Lista de Exercícios 1 - Cálculo 2 2021 2

Primeira Lista de Exercícios Livro: Cálculo Dif. e Int. de F. de V. Variáveis - Diomara e Maria Cândida Seção 3.6: Exercícios 4 7 8 9 10a 11 13 14 15 Seção 3.8: Exercícios 5 7 8 9 10 11 12 13 15 17 1 102 Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis §3.6 Exercícios Nos exercícios 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas. 1. f(x, y) = 3xy + 6x - y² , \frac{\partial f}{\partial x} (x, y). 2. f(x, y) = \frac{x + y}{\sqrt{x² - y²}} , \frac{\partial f}{\partial y} (x, y). 3. f(x, y) = e^{(\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{x²}{y}\right)}, f_y (x, y). 4. f(x, y) = \int_0^x \ln(\sen t) dt , f_x (x, y). 5. f(x, y, z) = x²y - 3xy² + 2yz , f_y(x, y, z). 6. f(x, y, z) = (x² + y² + z²)^{-\frac{3}{2}} , \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z). 7. Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de z = \sqrt{\frac{x²}{9} + \frac{y²}{4} - 1} com o plano y = 4 no ponto (3,4,2). 8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0). a) f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x² + y²}, & (x, y) \neq (0,0), \\ 0, & (x, y) = (0,0). \end{cases} b) f(x, y) = x² \cos y . c) f(x, y) = \begin{cases} \frac{x²y}{x² + y²}, & (x, y) \neq (0,0), \\ 0, & (x, y) = (0,0). \end{cases} d) f(x, y) = \begin{cases} \frac{x³}{x² + y²}, & (x, y) \neq (0,0), \\ 0, & (x, y) = (0,0). \end{cases} 103 Cálculo diferencial 9. Seja f(x, y) = \begin{cases} (x² + y²) \sen \left(\frac{1}{x² + y²}\right), & (x, y) \neq (0,0), \\ 0, & (x, y) = (0,0). \end{cases} a) Determine \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} b) Mostre que \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0). c) Mostre, usando a definição, que f é diferenciável em (0,0). d) Mostre que f é uma função diferenciável em \mathbb{R}^2. 10. Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfícies, de equação abaixo, é horizontal. a) z = 2x² + 2xy - y² - 5x + 3y - 2 . b) z = x²y² + 2(x - y) . 11. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) = xy + 4z + 2 que é paralelo ao plano xy. 12. Considere a superfície S de equação z = 2x² + 2y². a) Determine o ponto P₀ \in S tal que o plano tangente a S em P₀ seja ortogonal ao vetor V = (0,1, -\frac{1}{6}). b) Escreva a equação do plano tangente referido no item a). 13. Considere a superfície do paraboloide de equação z = \frac{x²}{9} + \frac{y²}{25} . a) Encontre uma equação do plano tangente ao paraboloide no ponto P₀ = (6,10,8). b) Este paraboloide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo z, de tal modo que esta fique tangente à superfície em P₀. Calcule o comprimento 104 Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis da viga. 14. Seja f(x, y) = \sqrt{x² + y²} , (x, y) \in \mathbb{R}^2. Calcule o comprimento do seg- mento da reta normal ao gráfico da f compreendida entre o ponto (3,-4,5) e o plano xy. 15. Seja S a superfície de equação z = \frac{2 - x² - xy + y²}{4} a) Determine o ponto P₀ \in S no qual o plano tangente a S é perpendicular à reta L de equação \sigma(t) = (1 - t, -3t, 24 + 1), t \in \mathbb{R}. b) Escreva as equações da reta normal a S que é paralela à reta L. §3.7 Regra da cadeia e Vetor gradiente Na seção 1.3 provamos a regra da cadeia (teorema 1.1) para funções vetoriais de uma variável. Nosso objetivo nesta seção é estendê-la às funções vetoriais de várias variáveis. Inicialmente, estabeleçamos o seguinte: Teorema 3.4: Sejam z = f(x, y) uma função definida num conjunto aberto U \subset \mathbb{R}^2 e σ(t) = (x(t), y(t)), t \in I, tal que I ⊂ U. Se σ(t) é diferenciável em t₀ \in I, e f(x, y) é diferenciável em σ(t₀) = (x₀, y₀), então a função compo- sita z(t) = f(σ(t)), t \in I, é diferenciável em t₀ e \frac{dz}{dt} (t₀) = \frac{\partial f}{\partial x} (x₀, y₀) \frac{dx}{dt} (t₀) + \frac{\partial f}{\partial y} (x₀, y₀) \frac{dy}{dt} (t₀). (3.9) Demonstração: Como f é diferenciável em (x₀, y₀), temos f(x, y) - f(x₀, y₀) = \frac{\partial f}{\partial x} (x₀, y₀) (x - x₀) + \frac{\partial f}{\partial y} (x₀, y₀) (y - y₀) +E(x, y). (3.10) Cálculo diferencial onde \lim_{(x,y)\to(x₀,y₀)} \frac{E(x, y)}{||(x, y) - (x₀, y₀)||} = 0. Portanto, a função g(x, y) = \begin{cases} \frac{E(x, y)}{||(x, y) - (x₀, y₀)||}, & (x, y) \neq (x₀, y₀), \\ 0, & (x, y) = (x₀, y₀). \end{cases} Nos exercícios 1 e 2, calcule \( \frac{dz}{dt} \) e \( \frac{dx}{dt} \) de dois modos: a) usando a regra da cadeia; b) determinando a função composta \( z(t) \) e derivando em relação a \( t \). 