Módulo 1 - Lista de Exercícios 2021 2

Módulo I - Lista de Exercícios Exercício 1. Determine os elementos (um ponto e um vetor normal) e esboce cada plano abaixo: (a) x = −3 (b) y = 4 (c) z = 2 (d) x + 2y − 9 = 0 (e) 2x − 3z − 12 = 0 (f) 5z − 2y − 10 = 0 Exercício 2. Esboce e determine a equação cartesiana da esfera de centro P0 = (1, −1, 0) e raio r = 2. Exercício 3. Esboce e determine os elementos (centro e raio) da esfera com equação cartesiana 2x2 + 2y2 + 2z2 = 8x. Exercício 4. Determine os elementos (geratriz e diretriz) e esboce cada cilindro abaixo: (a) (x − 2)2 + y2 = 4 (b) x2 − y2 = 4 (c) 9x2 + 4z2 = 36 (d) y2 = 4z (e) z = ln(x) (f) y = |x| (g) z = cos(y) (h) x2 = 4z Exercício 5. Determine as seções (interseções da superfície com planos paralelos a cada plano coordenado), esboce e identifique cada superfície quádrica abaixo: (a) 2x2 + 3y2 + z2 = 6 (b) z = 3x2 + 4y2 (c) z2 = 3x2 + 4y2 (d) − z2 + y2 9 + x2 16 = 1 (e) z2 − y2 9 − x2 16 = 1 (f) y = 3x2 + 4y2 Exercício 6. No exercício anterior determine como se altera o esboço da quádrica se existirem as restrições abaixo: (a) z ≥ 0 no item (.a) (b) x2 4 + y2 3 ≤ 1 no item (b). (c) − 1 ≤ z ≤ 2 no item (c). (d) x2 16 + y2 9 ≥ 2 no item (d). Exercício 7. Identifique as superfícies quádricas dadas pelas equações abaixo (a) x2 + 2y2 + 3z2 + x + 2y + 3z = 0 (b) x2 + 2y2 − 3z2 + x + 2y + 3z = 0 (c) x2 − 2y2 − 3z2 + x + 2y + 3z = 0 1 Exercício 8. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso sejam verdadeiras justifique sua resposta e caso sejam falsas dê um contra-exemplo. (a) Todos os traços de um elipsóide são elipses (b) Todos os traços de um hiperbolóide são hipérboles (c) Todos os traços de um parabolóide eliptico são parábolas (d) Existe uma superfície quádrica cujos traços são parábolas e hipérboles Exercício 9. Dentre as superfícies quádricas estudas identifique quais podem ser obtidas pela rotação de alguma curva em torno de um eixo. Exercício 10. A equação y = xz representa qual superfície quádrica? Exercício 11. Uma superfície é chamada limitada se existe M > 0 tal que todo pointo da superfície está a uma distância menor que M da origem. Com base nessa definição: (a) Identifique as superfícies quádricas que são limitadas. (b) Existem cilindros limitados? Justifique. Exercício 12. Seja C uma elipse contida em um plano horizontal acima do plano xy. Qual a superfície quádrica é formada pela união de todas as retas passando pela origem e por um ponto de C? 2