Slides Cilindros e Superfícies Quádricas 2021 1

Cilindros e Superfícies Quádricas Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Rocha Cilindros Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas (chamadas geratrizes) que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana. r r: reta geratriz C: curva diretriz C r r C: Ԧ𝑣𝑟 C: P 𝑷𝟎 P 𝑷𝟎 ൗ 𝑷𝟎𝑷/ 𝒗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑃 ∈ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐, existe 𝑃𝟎 ∈ 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐂 𝐭𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 ൗ 𝑷𝟎𝑷/ 𝒗𝒓 r Exemplo 1: Encontre a equação do cilindro que tem a reta r: ቐ 𝑥 = 0 𝑦 = 0 + 𝑡 𝑧 = 0 + 𝑡 como geratriz e a curva c : ቊ𝑦 = 𝑥2 𝑧 = 0 como diretriz x 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 𝑃0 curva C ⇒ 𝑦0 = 𝑥0 2 𝑒 𝑧0 = 0 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 = t 𝒗𝒓 = 𝒕(𝟎, 𝟏, 𝟏) 𝑥 − 𝑥0=0 e 𝑦 − 𝑦0 = 𝑧 𝑥 = 𝑥0 𝑦 − 𝑥0 2 = 𝑧 𝑦 − 𝑥2 = 𝑧 é a equação da superfície cilindrica z 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑃 ∈ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐, existe 𝑃𝟎 ∈ 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐂 𝐭𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 ൗ 𝑷𝟎𝑷/ 𝒗𝒓 y 𝑦 − 𝑥2 = 𝑧 é a equação da superfície cilíndrica gerada pela reta r com diretriz C y - x^2 = z Exemplo 2: Encontre a equação do cilindro que tem a reta r: ቐ 𝑥 = 0 𝑦 = 0 − 𝑡 𝑧 = 0 + 𝑡 como geratriz e a curva c : ቊ𝑦 = 𝑥2 𝑧 = 0 como diretriz 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 𝑃0 curva C ⇒ 𝑦0 = 𝑥0 2 𝑒 𝑧0 = 0 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 = t 𝒗𝒓 = 𝒕(𝟎, −𝟏, 𝟏) 𝑥 − 𝑥0=0 e 𝑦 − 𝑦0 = −𝑧 𝑥 = 𝑥0 𝑦 − 𝑥0 2 = −𝑧 𝑦 − 𝑥2 = − 𝑧 é a equação da superfície cilíndrica gerada pela reta r com diretriz C 𝑥 𝑦 𝑦 r -1 1 r r Exemplo 3: Encontre a equação do cilindro que tem a reta r: ቐ 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 𝑡 (eixo z) como geratriz e a curva c : ቊ𝑦 = 𝑥2 𝑧 = 0 como diretriz x y z 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑃 ∈ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐, existe 𝑃𝟎 ∈ 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐂 𝐭𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 ൗ 𝑷𝟎𝑷/ 𝒗𝒓 𝒗𝒓 = (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 𝑃0 curva C ⇒ 𝑦0 = 𝑥0 2 𝑒 𝑧0 = 0 𝑃0𝑃 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 = t 𝒗𝒓 = 𝒕(𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝑥 − 𝑥0=0 e 𝑦 − 𝑦0 = 0 𝑒 𝑧 = 𝑡 𝑥 = 𝑥0 e 𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑧 = 𝑡 𝑥 = 𝑥0 e 𝑦 = 𝑦0 = 𝑥0 2 = 𝑥2 𝑒 𝑧 = 𝑡 (z é independente de x e y) e 𝑦 = 𝑥2 Portanto, a equação desta superfície cilíndrica é 𝑦 = 𝑥2 Qual é a diferença entre a equação da curva e a equação da superfície ? Exemplo 4: Esboce o gráfico dos cilindros: a) 𝑦 = 𝑥 b) 𝑦 = 𝑧 c) 𝑦2 + 𝑥2 = 4 d) 𝑥2 + 𝑧2 = 1 e) 𝑦2 + 𝑥2 = 2𝑥 f) 𝑥2 − 𝑦2 = 1 g) 𝑦2 − 𝑧2 = 1 x y 𝑟 = 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 C: ቊ𝑦 = 𝑥 𝑧 = 0 C (a) r=𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 C C: ቊ𝑥2 + 𝑧2 = 1 𝒚 = 𝟎 (c) (d) 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑟 = 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 C C: ቊ𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝒛 = 𝟎 1 2 2 1 1 Superfícies Quádricas Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas três variáveis x, y e z. A equação mais geral é 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶z2 + D𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + G𝑥 + H𝑦 + I𝑧 + J = 0 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶z2 + 𝐽 = 0 𝐴, 𝐵, 𝐶 > 0 , 𝐽 < 0 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 = −𝐽 ⇒ 𝐴 −𝐽 𝑥2 + 𝐵 −𝐽 𝑦2 + 𝐶 −𝐽 𝑧2 = 1 ⇒ 𝑥2 (−𝐽 𝐴) + 𝑦2 (−𝐽 𝐵) + 𝑧2 (−𝐽 𝐶) = 1 .Fazendo 𝑎 = −𝐽 𝐴 , 𝑏 = −𝐽 𝐴 e 𝑐 = −𝐽 𝐴 , obtemos 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 (equação de um elipsoide) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 