Conceitos de Dielétricos e Capacitores

2 Visão geral Até agora tratouse de casos em que o campo elétrico é produzido exclusivamente por cargas em distribuição esférica ou por cargas livres sobre a superfície de condutores Um material dielétrico ideal é aquele que não tem cargas livre em seu meio ou superfície No entanto as moléculas que compõem esse material dielétrico são afetadas pela presença de um campo externo Sabese que o campo elétrico exerce uma força sobre cada partícula carregada sendo que as cargas positivas são deslocadas no sentido do campo e as cargas negativas são deslocadas no sentido inverso Com efeito num material dielétrico as partes positiva e negativa de cada molécula são deslocadas de suas posições de equilíbrio em sentidos opostos Esse deslocamentos são limitados frações muito pequenas de um diâmetro molecular por intensas forças restauradoras em virtude da mudança de configuração de cada molécula Em razão desses deslocamentos de carga produzidos pela presença de um campo elétrico externo dizse que o dielétrico está polarizado Um dielétrico polarizado mesmo que eletricamente neutro produz em média um campo elétrico tanto em pontos exteriores como no interior do dielétrico Assim a polarização do dielétrico depende do campo elétrico total do meio porém uma parte do campo elétrico é produzida pelo próprio dielétrico Além disso se o campo elétrico externo ao dielétrico for produzido por um material condutor então o campo elétrico distante do dielétrico oriundo de sua polarização pode modificar a distribuição de cargas livres no material condutor e isto por sua vez alterará o campo elétrico dentro do dielétrico Objetivos 1 Apresentar o conceito de capacitor e suas consequências conceituais 3 2 Apresentar o conceito de dielétrico 3 Apresentar o conceito do vetor polarização 4 Apresentar o conceito do vetor deslocamento elétrico 5 Reescrever a lei de Gauss em um dielétrico Capacitor Plano O capacitor ou condensador é um dispositivo elétrico utilizado principalmente para armazenar cargas Pelo princípio da superposição o campo elétrico entre duas placas condutoras é uniforme e dado por sendo em que é a carga total em cada placa e é a área das placas A diferença de potencial entre as placas é Com efeito Observe que o termo constante entre parênteses na relação acima depende apenas de fatores geométricos A relação de proporcionalidade entre a diferença de potencial entre as placas e a quantidade de carga das placas vale para qualquer par de condutores de qualquer forma entre os quais se estabelece uma diferença de potencial em consequência de carregálos com cargas Logo 4 e que representa a capacitância do par de condutores dito capacitor Deste modo A unidade de capacitância é o Farad EXEMPLO 1 Sabendose que então um capacitor cuja distância entre as placas seja de e a capacitância seja de terá qual área das placas Resolução Foi dado que e Desse modo A partir desse resultado percebese que é uma unidade muito grande Comumente usase ou Capacitor Cilíndrico Um capacitor cilíndrico é formado por cilindros coaxiais Calculando o campo elétrico na superfície gaussiana de raio traçada em vermelho na figura ao lado pela lei de Gauss 5 A diferença de potencial entre os cilindros coaxiais é dada por Desde que então a partir do resultado acima concluíse que a capacitância de um capacitor cilíndrico é Capacitor Esférico Um capacitor esférico é formado por uma par de esferas condutoras concêntricas de raios e tal que Pela lei de Gauss é fácil verificar que o campo elétrico entre as esferas é dado por em que Logo a diferença de potencial entre as esferas será Novamente desde que então a partir do resultado acima a capacitância do capacitor esférico será 6 EXEMPLO 2 Mostre que para uma distância suficientemente pequena entre os cilindros do capacitor cilíndrico a capacitância é aproximadamente igual àquela de um capacitor plano Resolução Se então fazendo de modo que Com esse arranjo podese escrever em que no último passo fezse uso da aproximação em série de Taylor da função logaritmo natural Logo a capacitância do capacitor cilíndrico pode ser aproximada como em que é a área lateral do cilindro Note que nesse caso o capacitor cilíndrico pode ser entendido como um capacitor plano enrolado EXEMPLO 3 Mostre que para uma distância pequena entre as esferas do capacitor esférico em que a capacitância desse tipo de capacitor pode ser aproximada como igual àquela do capacitor plano Resolução Seja então 7 Logo em que é a área da esfera Associação de Capacitores Um primeiro tipo de associação envolvendo os capacitores é conhecida como associação em paralelo ou conexão em paralelo A Figura ao lado mostra três capacitores e ligados em paralelo que por sua vez estão conectados a uma bateria que fornece uma diferença de potencial entre os terminais As placas positivas dos capacitores formam um único condutor e por isso estão em um mesmo potencial Com efeito em que é a capacitância equivalente nesse arranjo de três capacitores ligados em paralelo A Figura ao lado mostra como o arranjo de três capacitores em paralelo poderia ser simplificado em apenas um capacitor equivalente De fato para um conjunto de capacitores ligados em paralelo a capacitância equivalente pode ser escrita como 8 Um segundo tipo de associação envolvendo capacitores é conhecida como associação em série ou conexão em paralelo A Figura ao lado mostra três capacitores e ligados em série que por sua vez estão conectados com uma bateria que fornece uma diferença de potencial entre os terminais Em uma conexão em série as placas dos capacitores possuem a mesma quantidade de carga Nesse arranjo a fornecida pela bateria deve ser igual a soma das de cada capacitor Desta forma temse que em que é a capacitância equivalente para esse arranjo de três capacitores ligados em série Da mesma maneira que no caso anterior a Figura ao lado mostra como o arranjo de três capacitores em paralelo poderia ser simplificado em apenas um capacitor equivalente 9 Com efeito para um conjunto de capacitores ligados em série a capacitância equivalente pode ser escrita como Energia Eletrostática Armazenada Considere o carregamento gradual de um capacitor Num instante em que a carga armazenada é a instantânea entre as placas é O trabalho realizado pela bateria para transferir uma quantidade infinitesimal de carga é dado por em que Logo Essa energia é interpretada como estando armazenada no interior das placas do capacitor Nesse resultado a energia potencial eletrostática é dada como uma função de e ou seja A partir da relação essa energia potencial também pode ser escrita como Note a semelhança dessas diferentes representações da energia com aquela envolvendo os potenciais termodinâmicos Para um capacitor plano sabese que e então a energia pode ser escrita como 10 em que é o volume do espaço entre as placas do capacitor onde o campo elétrico fica confinado Assim Portanto é a densidade de energia armazenada no campo elétrico no espaço entre as placas EXEMPLO 4 Considere uma esfera condutora e isolada de carga e raio como sendo um capacitor e mostre que a partir da energia potencial armazenada no espaço ao seu redor o potencial em sua superfície será Resolução Esse arranjo em que a esfera condutora é interpretada como um capacitor pode ser entendido fazendo na expressão Nesse limite é fácil verificar que a capacitância da esfera será em que se fez Combinando esse resultado com a relação a energia armazenada em todo o espaço podese escrever Agora outra identidade para é dada por Comparando esses dois últimos resultados temse que que resolvendo para resulta em 11 que é o potencial eletrostático na superfície da esfera É claro que esse resultado poderia ser obtido de outra maneira por exemplousando a lei de Gauss mas o objetivo do exercício é demonstrar a conciliação conceitual entre um resultado obtido através do uso dos capacitores com aquele que se originaria através da lei de Coulomb EXEMPLO 5 A partir da densidade de energia armazenada no campo externo produzido por uma esfera de raio e carga determine a energia total contida nesse campo Resolução O campo elétrico criado pela esfera é dado por em que Além disso a densidade de energia armazenada no campo é dada por Desta forma a energia armazenada no campo em todo o espaço será em que é o elemento de volume infinitesimal Substituindo a expressão para o campo elétrico na densidade de energia a energia