ⇒ Aₙ² /2 [1 + 0] = 1 ⇒ Aₙ = √2 Auto função normalizada: yₙ = √2 cos nx → com n = 2 y₂ = √2 cos 2πx Para todas as questões assuma que a norma- lização da autofunção yn(x) é dada por ∫01 [yn(x)]² dx = 1 Questões 1. Para o problema de valores de contorno {(I) y'' + λ ⋅ y = 0; (II) y'(0) = 0; (III) y(1) + y'(1) = 0 encontre as autofunções normalizadas, indi- cando a restrição que se aplica sobre os au- tovalores. Escreva a autofunção normalizada referente (identificada pelo índice n igual) ao último algarismo do seu número de matrícula. Caso λ < 0: γ'' + λγ = 0 → γ_n = A_n e^{√-λ_n x} + B_n e^{-√-λ_n x} (solução da E.P.O) (iii) γ(0) = 0 → √-λ_n A_n - √-λ_n B_n = 0 → √-λ_n (A_n - B_n) = 0 → A_n = B_n (ii) γ'(1) = 0 → √-λ_n A_n e^{√-λ_n} - √-λ_n A_n e^{-√-λ_n} = 0 → √-λ_n A_n \left( e^{√-λ_n} - e^{-√-λ_n} \right) = 0 como λ_n ≠ 0 → A_n = 0 → γ_n = 0 ( não tem auto função).