Lista 2 - Cálculo 2 2021 1

Cálculo II – 2ª lista de exercícios – 2021/1 (EARTE) – Marcio 1) A função 𝐹(𝛼, 𝜃) = ((2 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑐𝑜𝑠𝜃, (2 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝛼), 0 ≤ 𝛼, 𝜃 ≤ 2𝜋 parametriza o toro que é a superfície 𝑆 obtida da rotação do círculo (𝑥 − 2)2 + 𝑧2 = 1, 𝑦 = 0 em torno do eixo-Z. a) Encontre a área desta superfície. b) Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑧, definida em ℝ3 , encontre a integral ∬ 𝑆 𝑓d𝑆 2) Encontre a região ℛ ⊂ ℝ2 que maximiza a integral dupla ∬[6 − (2𝑥2 + 3𝑦2)]d𝐴 ℛ . Qual o valor desta integral maximizada? 3) Encontre o sólido que está abaixo do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, acima do plano XY, e dentro do cilindro 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 4) Encontre o volume da região contida no interior dos cilindros 𝑥2 + 𝑧2 = 1 e 𝑦2 + 𝑧2 = 1 5) Encontre o volume da região no interior da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 e a) acima do plano 𝑧 = 1 b) acima do plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 c) acima do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 d) acima do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2