armazenada no campo será 12 é a energia armazenada no campo elétrico criado pela esfera em todo o espaço ao seu redor Interessantemente podese mostrar que a energia potencial eletrostática obtida do ponto de vista de sua armazenagem nas cargas isto é é a mesma que aquela que aparece armazenada no campo isto é em que Com o auxílio da equação de Poisson temse que Deste modo a energia armazenada na configuração das cargas pode ser reescrita como Agora considere a seguinte identidade vetorial para o operador divergente em que Rearranjando essa expressão temse que Com efeito o lado direito da integral de volume acima fica sendo Aplicando o teorema da divergência à primeira integral do lado direito da expressão acima temse que 13 Desde que a energia é calculada em todo o espaço a superfície que envolve toda a configuração de cargas está muito afastada isto é em que é o raio da superfície esférica No entanto de acordo com a lei de Coulomb e de modo que enquanto que a área da superfície é proporcional a o que implica que e portanto esse fluxo tende à zero quando isto é Portanto e consequentemente fica demonstrado que ou seja a equivalência energética entre o ponto de vista da armazenagem de energia na configuração das cargas e o ponto de vista da armazenagem de energia no campo A Autoenergia de uma Carga Puntiforme Já foi demonstrado que uma esfera carregada de raio vista a uma distância maior que o seu raio se comporta como se fosse uma carga puntiforme Ou seja uma distribuição esfericamente simétrica se comporta como se toda a sua carga estivesse concentrada no centro esse resultado é uma consequência do chamado teorema das cascas Para uma distribuição esférica de densidade volumétrica uniforme de raio a energia eletrostática é 14 Já para uma distribuição de carga superficial como uma esfera condutora temse que Em ambos os casos a menos de uma fator numérico a energia se comporta como quando que seria o limite de uma carga realmente puntiforme essa aparente divergência é uma dificuldade básica do eletromagnetismo clássico em tentar compreender o elétron como uma partícula puntiforme A chamada Eletrodinâmica Quântica resolve essa dificuldade aparente com métodos próprios dessa teoria O Raio Clássico do Elétron Segundo a Teoria da Relatividade a uma certa quantidade de energia está associada uma massa inercial Considerando um modelo clássico do elétron em que toda sua massa tem origem eletromagnética então para um modelo esférico de raio do elétron temse que de maneira que a massa do elétron seria ou seja 15 Sabendose que e o raio aproximado do elétron seria Esse resultado é conhecido como o raio clássico do elétron Algumas observações limitantes sobre esse resultado devem ser mencionadas a as forças repulsivas coulombianas entre elementos de carga de mesmo sinal não permitiriam a existência de um modelo estável para o elétron sem a presença de forças de outra natureza para contrabalancear a repulsão b um modelo clássico para uma partícula como o elétron não é coerente pois para uma distâncias maiores que já há manifestação de efeitos quânticos que é o caso do chamado raio de Bohr do modelo atômico de Bohr em que é a constante de Planck c a teoria quântica também possui dificuldades inerentes em formular um modelo puntiforme para o elétron a partir de técnicas de renormalização Talvez uma possível abordagem para esse problema seria tratar o elétron com se ele tivesse uma extensão tal como uma corda no lugar de considerálo puntiforme É essa a abordagem preconizada pela Teoria das Cordas Energia de Condutores Carregados Podese adaptar o resultado 16 obtido para um sistema contínuo de cargas para aquele envolvendo um sistema de condutores Para tanto é necessário fazer a seguinte modificação e integrar sobre a superfícies de todos os condutores Com efeito No entanto sobre a superfície do condutor o potencial é constante isto é configurando assim uma superfície equipotencial Logo pode sair do integrando acima em que é a carga do condutor distribuída sobre a superfície Em particular para um capacitor com cargas entre suas placas temse que em que é a entre as placas Essa é outra maneira de demonstrar a energia eletrostática armazenada em um capacitor No entanto observase que há uma diferença importante na aplicação da expressão para um sistema de condutores ou para a energia de interação entre cargas puntiformes Para um sistema de cargas puntiformes representa apenas a interação entre pares de cargas e é o potencial na carga em razão das outras cargas Já para um sistema de condutores é a energia 17 total do sistema e é o potencial do condutor devido a todas as cargas inclusive aquelas distribuídas sobre o próprio condutor Força Ponderomotriz sobre a Superfície de um Condutor A partir da figura ao lado que representa um condutor carregado e usando a lei de Gauss o campo elétrico produzido por ele será ou seja o campo elétrico é normal à superfície do condutor em que é a densidade superficial de carga no ponto onde se calcula o campo elétrico Observase que o campo elétrico produzido por uma superfície condutora é o dobro daquele produzido por uma superfície não condutora Isso pode se entendido da seguinte maneira ao subdividir a contribuição das cargas superficiais do condutor numa porção contida num pequeno disco circular com centro no ponto considerado e noutra porção referente ao restante das cargas a segunda porção deve cancelar a primeira logo abaixo do disco que é dentro do condutor a fim de assegurar que implicando assim uma duplicação do campo na parte superior dessa região Agora considere um elemento de carga contido num elemento de superfície de um condutor conforme ilustrado na Figura ao lado Argumentouse logo acima que o campo na superfície é metade devido ao elemento de superfície e metade devido à distribuição de carga sobre o resto do condutor Então esta quantidade de carga devido ao resto do condutor exerce uma força sobre o elemento de carga infinitesimal contido em que deve ser dada por 18 em que é o campo elétrico devido ao resto do condutor Observe que não depende do sinal de uma vez Esse incremento diferencial de força é conhecido como força ponderomotriz De fato a força ponderomotriz equivale a uma tensão força por unidade de área como pode ser visto na expressão anterior fazendo uma simples manipulação algébrica em que é o campo elétrico local produzido pela superfície do condutor Desde que a densidade de energia é dada por então num ponto vizinho de temse que ou seja a força ponderomotriz é proporcional a densidade de energia do campo Em um capacitor plano conforme visto na Figura ao lado como o vetor normal é dirigido para dentro essa tensão representa uma força atrativa entre as placas carregadas com cargas opostas Para aumentar de um incremento infinitesimal a separação entre as placas mantendo a carga das placas constante placas isoladas a força externa aplicada tem que realizar um trabalho contra essa força ponderomotriz atrativa dado por 19 em que é a variação do volume entre as placas do capacitor e é a variação da energia eletrostática armazenada nesse volume Com efeito a força atrativa entre as placas mantidas isoladas será No caso de um capacitor de placas paralelas cuja capacitância é a energia é dada por Logo a força ponderomotriz atrativa entre as placas será que é inversamente proporcional à área das placas Dielétricos Cavendish e independentemente Faraday descobriram que a capacitância de um capacitor aumenta quando se coloca um material isolante entre as placas Se o espaço entre as placas estiver totalmente preenchido pelo isolante a capacitância aumenta por um fator que só depende da natureza do material isolante e não da forma ou tipo de capacitor Deste modo o fator recebe o nome de constante dielétrica do material isolante dielétrico sendo uma grandeza adimensional Para melhor se compreender o papel da constante dielétrica considere um capacitor carregado com uma carga antes da inserção do dielétrico Após a inserção do dielétrico entre as placas mantendo o capacitor isolado 20 a carga será No entanto pela conservação da carga o que implica em que representa a capacitância no vácuo para o qual A capacitância aumenta pois a tensão entre as placas diminui Logo e portanto Essa queda de tensão entre as placas do capacitor é de fato consequência da diminuição da magnitude do campo elétrico no interior do capacitor uma vez que em que representa a distância de separação entre as placas Daí em que é a intensidade do campo elétrico entre as placas depois da inserção do dielétrico e é a intensidade do campo antes dessa inserção Descontinuidade do Campo Elétrico 21 Considere um capacitor em que um dielétrico é inserido sem preencher totalmente o seu interior mantendo se uma pequena distância entre as placas e o dielétrico conforme visto na Figura ao lado No espaço entre o dielétrico e a placa meio o campo elétrico permanece inalterado pois a densidade superficial de carga não se alterou Assim ao atravessar a superfície do dielétrico meio o campo elétrico que é perpendicular a esta superfície sofre uma descontinuidade em que é o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico meio que surge em razão da polarização do dielétrico e é o vetor unitário normal à superfície entre o dielétrico meio e o vácuo meio orientado no sentido Essa descontinuidade do campo elétrico traz outras implicações Considere uma superfície gaussiana cilíndrica conforme indicado na Figura acima O fluxo que entra pela base inferior é menor do que aquele que sai pela base superior Logo pela lei de Gauss o que implica 22 em que é a densidade superficial de carga de polarização e é o campo elétrico no interior do dielétrico Esse resultado implica a existência de uma densidade superficial de carga positiva sobre a base superior da lâmina do dielétrico Similarmente na base inferior da lâmina dielétrica deve existir uma densidade superficial de carga negativa correspondente No entanto o dielétrico como um todo é neutro Para se entender a origem dessas densidades superficiais de carga considere os efeitos da polarização criação de momentos de dipolo de moléculas nãopolares sob a ação do campo dentro do dielétrico A aplicação do campo produz um deslocamento das cargas positivas na direção do campo e das cargas negativas no sentido oposto criando assim um dipolo Com efeito a aplicação de um campo elétrico a um sistema neutro tende a produzir um momento de dipolo elétrico numa molécula nãopolar em virtude do deslocamento de carga no interior da molécula Por outro lado num material com moléculas polares por exemplo gás ou líquido o alinhamento num campo aplicado também produz uma polarização preferencial na direção do campo Considere um elemento de superfície orientado dentro do dielétrico que é atravessado por uma carga total como consequência desse deslocamento Essa quantidade de carga varia na direção de na mesma forma que o fluxo de um campo vetorial por exemplo dito 23 em que é a componente normal do vetor que por sua vez tem a direção do deslocamento das cargas ou seja é paralelo a em um meio isotrópico Note que em termos de unidades o vetor tem dimensão de densidade superficial de carga Para o caso de uma polarização homogênea em um volume totalmente imerso no dielétrico não há variação de carga total pois a carga que atravessa para fora através da base superior é compensada pela carga que entra na base inferior No entanto isso não ocorre na superfície do dielétrico No topo da camada temse que é paralelo a e por isso Já na base da camada Isso explica o aparecimento das densidades de carga que são chamadas de cargas de polarização Considerando um cilindro que vai do topo da camada a sua base ele adquire um momento de dipolo elétrico em que é o elemento de volume do cilindro Logo 24 em que é o vetor polarização dielétrica que representa o momento de dipolo por unidade de volume induzido pelo campo elétrico do meio isolante Relação entre e Uma relação entre o vetor polarização dielétrica e o vetor campo elétrico depende de um modelo microscópico de estrutura do dielétrico a fim de se obter o momento de dipolo criado pelo campo ou seja a resposta de cada átomo ou molécula do campo aplicado Em geral esse tema é melhor tratado dentro do escopo da Mecânica Quântica Entretanto para campo aplicados típicos a perturbação produzida por é muito pequena em comparação com os campo interatômicos Com efeito é esperado que um análogo atômico da lei de Hooke Assim podese escrever uma equação constitutiva que é obtida experimentalmente em que é a chamada susceptibilidade dielétrica e é uma constante numérica característica do material Em geral Além disso para campos muito intensos pode surgir efeitos não lineares do tipo assim como no caso de uma mola na lei de Hooke Sabendose que então pela relação podese escrever ou seja Esta é a relação entre a constante dielétrica do material e sua susceptibilidade Além disso definese a permissividade elétrica do material como 25 Algumas observações importantes se fazem necessárias Em primeiro lugar as cargas de polarização também são denominadas de cargas ligadas pois resultam de cargas ligadas a átomos e moléculas em contraposição às cargas livres sobre condutores Em segundo lugar todas as cargas sejam ela livres ou ligadas tem que ser levadas em conta no cálculo do campo elétrico Polarização nãohomogênea Para um dielétrico nãohomogêneo a polarização varia de ponto a ponto dentro do dielétrico e nesse caso não é verdade que as cargas de polarização apareçam apenas na superfície Deste modo pela própria definição de a carga total que sai de um volume situado dentro do dielétrico através de sua superfície em consequência de sua polarização pelo campo elétrico é em que na última igualdade se usou o teorema da divergência Se então e pela conservação da carga total a quantidade de carga no interior do volume mais aquela na superfície deve ser nula uma vez que o dielétrico é neutro a carga contida dentro de será de modo que é a chamada densidade volumétrica de carga de polarização Se além disso existirem dentro do dielétrico cargas livres de densidade volumétrica a densidade de carga total que gera o campo elétrico será devido a de modo que a equação de Poisson será dada por 26 Agora como a equação de Poisson pode ser reescrita como Usando a equação constitutiva a equação acima fica que pode ser rearranjada como Multiplicando ambos os lados desta expressão pela permissividade elétrica no vácuo temse que Definindo o vetor deslocamento elétrico então a equação de Poisson no interior de um dielétrico se torna mais simplesmente Observe que e variam de ponto a ponto no caso nãohomogêneo Por outro lado o campo elétrico continua sendo conservativo isto é Logo a forma local das equações básicas da eletrostática num meio dielétrico geral é dada por e são conhecidas como as Equações de Maxwell da Eletrostática Em particular se a permissividade elétrica for constante então 27 EXEMPLO 6 Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas semipreenchido conforme ilustrado na figura ao lado com um dielétrico numa metade e a outra não Resolução As placas metálicas do capacitor são superfícies equipotenciais e portanto sua diferenças de potencial define um campo elétrico constante dado por o mesmo nas duas metades A carga total nas placas é dada por em que é a quantidade de carga na metade em que e é a quantidade de carga na metade em que Contudo e em que e é a capacitância na metade da placa sem o dielétrico Deste modo a capacitância equivalente deste capacitor semipreenchido será dada por que é o resultado esperado para uma associação e paralelo de dois capacitores de área um com o dielétrico e outro sem o dielétrico Campo Elétrico Externo a um Dielétrico Tratamento Geral Considere um pedaço finito de material dielétrico que seja polarizado isto é em cada ponto há um vetor de polarização 28 A polarização dá origem a um campo elétrico e o problema a ser resolvido é como calcular este campo em um ponto que está fora do material dielétrico Para tanto calculase primeiro para depois se obter por meio da relação Sabese que para um dipolo elétrico temse que Se o dipolo não está na origem do referencial então o resultado acima pode ser adaptado como Cada elemento de volume do meio dielétrico é caracterizado por um momento de dipolo Como a distância entre o ponto onde se quer calcular o campo é em geral grande comparada com as dimensões de esse momento de dipolo determina completamente a contribuição dos elemento de volume do dielétrico ao potencial É importante notar que O potencial total no ponto é obtido fazendo a soma continua de todas as contribuições provenientes de todas as partes do dielétrico 29 Ao se resolver essa integral sobre o volume do dielétrico o ponto se mantém fixo Isso permite o uso da seguinte identidade vetorial em que Deste modo Agora a partir da identidade vetorial em que é uma função escalar arbitrária e é uma função vetorial também arbitrária Identificando e a identidade vetorial acima fica sendo Com efeito o integrando do cálculo do potencial tornase Aplicando o teorema do divergente na primeira integral temse que As quantidades e são duas funções escalares obtidas a partir do vetor polarização Em analogia com o caso de uma distribuição de cargas definese como sendo a densidade superficial de carga de polarização e 30 como a densidade volumétrica de carga de polarização Desta maneira o potencial criado pelo dielétrico em uma região exterior ao material fica com uma estrutura semelhante àquela vista no caso de uma distribuição contínua de cargas ou seja Vale a pena observar que a carga total de polarização no dielétrico é nula como consequência direta do teorema do divergente Uma vez calculado o potencial elétrico o vetor campo elétrico é dado por em que pois agora o operador atua apenas no vetor Logo Campo Externo no Interior de um Dielétrico Antes de escrever uma expressão para o campo elétrico no interior de um meio polarizado é necessário definir esse campo precisamente O campo elétrico macroscópico é a força por unidade de carga sobre uma cargateste imersa no dielétrico no limite em que a cargateste é tão pequena que não afeta por si mesma a distribuição de carga Essa cargateste deve ser dimensionalmente pequena do ponto de vista macroscópico carga puntiforme mas grande comparada ao tamanho de uma molécula 31 Embora esse enunciado corresponda à definição do campo elétrico macroscópico é difícil usar essa definição para obter diretamente uma expressão para o campo É mais conveniente usar outra propriedade do campo elétrico para obter uma expressão analítica e desta forma se obter em termos de cargas de polarização do meio O campo elétrico num dielétrico deve ter as mesmas propriedades básicas que encontramos aplicadas a no vácuo isto é deve ser conservativo e por isso derivável de um potencial escalar Primeiramente examinase o campo criado no interior de uma cavidade meio 1 dentro do dielétrico meio 2 devido ao próprio material dielétrico Como é posto que o vetor campo elétrico deve ser conservativo então No entanto pois o vetor campo elétrico é perpendicular a esses trechos Além disso em que é a componente tangente do campo elétrico no meio 1 vácuo e é a componente tangente do campo elétrico no meio 2 dielétrico Logo 32 implicando que O campo elétrico tangente à cavidade tanto no meio dielétrico quanto no vácuo são iguais Esse resultado é válido independentemente da orientação da cavidade cilíndrica Com efeito o campo num dielétrico será igual ao campo elétrico no interior de uma cavidade cilíndrica do dielétrico sempre que o eixo da cavidade for orientado paralelamente à direção do campo elétrico Observase que o percurso se situa parcialmente na cavidade cilíndrica e parcialmente no dielétrico Assim em um dielétrico isotrópico a polarização tem o sentido de modo que para a orientação da cavidade dada nas paredes cilíndricas Já em um dielétrico anisotrópico não é necessariamente nulo seu valor porém não afeta a componente longitudinal do campo elétrico na cavidade Desse modo o problema de calcular o campo elétrico no interior de um dielétrico se reduz ao cálculo do campo elétrico no interior de uma cavidade cilíndrica no dielétrico Considerando podese calcular o potencial e o campo elétrico proveniente desta polarização Para o ponto do campo dentro da cavidade temse que em que é o volume do dielétrico excluído o volume da cavidade Além disso é a superfície exterior do cilindro e é a superfície do cilindro tal que e são as superfícies da base e do topo do cilindro deitado e é a superfície lateral do cilindro Sabese que sobre a superfície lateral da cavidade além do mais a cavidade pode ser arbitrariamente fina de maneira que as superfícies e tenha áreas desprezíveis Logo apenas as superfícies exteriores do dielétrico contribuem para o cálculo do potencial A contribuição da cavidade para a integral de volume é desprezível uma vez que é limitadas a quantidade não diverge no ponto 33 do campo daí podese fazer o volume da cavidade arbitrariamente pequeno