Slide - Aula 8 - Juros Compostos - 2024-1

JUROS COMPOSTOS AULA 8 Prof. Boris Asrilhant 1º semestre 2024 Curso de Administração da FACC - UFRJ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 1: Os(as) alunos(as) não podem divulgar para terceiros ou divulgar em qualquer domínio público ou privado na internet, em nenhum momento (mesmo após o término da momento (mesmo após o término da disciplina), este arquivo ou o conteúdo deste arquivo, sob pena de infringir os direitos autorais do professor. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 2: Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. 11ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant OBJETIVOS DA AULA Objetivo Geral: Apresentar conceitos e aplicações relacionados ao regime de juros compostos. Objetivos Específicos:  Transformar taxas efetivas em taxas nominais  Transformar taxas efetivas em taxas nominais  Calcular capitais equivalentes  Calcular operações com taxas pós fixadas  Fixar os conceitos através de exercícios Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant ESCOPO DA AULA Apresentação dos conceitos fundamentais e aplicações de operações a partir do regime de juros compostos. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant A relação de equivalência de capitais, em juros compostos, para n períodos e taxa de juros efetiva ie é: P = Sn / (1 + ie)n Na equivalência de capitais não há ganho nem perda CONCEITOS BÁSICOS: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS Na equivalência de capitais não há ganho nem perda entre as partes, apenas um eventual interesse de troca das datas de cumprimento dos compromissos. A data de referência é denominada data focal, de comparação ou avaliação (tempo zero, hoje) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant No regime de juros compostos aplicar um principal P a uma taxa de juros i, o montante obtido após n períodos é igual à aplicação do mesmo capital pelo prazo n1 e depois pelo prazo n2, sendo n = n1+n2 Sn = P x (1 + i )n = P x (1 + i )n1 x (1 + i )n2 = P x (1 + i )n1+n2 CONCEITOS BÁSICOS: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS Portanto o regime de juros compostos é separável e nesse regime a equivalência financeira entre conjuntos de capitais é independente da data focal, o que faz com que conjuntos de capitais equivalentes em certa data focal também o sejam em data distinta. Para tomada de decisão entre alternativas, utiliza-se a data focal zero para equivaler capitais. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS 3) Uma empresa tem compromissos de $ 2.000 e $ 2.500 a vencer respectivamente de hoje a 3 e 8 anos. Seu gerente do banco propõe à empresa a troca desses compromissos por outros dois que sejam equivalentes a vencer de hoje a 10 e 15 anos, respectivamente. Considerando a taxa de juros de respectivamente. Considerando a taxa de juros de compostos de 10% a.a. e que os compromissos têm valores iguais, qual o valor desses compromissos ? Dados: S3= $2.000, S8 = $2.500, i=10% a.a., S10=S15=S=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS 3) Uma empresa tem compromissos de $ 2.000 e $ 2.500 a vencer respectivamente de hoje a 3 e 8 anos. Seu gerente do banco propõe à empresa a troca desses compromissos por outros dois que sejam equivalentes a vencer de hoje a 10 e 15 anos, respectivamente. Considerando a taxa de juros compostos de 10% a.a. e que os compromissos têm valores iguais, qual o valor desses compromissos ? valores iguais, qual o valor desses compromissos ? $2.000/(1+0,1)3 + $2.500/(1+0,1)8 = S/ (1+0,1)10 + S/(1+0,1)15 $2.000/1,331 + $2.500/2,144 = S/ 2,594 + S / 4,177 $1.502,63 + $1.166,27 = 0,386 S + 0,239 S $2.668,90 = 0,625 S S = $2.668,90 / 0,625 =$4.270,68 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Uma empresa tem compromissos de $ 2.000 e $ 2.500 a vencer respectivamente de hoje a 3 e 8 anos. Seu gerente do banco propõe à empresa a troca desses compromissos por outros dois que sejam equivalentes a vencer de hoje a 10 e 15 anos, respectivamente. Considerando a taxa de juros de EXERCICIO: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS respectivamente. Considerando a taxa de juros de compostos de 10% a.a. capitalizada mensalmente e que as compromissos têm valores iguais, qual o valor dessas compromissos ? Dados: S3= $2.000, S8 = $2.500, i=10% a.a. nominal com capitalização mensal, S10=S15=S=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Uma empresa tem compromissos de $ 2.000 e $ 2.500 a vencer respectivamente de hoje a 3 e 8 anos. Seu gerente do banco propõe à empresa a troca desses compromissos por outros dois que sejam equivalentes a vencer de hoje a 10 e 15 anos, respectivamente. Considerando a taxa de juros compostos de 10% a.a. capitalizada mensalmente e que as compromissos têm valores iguais, qual o valor dessas compromissos ? EXERCICIO: CAPITAIS EQUIVALENTES COM JUROS COMPOSTOS têm valores iguais, qual o valor dessas compromissos ? ik efetiva = in nominal /z = (0,10 a.a./12) = 0,0083 a.m. = 0,83% a.m. => (1+ ikefetiva)z -1= (1 +0,0083)12-1 = 10,47% a.a. $2.000/(1,1047)3 + $2.500/(1,1047)8 = S/ (1,1047)10 + S/(1,1047)15 =$4.395,02 OU $2.000/(1,0083)36 + $2.500/(1,0083)96 = S/ (1,0083)120 + S/(1,00833)180 =$4.395,02 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Na operação de renda fixa pós fixada o aplicador e o tomador do empréstimo conhecem, no dia da efetivação da transação financeira, a taxa de rendimento e uma estimativa (não o valor certo) do índice de atualização monetária contratado na operação. Nessas operações, considera-se que o comportamento da indexação, a correção monetária (cm) ao longo do tempo é CONCEITOS BÁSICOS: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS indexação, a correção monetária (cm) ao longo do tempo é exponencial (composto e obtém-se: Sn = P x (1 + ie)n onde (1+ie)n = (1 + r)n x (1 + cm)n Sn = P x (1 + r)n x (1 + cm)n Obs: (1) a cm pode variar ao longo do período (cm1, cm2, cm3, etc) (2) a cm pode ser um valor no período e não se eleva a n Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Calcule o montante (S12) resultante da aplicação (pós fixada) de $5.000 a juros compostos ao fim de 1 ano supondo uma taxa de correção monetária constante de 2% a.m., de modo a garantir uma rentabilidade real de 1% a.m. Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e rentabilidade real de 1% a.m., S=? (1+ie)n = (1 + r)n x (1 + cm)n Sn = P x (1 + r)n x (1 + cm)n Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Calcule o montante resultante da aplicação (pós fixada) de $5.000 a juros compostos ao fim de 1 ano supondo uma taxa de correção monetária constante de 2% a.m., de modo a garantir uma rentabilidade real de 1% a.m. Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e rentabilidade real de 1% a.m., S=? Sn= P x (1+ie)n onde (1+ie)12 = (1+0,01a.m.)12meses x (1+ 0,02 a.m.)12 meses Sn= P x (1 + r)n x (1+ cm)n = 5.000 x (1,01 )12x (1,02)12 = $7.145,44 (1+ie)12 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Calcule o montante (S12) resultante da aplicação (pós fixada) de $5.000 a juros compostos ao fim de 1 ano supondo uma taxa de correção monetária constante de 2% a.m., de modo a garantir uma rentabilidade real de 1% a.m. Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e rentabilidade EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS Dados: P= $5.000, cm= 2% a.m. (constante) e rentabilidade real de 1% a.m., S=? Sn= P x (1 + ie)n Sn = P x (1 + r)n x (1 + cm)n (1+ ie)^12 = (1+r)^12 x (1+cm)^12 = (1,01)^12 x (1,02)^12=1,4291 (1+ ie)^12 = 1,4291 S12= 5.000 x 1,4291= $7.145,44 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6) Você aplicou P= $4.000 durante 3 meses a uma taxa real (r) de operação composta de 0,5% a.m. Calcule o montante a ser resgatado, sabendo que os valores assumidos para a taxa de correção monetária utilizado para cada mês são iguais a, respectivamente, 1,46%, 1,96 % e 1,87% a.m. EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS respectivamente, 1,46%, 1,96 % e 1,87% a.m. Dados: P= $4.000, n=3 meses, cm1= 1,46% a.m., cm2= 1,96,% a.m., cm3= 1,87% a.m., r= 0,5% a.m., S=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6) Você aplicou $4.000 durante 3 meses a uma taxa real de operação composta de 0,5% a.m. Calcule o montante a ser resgatado, sabendo que os valores assumidos para a taxa de correção monetária para cada mês são iguais a, respectivamente, 1,46%, 1,96 % e 1,87% a.m. EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS % e 1,87% a.m. Dados: P= $4.000, n=3 meses, cm1= 1,46% a.m., cm2= 1,96,% a.m., cm3= 1,87% a.m., r= 0,5% a.m., S=? S3= P x (1 + r)n x [(1 + cm1)n1x (1 + cm2)n2x (1 + cm3)n3]= S3 = 4.000 x (1+0,005)3 x [(1+0,0146)1x (1+0,0196)1x (1+0,0187)1] = $4.278,88 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7) Calcule o valor do pagamento final ou montante (S31) de um empréstimo no valor de P= $10.000 pelo período de 31 dias, sabendo que o credor cobrou uma taxa de juros composta real (r) de 12% a.a. mais a variação monetária determinada por certo indexador, onde a taxa de correção monetária (cm) EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS indexador, onde a taxa de correção monetária (cm) no período foi estimada em 1%. Dados: P= $10.000, n=31 dias, cm= 1% nos 31 dias, r= 12% a.a., S=? Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7) Calcule o valor do pagamento final de um empréstimo no valor de $10.000 pelo prazo de 31 dias, sabendo que o credor cobrou uma taxa de juros composta real de 12% a.a. mais a variação monetária determinada por certo indexador, onde a taxa de atualização (ou correção) monetária desse período foi de 1%. EXERCICIO: OPERACOES COM TAXAS COMPOSTAS POS FIXADAS foi de 1%. Dados: P= $10.000, n=31 dias, cm= 1% nos 31 dias, r= 12% a.a., S=? S31 = $10.000 x [(1+ 0,01 a.p.)1 periodo x (1+0,12 a.a.)31/360] = $10.199,50 ou (1+0,12 a.a.)1/360 ano - 1 = 0,000314851 a.d S31 = $10.000 x [(1+ 0,01a.p.) 1 x (1+0,000314851 a.d.)31 dias] = $10.199,50 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant