1 Lista de Exercícios - Cálculo 2 2021 1

Cálculo II – 1ª lista de Exercícios – 2021/1 – Marcio 1) Mostre que os planos que são, respectivamente, o que passa pelos pontos {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e o de equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10, são paralelos. Dado o ponto (5,0,5), que pertence ao segundo plano, encontre sua projeção no primeiro plano, pela reta normal ao dois e que passa por este ponto. Encontre a distância entre tais planos. 2) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1,0,1) e (2,3,1). 3) Mostre que o limite não existe: lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦3 𝑥2 + 𝑦6 4) Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 2𝑦2, a) Encontre a equação do plano que tangencia o seu gráfico e que passa pelo ponto (1,2,-5) b) Encontre sua derivada direcional no ponto (1,2) e na direção do vetor 𝒖⃗⃗ = 2𝒊 + 𝑗 c) Encontre a maior derivada direcional e sua direção desta função, no ponto (1,2) 5) Dada a curva parametrizável 𝛼(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡2), 𝑡 ∈ ℝ, a) Mostre que sua velocidade nunca se anula. b) Encontre sua reta tangente no ponto (1,0,1) 6) Encontre um valor para √(2.08)2 + (4.01)2, usando uma aproximação de 1ª ordem (variação linear). 7) Encontre o máximo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 + 𝑦2 no disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 8) Determine o volume da maior caixa retangular no 1º octante que possua três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6. 9) Encontre, por dois métodos distintos, o ponto do plano 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 6, que está mais próximo do ponto (0,1,1) 10) Determine os pontos da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 que estão mais próximos e mais distantes do ponto (1,3,-1)