Slide - Aula 2 - Taxas de Juros e Relações Fundamentais - 2024-1

TAXA DE JUROS E SUAS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS AULA 2 AULA 2 Prof. Boris Asrilhant 1º semestre 2024 Curso de Administração da FACC - UFRJ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 1: Os(as) alunos(as) não podem divulgar para terceiros ou divulgar em qualquer domínio público ou privado na internet, em nenhum momento (mesmo após o término da momento (mesmo após o término da disciplina), este arquivo ou o conteúdo deste arquivo, sob pena de infringir os direitos autorais do professor. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 2: Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. 11ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant OBJETIVOS DA AULA Objetivo Geral: Apresentar conceitos e aplicações relacionados a taxas de juros e suas relações fundamentais Objetivos Específicos:  Entender a representação gráfica de um fluxo de caixa  Entender a representação gráfica de um fluxo de caixa  Entender os conceitos relacionados a capital, juros e montante  Fixar os conceitos através de exercícios Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant MATEMÁTICA FINANCEIRA A avaliação dos fluxos de caixa visa permitir a tomada de decisão racional a partir dessa avaliação. A representação gráfica de um fluxo de caixa: FC0 FC3 FCn 1 0 2 3 4 n FC1 FC2 FC3 FC4 Períodos (Unidades de tempo) FCj = Fluxo de caixa j ... HOJE = Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant MATEMÁTICA FINANCEIRA No eixo horizontal estão a unidade de tempo e as datas de ocorrência de entradas e saídas de caixa. A unidade de tempo é denominada período e pode ser expressa em dias, meses ou anos. A data inicial (hoje) de ocorrência dos fluxos de caixa é representada por zero e a data n representa o prazo da operação. No eixo vertical estão as entradas e saídas líquidas de caixa. As entradas líquidas de caixa representadas por setas verticais apontadas para cima, significam entradas maiores que saídas (FC0, FC3 e FCn). As entradas liquidas de caixa representadas por setas verticais apontadas para baixa, significam saídas maiores que entradas (FC1, FC2 e FC4). Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CAPITAL, JUROS E MONTANTE Operações financeiras como empréstimos e descontos de títulos envolvem pelo menos dois valores. O primeiro identifica a quantia que uma das partes (o tomador do empréstimo ou devedor do recurso) necessita. O segundo define o valor a ser devolvido à outra parte (o credor) ao término do prazo da operação. O mesmo ocorre em investimentos, mas no sentido inverso. Dada a posição antagônica das partes na transação, o credor cobra Dada a posição antagônica das partes na transação, o credor cobra do devedor do recurso uma quantia equivalente à remuneração que o primeiro receberia na melhor oportunidade de aplicação desses recursos. Essa quantia é denominada de juros. A noção dos juros decorre do fato que, na sociedade, a maioria dos indivíduos prefere consumir bens e serviços hoje e não em uma data futura. Ou seja, eles pagam juros pela preferência de não adiar o consumo. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CAPITAL, JUROS E MONTANTE Juros são a quantia cobrada pelo credor ao tomador de recursos pela utilização do seu capital, denominado de capital inicial, principal ou valor atual, por um determinado período. Ao final do período, o credor passa a possuir um novo capital (montante ou valor futuro), que é a soma do capital inicial mais os juros auferidos no período. Essa relação entre principal, juros e montante pode ser observada sob o ponto de vista do credor, conforme visto abaixo: sob o ponto de vista do credor, conforme visto abaixo: 1 0 2 3 4 n CAPITAL INICIAL, PRINCIPAL OU VALOR ATUAL Períodos (Unidades de tempo) ... MONTANTE OU VALOR FUTURO Data atual Data futura VF = VA + J VF = VA + J Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant A taxa de juros caracteriza-se pelo valor do “aluguel” do dinheiro em certo período de tempo. A taxa de juros está sempre relacionada a uma determinada unidade de tempo, qualquer que seja ela. Supondo uma taxa de dois por cento ao mês. Pode ser expressa CONCEITOS BÁSICOS: JUROS Supondo uma taxa de dois por cento ao mês. Pode ser expressa de formas equivalentes: (1) Forma unitária: o numero é expresso por unidade de capital tomado emprestado ou aplicado e apresentado por vírgula: 0,02 a.m. (2) Forma percentual: o número é expresso por 100 unidades de capital tomado emprestado ou aplicado, como ou sem símbolo de percentagem: 2/100 a.m. ou 2% a.m. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Juro é a remuneração (rendimento) do capital aplicado Considerando a existência de apenas um período, se um principal (P) for aplicado durante um determinado período de tempo, ao final do prazo o principal aplicado se transformará em um montante (S) igual ao CONCEITOS BÁSICOS: JUROS, CAPITAL E MONTANTE aplicado se transformará em um montante (S) igual ao principal (P) acrescido da remuneração (juros) obtida durante o período de aplicação Juros (J) = S – P (1) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Juros obtidos em uma aplicação financeira são o produto da taxa de juros (i) vezes o principal: i = J / P (2A) J = P x i (2B) CONCEITOS BÁSICOS: JUROS, CAPITAL E MONTANTE Assim, igualando (1) com (2B): S - P = P x i => i= S/P – 1 S = P x (1+i) (3) EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS PARA UM PERIODO P = S / (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O fator de capitalização é a expressão (1 + i) e o fator de descapitalização (ou fator de desconto) é 1 / (1+i) S = P x (1+i) P = S x (1/ (1+i)) CONCEITOS BÁSICOS: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS P = S x (1/ (1+i)) Igualando (2A) com (1): i= J/P = S/P –1 i = S/P - 1 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Numa operação de empréstimo pessoal de P= $100, pagou-se, findo determinado período, o valor de J = $15 a titulo de juros. Qual é a taxa de juros cobrada na operação? Dados: P= $100, J=$15, i=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Dados: P= $100, J=$15, i=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Numa operação de empréstimo pessoal de $100, pagou-se, findo um período, o valor de $15 a titulo de juros. Qual é a taxa de juros cobrado na operação (no período)? Dados: P= $100, J=$15, i=? i = J/P = 15/ 100 = 0,15 a.p.= 15% a.p. EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE i = J/P = 15/ 100 = 0,15 a.p.= 15% a.p. S = P + J = 100 + 15= $115 ou S = P + P x i = 100 + 100 x 0,15 = $115 ou S = P x (1+ i) = 100 x (1+0,15) = $115 P = S /(1+i) = 115 / (1,15) = $100 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Calcular os J= juros ganhos por P =$2.000 aplicados por um ano à taxa simples de i = 25% a.a. Dados: P= $2.000, i= 25% a.a., J=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Calcular os juros ganhos por $2.000 aplicados por um ano à taxa simples de 25% a.a. Dados: P= $2.000, i= 25% a.a., J=? J = P x i = 2.000 x 0,25 = $500 EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Qual é a taxa de juros (i) que transforma P= $4.500 em um montante de S1 = $8.100 em um ano? Dados: P= $4.500, S= $8.100, i=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Qual é a taxa de juros que transforma $4.500 em um montante de $8.100 em um ano? Dados: P= $4.500, S= $8.100, i=? i = S/P – 1 = (8.100/4.500) -1 = 1,8 -1 = 0,8 = 80% a.a. Ou: J = S – P = 8.100 – 4.500 = $3.600 EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Ou: J = S – P = 8.100 – 4.500 = $3.600 i = J / P = $3.600 / $4.500 = 0,8 = 80% a.a. Ou: S = P x (1+ i) => 8.100 = 4.500 x (1 + i) (1 + i) = 8.100 / 4.500 => (1 + i) = 1,8 => i = 1,8 – 1 = 0,8 = 80% a.a. Ou: i = J / P => i = (S – P ) / P = (8.100-4.500) / 4.500 = 0,8 = 80% a.a. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Uma empresa pediu um empréstimo no valor de P =$1.000 a uma taxa de juros (i) de 12% a.p. Qual é o valor do montante ao final de um período? Dados: P= $1.000, i= 12% a.p., S=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Uma empresa pediu um empréstimo no valor de $1.000 a uma taxa de 12% a.p. Qual o valor do montante ao final do período? Dados: P= $1.000, i= 12% a.p., S=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE S = P x (1+i) = $1.000 x(1+0,12)= $1.120 ou S = P + P x i =1.000 + 1.000 x 0,12 = $1.120 ou J = P x i = 1.000 x 0,12 = $120 S = P + J = 1.000 + 120 = $1.120 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma poupança remunera aplicações de recursos a i=10% a.p. Calcule o valor que deve ser aplicado hoje (P) para resgatar o montante de S = $1.200 ao final do período? Dados: S= $1.200, i= 10% a.p., P=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Dados: S= $1.200, i= 10% a.p., P=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma poupança remunera aplicações de recursos a 10% a.p. Calcule o valor que deve ser aplicado hoje para resgatar o montante de $1.200 ao final do período? Dados: S= $1.200, i= 10% a.p., P=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Dados: S= $1.200, i= 10% a.p., P=? P = S/(1+i) = $1.200 /(1+0,1)= $1.090,91 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6) Numa operação de empréstimo de P = $100 pagou- se, ao fim do período de 4 meses, o montante de S = $110. Qual é a taxa de variação percentual por unidade de tempo do capital (=taxa de juros) empregado na operação (no período do empréstimo)? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE empréstimo)? Dados: P= $100, S= $110, i=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6) Numa operação de empréstimo de $100 pagou-se, ao fim do período de 4 meses, o montante de $110. Qual é a taxa de variação percentual por unidade de tempo do capital empregado na operação (no período do empréstimo)? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Dados: P= $100, S= $110, i=? i = S/P – 1= $110/$100 - 1 = 10% a.p. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7) Um investidor aplicou $500 em um lote de ações mas precisou vendê-lo, um período após a compra, por $300. Calcule a taxa de variação percentual por unidade de tempo do capital empregado. Dados: P= $500, S= $300, i=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE Dados: P= $500, S= $300, i=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7) Um investidor aplicou $500 em um lote de ações mas precisou vende-lo, um período após a compra, por $300. Calcule a taxa de variação percentual por unidade de tempo do capital empregado. Dados: P= $500, S= $3400, i=? EXERCICIO: JUROS, TAXA DE JUROS, PRINCIPAL E MONTANTE i = S/P – 1= $300/$500 - 1 = -40 % a.p. A taxa no período foi negativa. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant