Cálculo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss

2 Visão geral O cálculo do campo elétrico pode ser simplificado quando a distribuição de carga possui algum tipo de simetria Isto pois é possível efetuar o cálculo do campo por meio da lei de Gauss que relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície dita gaussiana Se a superfície gaussiana não encerrar nenhuma carga o fluxo do campo é nulo Se por outro lado a superfície gaussiana encerrar uma ou mais cargas o fluxo do campo será igual a quantidade de carga multiplicada por uma constante no interior dessa superfície No entanto calcular o fluxo do campo elétrico pressupõe o conhecimento do próprio campo elétrico e isso não é muito útil se o objetivo é calcular o próprio campo elétrico Contudo e esse é o grande trunfo da lei de Gauss se a distribuição de carga tiver algum tipo de simetria como por exemplo a simetria esférica o campo elétrico sobre a superfície gaussiana será constante em todos os pontos dessa superfície Sendo assim o cálculo do fluxo do campo elétrico é simplificado e tornase igual ao produto entre o próprio campo que é constante e a área da superfície Esse produto entre campo e área deve ser igual à quantidade de carga contida na distribuição de carga vezes uma constante que se pressupõe já ser conhecida Com efeito o campo elétrico sobre a superfície gaussiana será igual à quantidade de carga vezes uma constante dividida pela área da superfície gaussiana Considerando que exista uma infinidade de superfícies gaussianas todas concêntricas entre si que envolvem a distribuição de carga o cálculo do campo elétrico sobre uma dessas superfícies implica essencialmente o mesmo cálculo para o campo sobre as demais superfícies e portanto o cálculo do campo elétrico para todos os pontos do espaço É esse o espírito da lei de Gauss que será estudado nesse Capítulo Além disso a lei de Gauss representa a primeira das chamadas equações de Maxwell do eletromagnetismo É a partir dessas equações que se demonstra 3 que a luz é uma onda eletromagnética e a partir disso obtémse os fundamentos da ótica Objetivos 1 Apresentar a lei de Gauss 2 Calcular o campo elétrico usando a lei de Gauss Lei de Gauss O campo elétrico num ponto em virtude de uma carga puntiforme localizada na origem é Calculando o fluxo desse campo através de uma superfície esférica fechada e centrada na origem chamada de superfície gaussiana conforme visto na figura ao lado temse Observando que o vetor unitário normal à superfície gaussiana é igual ao vetor unitário radial então em que o elemento infinitesimal de área é dado por Deste modo o fluxo do campo elétrico tornase 4 Esse resultado expressa a lei de Gauss da eletrostática E é a representação da forma integral ou global da primeira equação de Maxwell Nesse caso partiuse do conhecimento prévio do campo elétrico produzido por uma carga puntiforme para se calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica centrada na carga cujo resultado é igual à carga encerrada pela superfície dividida pela constante da permissividade do vácuo Contudo uma vez demonstrado o resultado da lei de Gauss para um caso particular estendese esse resultado de forma geral o fluxo do campo elétrico criado por uma distribuição de carga através de uma superfície que a engloba será sempre igual à quantidade de carga dessa distribuição dividida pela constante de permissividade do vácuo em que representa a carga total envolvida pela superfície usada para se calcular o fluxo do campo elétrico Se a superfície não englobar cargas ou a quantidade de carga líquida englobada pela superfície for nula tal como um dipolo elétrico o fluxo do campo elétrico resultante será nulo O exemplo a seguir demonstra isso Uma placa uniformemente carregada produz um campo elétrico uniforme Dada a superfície gaussiana na cor vermelha em formato de paralelepípedo o fluxo do campo elétrico através dela pode ser calculado decompondoa em seis superfícies abertas 5 Agora os vetores normais de cada fase podem ser escritos em termos dos vetores unitários cartesianos usuais saindo da página entrando na página Com efeito e apenas as duas primeiras integrais na expressão acima fornecem uma contribuição diferente de zero para o fluxo do campo elétrico Agora a área das faces da parte de cima e debaixo do paralelepípedo Portanto 6 e fica demonstrado que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície que não engloba qualquer carga é nulo O principal objetivo da aplicação da lei de Gauss é calcular o campo elétrico e este é constante sobre a superfície gaussiana o que permite realizar facilmente o cálculo da integral do fluxo do campo pois o integrando será constante Desta forma a escolha da superfície gaussiana é muito importante e em geral demanda o uso de algum tipo de simetria que a distribuição de carga possa oferecer Alguns exemplos típicos são Cargas puntiformes distribuições esféricas de carga Superfície gaussiana esférica Fios infinitos distribuições cilíndricas de carga Superfície gaussiana cilíndrica Placas e discos infinitos Superfície gaussiana cúbica Evidentemente para uma dada distribuição de carga há infinitas superfícies gaussianas e o cálculo do campo elétrico para uma delas equivale obter o campo para todas elas Se cargas puntiformes estiverem encerradas pela superfície gaussiana então o campo elétrico total será dado por Aplicações da Lei de Gauss Carga puntiforme Para uma carga puntiforme escolhese uma superfície gaussiana de raio que esteja centrada na carga Assim o campo elétrico será constante sobre sua superfície Pela lei de Gauss 7 em que Logo que é a magnitude do campo elétrico produzido por uma carga puntiforme como já se sabe Campo externo a uma esfera Considere uma esfera de raio e carga Desejase calcular o campo elétrico gerado no entorno dessa esfera Para tanto considerase uma superfície gaussiana de raio tal que cujo centro coincide com o centro da esfera carregada O emprego da lei de Gauss nesse caso é similar àquele feito no caso da carga puntiforme Assim Logo Campo interno a uma esfera Considere novamente uma esfera de raio e carga uniformemente distribuída em seu interior A figura ao lado mostra a superfície esférica gaussiana de raio no interior da esfera de modo que 8 No entanto nessa situação a superfície gaussiana não engloba toda a carga mas apenas uma fração dela Considerando que a distribuição de carga no interior da esfera é uniforme então a densidade volumétrica de carga é constante e dada por Por outro lado a quantidade de carga encerrada pela superfície gaussiana será em que é o volume associado a superfície esférica gaussiana Logo Deste modo pela lei de Gauss o campo elétrico no interior da esfera será Ou seja no interior de uma esfera uniformemente carregada o campo varia linearmente com a distância ao centro Fio de carga longo Considere um fio muito longo de comprimento e uniformemente carregado com uma quantidade de carga O campo elétrico gerado pelo fio é radial isto é tem direção perpendicular ao fio 9 Por isso a superfície gaussiana nessa caso é um cilindro centrado no fio Apenas a superfície lateral desse cilindro cuja área é contribui para o cálculo do fluxo do campo elétrico uma vez que as superfícies de cima e debaixo do cilindro possuem vetores normais que são perpendiculares às linha de campo Pela lei de Gauss em que é a densidade linear de carga do fio Observe que para um fio muito longo o campo elétrico produzido por ele cai com o inverso da distância Placa extensa uniformemente carregada Considere uma placa suficientemente extensa e uniformemente carregada com densidade superficial de carga O campo elétrico produzido por esta placa é uniforme e as linhas de campo são perpendiculares à placa e paralelas entre si Usando uma cápsula cilíndrica ou cúbica como superfície gaussiana conforme visto na figura ao lado percebese que apenas as superfícies do topo e do fundo do cilindro contribuirão para o cálculo do fluxo do campo já que desta vez é o vetor normal à superfície lateral que é perpendicular ao campo Pela lei de Gauss 10 em que representa a carga total do disco e é a área total do disco Logo em que Note que o campo elétrico produzido pela placa é de fato constante Materiais Condutores Os condutores são substâncias como os metais que contém um grande números de portadores de carga essencialmente livres Em geral tais portadores de carga são elétrons no caso dos metais mas também podem ser íons no caso de soluções Como a carga pode moverse livremente num condutor mesmo sob a influência de campos elétricos muito pequenos os portadores de carga movemse até encontrarem posições em que não experimentam nenhuma força líquida Quando atingem o repouso o interior do condutor deve ser uma região desprovida de campo elétrico Assim sob condições estáticas o campo elétrico no interior de um condutor se anula Toda a distribuição de carga se encontra apenas sobre a superfície externa do condutor Usando uma caixa cilíndrica de área da base como superfície gaussiana como o topo para fora do condutor e o fundo no interior do condutor a aplicação da lei de Gauss resulta em 11 Logo Observe que há apenas campo elétrico na superfície do condutor que por conta disso atravessa apenas o topo da superfície gaussiana indicada Além disso em razão do estado de equilíbrio que as cargas atingem na superfície do condutor a condição de contorno deve ser verificada a fim de que não exista uma corrente artificial na superfície do condutor Forma Local das Equações de Maxwell A representação da lei de Gauss utilizando uma integral de superfície é conhecida como a forma global da primeira equação de Maxwell pois envolve o conhecimento do campo em toda a região do espaço definida pela superfície gaussiana Contudo é possível representar a lei de Gauss em uma forma local isto é envolvendo o conhecimento do campo elétrico em apenas um ponto do espaço E isso é obtido usando operadores diferenciais Por isso a forma local também é chamada de forma diferencial da lei de Gauss Com o auxílio do Teorema de Gauss ou Teorema do Divergente sabese que Observando que a carga pode ser escrita em termos da densidade volumétrica de carga contida em um volume então pela lei de Gauss é possível escrever 12 Substituindo esse resultado no Teorema de Gauss temse que ou seja o que implica Assim o divergente do vetor campo elétrico é igual a densidade volumétrica de carga local dividida pela constante de permissividade elétrica no vácuo Vale a pena lembra que EXEMPLO 1 O campo elétrico em uma determinada região do espaço é dado por em é uma constante e a Encontre a densidade de carga que produz esse campo b Encontre a carga total contida numa esfera de raio centrada na origem Faça isso de duas maneiras diferentes i pela lei de Gauss e ii calculando via Resolução a Uma vez que o vetor campo elétrico dado pode ser escrito como 13 Agora a derivada parcial da componente do campo elétrico com relação à coordenada é É fácil verificar que as outras duas derivadas parciais necessárias para o cálculo do divergente do vetor campo elétrico são Logo o divergente do vetor campo elétrico será Pela lei de Gauss na forma diferencial temse que é a densidade volumétrica de carga que gera o campo elétrico fornecido no problema b Usando i a lei de Gauss na forma integral temse que que é a carga total contida em uma esfera de raio centrada na origem Agora usando ii a integração direta da densidade de carga obtida no item anterior temse que 14 em que se considerou a simetria esférica para escrever o elemento de volume infinitesimal como e assim transformar a integral tripa em uma integral simples Logo que é exatamente o mesmo resultado que aquele obtido com o uso da lei de Gauss EXERCÍCIOS 1 O valor médio do campo elétrico na atmosfera num determinado dia num ponto da superfície da Terra é de dirigido verticalmente para baixo A uma altitude de ele se reduz a Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de 2 No modelo clássico de J J Thomson para o átomo de hidrogênio a carga do núcleo era imaginada distribuída uniformemente no interior de uma esfera de raio da ordem de raio atômico e o elétron era tratado como uma carga puntiforme movendose no interior dessa distribuição a Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância do centro da esfera em que é o raio atômico b Mostre que o elétron poderia se mover radialmente como um MHS c Calcule a frequência de oscilação e comparea com uma frequência típica da luz visível 3 Uma casca esférica de raio interno e raio externo uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica envolve uma esfera concêntrica de raio também carregada uniformemente com a mesma densidade Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço i ii iii e iv 15 4 Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por para em que é uma constante e é a distância à origem a Calcule a carga total da distribuição e b determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço 5 É dada uma linha de carga infinitamente longa com densidade uniforme de carga por unidade de comprimento Determine o campo elétrico a uma distância da linha 6 Num trabalho escrito em 1911 Ernest Rutherford disse Para se ter alguma ideia das forças necessárias para desviar umas partícula através de um grande ângulo considere um átomo contendo uma carga puntiforme no seu centro e circundada por uma distribuição de eletricidade negativa uniformemente distribuída dentro de uma esfera de raio O campo elétrico a uma distância do centro para um ponto dentro do átomo é Verifique esta equação 7 Um objeto condutor tem uma cavidade oca em seu interior Se uma carga puntiforme for introduzida na cavidade demonstre que uma carga será induzida na superfície da cavidade 8 Uma casca esférica de espessura tal que tem uma densidade de carga dada por Encontre o campo elétrico nas três regiões i ii iii Faça um gráfico de como uma função de 9 Duas placas condutoras paralelas entre si e infinitas estão separadas por uma distância Se as placas possuírem densidades uniformes de carga e respectivamente em suas superfícies internas obtenha uma expressão para o campo elétrico entre elas Demonstre que o 16 campo elétrico nas regiões externas às placas é necessariamente nulo 10 Um átomo de hidrogênio pode ser considerado possuidor de um próton central de carga puntiforme positiva e um elétron de carga negativa distribuída ao redor do próton de acordo com a densidade volumétrica de carga Nessa expressão é uma constante é o raio de Bohr e é a distância ao centro do átomo a Usando o fato de que o hidrogênio é eletricamente neutro determine b Depois determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância igual ao raio de Bohr 10 Uma esfera maciça nãocondutora de raio tem uma distribuição de carga nãouniforme de densidade volumétrica dada por em que é uma constante e é a distância ao centro da esfera Mostre que a a carga total da esfera é e b o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por 11 Uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica contém em seu interior uma cavidade esférica Mostre que o campo no interior da cavidade é uniforme e dado por em que é o vetor que liga os centros das duas esferas Dica use o princípio da superposição 17 Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011