1. \( z = ye^t + xe^y \), \( x = \cos t \), \( y = \sen t \). 2. \( z = (x^2 + y^2) \ln \sqrt{x^2 + y^2} \), \( x = e^t \), \( y = e^{-t} \). Nos exercícios 3 e 4, calcule \( \frac{\partial z}{\partial u} \) e \( \frac{\partial z}{\partial v} \) de dois modos: a) usando a regra da cadeia; b) determinando a função \( z(u, v) \) e derivando em relação a \( u \) e a \( v \). \( 3. \; 3. \; x = z^v, y = x, \; x = \frac{u}{v}, \; y = ue^v. \) \( 4. \; z = x^2 + y^2, \; x = u \sen v, \; y = v \cos u. \) 5. Seja \( z = xy \), onde \( x = f(t) \) e \( y = g(u) \). Supondo \( f \) e \( g \) diferenciáveis, \( f(1) = 2, \; g(1) = 1 \), \( \frac{dx}{dt}(1) = -1, \; \frac{dy}{du}(1) = 5 \), calcule \( \frac{dz}{du}(1) \). 6. Suponha que \( z = f(x, y) \) é uma função de classe \( C^1 \), \( f(1, 3) = -1, \; \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) = 4 \), \( \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = -3 \). Sabe-se que a curva de equação \( v(t) = (t^2, 4t - 1, z(t)) \), \( t \in \mathbb{R} \), está contida no gráfico da função \( z = f(x, y) \). a) Calcule \( \frac{dz}{dt}(t) \). b) Ache uma equação da reta tangente à curva \( v(t) \) no ponto \( v(1) \). c) Mostre que a reta encontrada no item \( b \) está contida no plano tangente ao gráfico da função \( z = f(x, y) \) em \( (1, 3, -1) \). 7. Considere a função diferenciável \( f(x, y) \), onde \( x = g(u, v), \; v = \cos(\pi + u) + e^{uv} \) e \( y = h(u, v) = u^2 - v^2 \). Sabendo que \( \frac{\partial f}{\partial x}(-1, -4) = 3 \) e \( \frac{\partial f}{\partial y}(-1, -4) = 2 \), determine \( \frac{\partial F}{\partial u}(0, 2) \) e \( \frac{\partial F}{\partial v}(0, 2) \) da função \( F(u, v) = f(g(u, v), h(u, v)) \). 8. Sejam \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \) diferenciável e \( P_0 = (0, 0, 0) \) tais que \( \frac{\partial f}{\partial x}(P_0) = 2, \; \frac{\partial f}{\partial y}(P_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(P_0) = 0 \). Defina \( g(t, u, v) = f(t - u, u^2 - 1, 3v - 3) \) e calcule \( \frac{\partial g}{\partial u}(1, 1) \) e \( \frac{\partial g}{\partial v}(1, 1) \). 9. Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função \( f(x, y) \) não é diferenciável. 10. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao hiperbolóide de equação \( x^2 - 2y^2 - 4z^2 = 10 \) no ponto \( 4, -1, 1 \). 11. Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação \( x^2 + 3y^2 + \frac{3z^2}{2} = 18 \) no qual a reta normal é perpendicular ao plano \( x + y + z = 10 \). 12. Mostre que em todos os pontos da intersecção da semiesfera de equação \( x^2 + y^2 + z^2 = 16, \; z \ge 0 \), com o cone de equação \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \), os vetores normais a estas superfícies são ortogonais. 13. Considere o elipsóide de equação \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21 \). Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano \( z + 4y + 6z = 30 \). 14. Seja \( z = f(x, y) \) uma função de classe \( C^1 \). O gráfico de \( f(x, y) \) pode ser considerado como uma superfície de nível de equação \( F(x, y, z) = z - f(x, y) = 0 \). Mostre que as equações do plano tangente num ponto \( P_0 \) obtidas nas definições 3.6 e 3.10 coincidem. 15. Uma peça de metal, com formato de um cone de equação \( z^2 = \frac{x^2}{9} - y^2 = 0, \; z \ge 0 \), deve ser apoiada por uma haste no ponto \( P = (9, 4, 5) \), de modo que a haste fique perpendicular à superfície do cone. a) Determine a equação do plano tangente ao cone no ponto \( P \). b) Considerando o plano \( z = 0 \) como o chão, qual o comprimento da haste desde o chão até a superfície?