Simetria: Esta equação representa uma superfície S que é simétrica em relação aos planos e eixos coordenados, pois se P(x,y,z) ∈ S, então P ± x, ± y, ± z ∈ S Vértices (interseção com os eixos coordenados): Se 𝑥 = ±𝑎 então 𝑎2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 1 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 = 0 A1(𝑎,0,0) e A2(−𝑎,0,0) são pontos (vértices) da superfície S. De maneira análoga, deduzimos que os pontos 𝐵1(0, 𝑏,0) , 𝐵2(0, −𝑏,0) , 𝐶1(0,0, 𝑐) e 𝐶2(0,0, −𝑐) são pontos de S. Interseção com os planos coordenados: 1) Plano xy (z=0) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (elipse no plano xy) 2) Plano xz (y=0) 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 (elipse no plano xz) 3) Plano yz (x=0) 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 (elipse no plano xz) 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑏 𝑎 c2 C1 B2 B1 A2 A1 HIPERBOLÓIDES DE UMA FOLHA 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 Simetria: Esta equação representa uma superfície S que é simétrica em relação aos planos e eixos coordenados, pois se P(x,y,z) ∈ S, então P ± x, ± y, ± z ∈ S Interseção com os eixos coordenados: Não existe interseção com o eixo z (x=0 e y=0), pois se x=y=0 Se 𝑥 = 𝑦 = 0 então 0 − 𝑧2 𝑐2 = 1 não possui solução. Interseção com o eixo x (y=z=0) 𝑥2 𝑎2 = 1 𝑥 = ±𝑎 A1(𝑎,0,0) e A2(−𝑎,0,0) são pontos (vértices) da superfície S. De maneira análoga, deduzimos que os pontos 𝐵1(0, 𝑏,0) , 𝐵2(0, −𝑏,0) , são pontos de S. Interseção com os planos coordenados: 1) Plano xy (z=0) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (elipse no plano xy) 2) Plano xz (y=0) 𝑥2 𝑎2 − 𝑧2 𝑐2 = 1 (hipérbole no plano xz) 3) Plano yz (x=0) 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1 (hipérbole no plano xz) Interseção com planos paralelos ao plano xy (z=k) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 + 𝑘2 𝑐2 (elipses) HIPERBOLÓIDES DE UMA FOLHA 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1 𝐴1 0, 𝑏, 0 𝐴2(0, −𝑏, 0) y 𝑧 x 𝑦 = 𝑘 > 𝑏 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = ( 𝑘2 𝑏2 -1)Elipse y = k 𝐴2 𝐴1 z x y − 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1 z= 𝑘 > 𝑏 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = ( 𝑘2 𝑐2 −1)Elipse CONE + 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 0, + 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 V 0,0,0 𝑉É𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸 y 𝑧 x 𝑦 = 𝑘 > 0 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = (𝑘2 𝑏2) Elipse y = k V 𝐲 = −𝐤 y 𝑧 x 𝑧 = 𝑘 > 0 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = ( 𝑘2 𝑐2) Elipse z = − k V 𝐳 = 𝐤 CONE + 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 0, + 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 V 0,0,0 𝑉É𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸 y 𝑧 x 𝑦 = 𝑘 > 0 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = (𝑘2 𝑏2) Elipse y = k V 𝐲 = −𝐤 z= 0 > 0 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 0 (par de retas) 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 = 0 e 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 0 x= 0 > 0 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 (par de retas) 𝑧 𝑐 − 𝑦 𝑏 = 0 e 𝑧 𝑐 + 𝑦 𝑏 = 0 Paraboloide Elíptico + 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z, + 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = b y + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = a x y 𝑧 x 𝑦 = 𝑘 > 0 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = 𝑘𝑏 ( Elipse) y = k 𝑉 y 𝑧 x 𝑦 = 𝑘 < 0 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = ( 𝑘2 𝑏2 -1)Elipse 𝑧 = 0 𝑥2 𝑎2 = 𝑏𝑦 ( Parábola) + 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = b y , b > 0 + 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = b y , b < 0 x= 0 𝑧2 𝑐2 = 𝑏𝑦 ( Parábola) Paraboloide Hiperbólico 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = c z − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z, 𝑥2 𝑎2 − 𝑧2 𝑐2 = b y − 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑐2 = b y 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = a x 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = a x y − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z c>0 y 𝑧 x 𝑉 Interseção com o plano xy ቐ z = 0 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z ⇒ ቐ z = 0 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 0 ⇒ par de retas no plano xy ቐ − x a + y b = 0 x a + y b = 0 Interseção com o plano z = k > 0 ቐ z = k − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z ⇒ ቐ z = k − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = ck ⇒ hipérbole plano z=k Interseção com o plano yz (x = 0) ቐ x = 0 − 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = c z ⇒ ቐ z = k + 𝑦2 𝑏2 = cz ⇒ parábola plano yz z = k Exercícios Esboce o gráfico das quádricas: (a) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 − 16 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 16 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 = 16 ⇒ 4𝑥2 16 + 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 ⇒ 𝑥2 4 + 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 (Elipsoide) Interseção com o plano xy (z=0) ቐ 𝑧 = 0 𝑥2 4 + 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 ⇒ ቊ 𝑧 = 0 𝑥2 4 + 𝑦2 16 = 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 4 Interseção com o plano xz (y=0) ቐ 𝑦 = 0 𝑥2 4 + 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 ⇒ ൝ 𝑦 = 0 𝑥2 4 + 𝑧2 16 = 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 4 Interseção com o plano yz (x=0) ቐ 𝑥 = 0 𝑥2 4 + 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 ⇒ ቊ 𝑥 = 0 𝑦2 16 + 𝑧2 16 = 1 Circunferência 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 4 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 4 2 c2 C1 B2 B1 A2 A1 4 (b) 𝑥2 9 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 0 (Cone) Interseção com o plano xy (z=0) ቐ 𝑧 = 0 𝑥2 9 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 0 ⇒ ቊ 𝑧 = 0 𝑥2 9 + 𝑦2 = 0 Ponto V(0,0,0) - vértice Interseção com o plano z=2 ቐ 𝑧 = 2 𝑥2 9 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 0 ⇒ ቊ 𝑧 = 2 𝑥2 9 + 𝑦2 = 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 1 Interseção com o plano z= - 2 ቐ 𝑧 = −2 𝑥2 9 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 0 ⇒ ቊ 𝑧 = −2 𝑥2 9 + 𝑦2 = 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 1 𝑧 x V 𝐳 = 𝟐 1 3 3 1 z = −2k 𝑧 𝐳 = −𝟐 1 3 (c) 𝑥2 2 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 4 𝑥2 2 + 𝑦2 − 𝑧2 4 = 4 ⇒ 𝑥2 8 + 𝑦2 4 − 𝑧2 16 = 1(Hiperboloide de uma folha) Interseção com o plano xy (z=0) ቐ 𝑧 = 0 𝑥2 8 + 𝑦2 4 − 𝑧2 16 = 1 ⇒ ቊ 𝑧 = 0 𝑥2 8 + 𝑦2 4 = 1 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 2√2 𝑒 𝑏 = 2 Interseção com o plano z=4 ቐ 𝑧 = 4 𝑥2 8 + 𝑦2 4 − 𝑧2 16 = 1 ⇒ ቊ 𝑧 = 4 𝑥2 8 + 𝑦2 4 = 2 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 = 2√2 Interseção com o plano z=-4 ቐ 𝑧 = −4 𝑥2 8 + 𝑦2 4 − 𝑧2 16 = 1 ⇒ ቊ 𝑧 = −4 𝑥2 8 + 𝑦2 4 = 2 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 = 2√2 2√2 2 2 2 2√2 2√2 2√2 2√2 4 2√2 4 2√2 (d) 𝑥2 2 − 𝑧2 4 = −y (paraboloide hiperbólico) Interseção com o plano xy (z=0) ቐ z = 0 𝑥2 2 − 𝑧2 4 = −y ⇒ ቊ z = 0 𝑥2 2 = −y Parábola 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦, 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 Interseção com o plano z=4 ቐ z = 4 𝑥2 2 − 𝑧2 4 = −y ⇒ ቊ z = 4 𝑥2 2 − 42 4 = −y ⇒ ቊ z = 4 𝑥2 2 = −y + 4 Hipérbole 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 2 Interseção com o plano z= −4 ቐ z = −4 𝑥2 2 − 𝑧2 4 = −y ⇒ ቊ z = −4 𝑥2 2 − 42 4 = −y ⇒ ቊ z = −4 𝑥2 2 = −y + 4 0 4 z 𝑦 𝑥 4 4 𝐶3 𝐵3 𝐴3 𝐴2 𝐴1 𝐵2 𝐵1 𝐶2 𝐶1 𝐵2(0,0,0) 𝐵3(2,-2,0) 𝐵1(-2,-2,0) 𝐴1(−2 2, 0, 4) 𝐴2( 0 , 4 , 4) 𝐴3( 2 2 , 0 , 4 ) 𝐶1(−2 2, 0 , - 4 ) 𝐶2( 0, 4, - 4 ) 𝐶3( 2 2 , 0 , - 4 ) Lista de Exercícios do Livro Texto: Seção 12.6 Exercícios: ímpares de 1 a 29 Exercícios: múltiplos de 3 de 30 a 51