3 Lista de Cálculo 2

1 ∫ x ∫ , 3ª LISTA DE EXERC´ICIOS DE CA´LCULO II Disciplina: C´alculo II. Livro.: C´alculo Vol. 2, 7ª edic¸ao, 2014, James Stewart. Conteu´do.: Fun¸c˜oes de va´rias variaveis. (Exerc´ıcio 1) Determine o dom´ınio das seguintes fun¸coes e fa¸ca o esbo¸co do grafico desse dom´ınio. a) z = xy. b) w = 1 . x2 + y2 + z2 1 c) z = √ x2 − y2 . d) z = ln (4 − √ x2 + y2). (Exerc´ıcio 2) Encontre a equa¸cao para a curva de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) que passa pelo ponto dado. a) f (x, y) = 16 − x2 − y2, P (2 √ 2, √ 2) b) f (x, y) = dt, P (− √ 2, √ 2) y 1 1 + t2 c) f (x, y, z) = √x − y − lnz, P (3, −1, 1) d) f (x, y, z) = ln (x2 + y + z2), P (−1, 2, 1) (Exerc´ıcio 3) Em quais pontos no plano as fun¸c˜oes abaixo s˜ao cont´ınuas? a) f (x, y) = sen(x + y) b) f (x, y) = sen 1 . xy c) f (x, y) = x + y . 2 + cos x d) f (x, y) = 1 . x2 − y e) f (x, y, z) = x2 + y2 − 2z2. f) f (x, y, z) = ln (xyz). 2 4 √ √ (Exerc´ıcio 4) Encontre os limites: 3x2 − y2 + 5 a) lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 + 2 . b) lim (x,y)→(2,−3) ey sen x. x c) lim (x,y)→(0, π ) sec x tg y d) lim (x,y)→(0,0) e) lim (x2 + y2) ln (x2 + y2). Dica: use coordenadas polares para resolver. xy (x,y)→(0,0) x2 + |y| 2x2y f) lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 g) lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 √ x2 + y2 + 1 − 1 (Exerc´ıcio 5) Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as fun¸coes n˜ao tˆem limite quando (x, y) → (0, 0). x4 − y2 a) f (x, y) = x4 + y2 . b) f (x, y) = xy . |xy| c) f (x, y) = xy(x − y) . x4 + y4 x2 d) h(x, y) = x2 − y . (Exerc´ıcio 6) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das fun¸c˜oes abaixo. a) f (x, y) = ex 2 y . b) f (x, y) = xcos(y − x). c) f (x, y) = y2ln (x2 + y2). d) f (x, y) = (x + y)ex + 2y. e) f (x, y, z) = 1 − x2 − y2 − z2. f) f (x, y, z) = x2 + y2 + 4z2 + 1. g) f (x, y, z) = sen ( x2 + y2 + z2 − 4). h) f (x, y) = cos(xy) − sen(xy) + 10. (Exerc´ıcio 7) Seja z = f (x, y) = x2 + y2. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente a` interse¸c˜ao do gr´afico f com o plano de equa¸c˜ao y = 2, no ponto (2, 2, 8). (Exerc´ıcio 8) Determine a equac¸ao do plano tangente ao grafico de z = (x2 + y2 + 1)e−(x 2 + y2 ) no ponto P (0, 0, 1). (Exerc´ıcio 9). Calcule ∂w e ∂w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substitui¸c˜ao seguida de aplica¸c˜ao das ∂t ∂u regras de derivaca˜o parcial. 3 2 2 a) w = x2 + y2, x = t2 + u2, y = 2tu. b) w = x x2 + y2 , x = t cos u, y = t sen u. (Exerc´ıcio 10) Determine os pontos cr´ıticos da funca˜o f (x, y) = xe−x − y . (Exerc´ıcio 11) Classifique os pontos cr´ıticos da funca˜o f (x, y) = 3xy2 + x3 − 3x. (Exerc´ıcio 12) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores m´aximo e m´ınimo da fun¸c˜ao sujeita a`(s) res- tri¸cao(˜oes) dada(s) f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y2 = 13. (Exerc´ıcio 13) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores m´aximo e m´ınimo da fun¸c˜ao sujeita a`(s) res- tri¸cao(˜oes) dada(s) f (x, y) = x2 + y2; xy = 1.