Módulo 2 - Lista de Exercícios 2021 2

Módulo II - Lista de Exercícios Exercício 1. Descreva e esboce o domínio das seguintes funções: (a) f(x, y) = √x − y + 3 (b) g(x, y) = ln (4x2 − 1) (c) h(x, y) = √xy (d) z = 1 √ 81 − x2 Exercício 2. Dadas funções f(x, y) e g(x, y), e dois números reais distintos a e b, interprete cada uma das seguintes frases: (a) A interseção das curvas de nível f(x, y) = a e g(x, y) = b. (b) A interseção das curvas de nível f(x, y) = a e f(x, y) = b. Exercício 3. É possível duas curvas de nível diferentes de uma mesma função se intersectarem? Justifique. Exercício 4. Esboce as curvas de nível k = 1, k = 2 e k = 3 das seguintes funções (a) f(x, y) = x + y (b) g(x, y) = x2 − y2 (c) h(x, y) = x2 + y2/4 + z2/9 (d) z = 1 x2 + y2 Exercício 5. Explique a diferença entre os mapas de contorno das funções f(x, y) = x e g(x, y) = 3x. Exercício 6. O conceito de curvas de nível é muito utilizado em mapas topográficos para descrever terrenos. Por exemplo, a montanha da figura (a) tem seu mapa topográfico representado na figura (b). (a) (b) (c) Com base nesse conceito esboce o mapa de contorno da região representada na figura (c). Exercício 7. Considere a superfície S, união de S1 e S2, onde S1 tem equação x2 + y2 = 9, com 0 ≤ z ≤ 3 e S2 é o gráfico da função z = 9 − 2√x2 + y2 definida no conjunto D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 9}. 1 (a) Esboce a superfície S1. (b) Esboce a superfície S2. (c) Esboce a superfície S. Exercício 8. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = e−x2−y2+z2 graus. Identifique a superfície do R3 cujos pontos possuem temperatura igual a temperatura do ponto (−1, 1, 1). Exercício 9. Se x é a velocidade do vento (em m/seg) e y é a temperatura (em oC), então o fator de resfriamento eólico F (em (kcal/m2)/hr)) é dado por F = 33 − y 10√x − x + 10, 5. (a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F é 0. (Admita que 0 ≤ x ≤ 50 w −50 ≤ y ≤ 50) (b) Se F ≥ 140, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gráfico da curva de nível F = 1400. Exercício 10. Esboce os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos do R2. (a) {(x, y) ∈ R2; x = 3 e 1 < y < 2}. (b) {(x, y) ∈ R2; x > y e x2 + y2 < 4}. (c) {(x, y) ∈ R2; 0 < y < 3 e y ≥ x2 − 1}. Exercício 11. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. (a) {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 4}. (b) {(x, y) ∈ R2; x + y ≥ 2}. (c) {(x, y) ∈ R2; x e y naturais}. Exercício 12. Suponha que f(x, y) é uma função tal que o quociente g(x, y) = 1/f(x, y) é uma função contínua para todo (x, y). Com base nisso, determine quais afirmações abaixo são verdadeiras: (a) f(x, y) é uma função contínua para todo (x, y). (b) f(x, y) é uma função contínua apenas para (x, y) ̸= (0, 0). (c) f(x, y) ̸= 0 para todo (x, y). 2 (d) g(x, y) ̸= 0 para todo (x, y). Exercício 13. Calcule os limites abaixo usando a continuidade das funções (a) lim (x,y)→(1,2) x2 + 2xy + y. (b) lim (x,y)→(0,π) sen(x2) + e2y cos(x2) + y . (c) lim (x,y)→(0,1) x2 x2 + y2. Exercício 14. Calcule os limites abaixo, caso existam (a) lim (x,y)→(0,0) x2 √x2 + y2. (b) lim (x,y)→(0,0) x √x2 + y2. (c) lim (x,y)→(0,0) x + y x − y. (d) lim (x,y)→(1,3) xy y − 3x. Exercício 15. Seja f(x, y) = 3xy2 x2 + y4. (a) Considere a reta σ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0. Mostre que para quaisquer valores de a e b vale lim t→0 f(σ(t)) = 0 . (b) Calcule lim t→0 f(γ(t)), onde g(t) = (t, t2). (c) lim (x,y)→(0,0) x + y x − y. (d) O limite abaixo existe? Justifique. lim (x,y)→(0,0) 3xy2 x2 + y4. 3 Exercício 16. Considere as seguintes funções g(x, y) = x2y2 x2 + y2, f(x, y) =      x2y2 x2 + y2 , se (x, y) ̸= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0). h(x, y) =      x2y2 x2 + y2 , se (x, y) ̸= (0, 0) 1 , se (x, y) = (0, 0). Com base nas funções acima determine quais das afirmações abaixo são verdadeiras: (a) dom(g) = R2 \ {(0, 0)}. (b) dom(h) = R2. (c) dom(f) = R2 \ {(0, 0)}. (d) g é contínua para todo (x, y) ∈ R2. (e) h é contínua para todo (x, y) ∈ R2. (f) f é contínua para todo (x, y) ∈ R2. Exercício 17. Estude a continuidade das seguintes funções: (a) f(x, y) =    xy |x| + |y| , se (x, y) ̸= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0). (b) f(x, y) =      x − 3y x2 + y2 , se (x, y) ̸= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0). (c) f(x, y) =      x3y2 x8 + y4 , se (x, y) ̸= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0). 4