Com efeito é o potencial elétrico independente do ponto estar dentro ou fora do dielétrico Consequentemente o campo elétrico sendo o negativo do gradiente desse potencial será que é independente do ponto estar dentro ou fora do dielétrico No entanto é necessário pontuar alguns aspectos importantes desses resultados i eles são diretos quanto é uma função apenas de ii contudo em geral e isso pode ser obtido através de uma equação constitutiva experimental iii contudo se depende do campo elétrico total incluindo a contribuição do próprio dielétrico e sendo exatamente esse campo elétrico a ser determinado então não se pode obter pois não se conhece e vice versa Posto isto é evidente que se faz necessário uma abordagem diferente do problema e isso será feito mais adiante Lei de Gauss em Dielétricos 34 Quando se aplica a lei de Gauss em uma região que contém cargas imersas em um dielétrico devese ter cuidado para incluir todas as cargas na superfície gaussiana tanto a carga de polarização quanto as cargas imersas no dielétrico Assim pela lei de Gauss em que e é a carga de polarização Aqui é o volume do dielétrico encerrado por Não há contornos do material dielétrico em de modo que essa integral de superfície não contém nenhuma contribuição de Pelo teorema do divergente Com efeito a carga de polarização tornase Logo a lei de Gauss pode ser reescrita como 35 Aglutinando as duas integrai de superfície temse que em que é o vetor deslocamento elétrico Essa é a forma integral ou global da lei de Gauss para meios dielétricos Considerando que e pelo teorema do divergente que chegase a forma diferencial ou local da lei de Gauss para meios dielétricos A vantagem de expressar as formas integral e diferencial da lei de Gauss em termos do vetor deslocamento elétrico consiste no fato de apenas a carga ou a densidade de carga que foi introduzida no meio dielétrico aparecer explicitamente A partir da relação temse que em que representa o termo relacionado com a densidade de carga introduzida no meio e representa exclusivamente o termo proporcional à polarização do meio Observe que se então 36 Além disso aplicando o operador divergente em ambos os lados da expressão envolvendo os três campos vetoriais temse que que demonstra a relação entre o divergente do campo elétrico e a soma das cargas livres e de polarização Carga Puntiforme em um Meio Dielétrico Considere uma carga puntiforme em um meio dielétrico isotrópico e homogêneo de dimensão finita Além disso o meio será considerado linear e caracterizado por uma constante dielétrica Se a carga puntiforme estivesse no vácuo o campo elétrico seria radial No entanto como os vetores são paralelos uns aos outros em cada ponto a natureza radial do campo não é alterada pela presença do meio Ainda a partir da simetria do problema os vetores podem depender apenas da distância da carga puntiforme e não de alguma coordenada angular Aplicando a lei de Gauss para meios dielétricos considerando uma superfície esférica concêntrica a carga puntiforme temse que Ou ainda 37 O campo elétrico é dado pela relação Logo Lembrando da equação constitutiva então o vetor polarização será Observe que o campo elétrico é menor do que aquele sem a presença do meio dielétrico ou seja o campo elétrico no vácuo De fato isso acontece pois do ponto de vista macroscópico a carga aparece reduzida de e por isso o campo elétrico aparece reduzido de um fator Condições de Contorno sobre os Vetores de Campo É importante entender como os vetores de campo e variam ao passarem por uma interface entre dois meios Os dois meios podem ser dois dielétricos com diferentes propriedades ou um dielétrico e um condutor Mesmo o vácuo pode ser considerado um dielétrico com permissividade Sejam dois meios e em contato conforme ilustrado na figura abaixo 38 Considere que há uma densidade superficial de carga externa que pode variar de ponto a ponto sobre a interface Seja uma pequena superfície em forma de um cilindro que interseccione a interface e encerre uma área e cuja altura seja desprezível comparada com o diâmetro das bases A carga encerrada por será em que é a densidade volumétrica de carga do meio e é a densidade volumétrica de carga do meio Todavia o volume do cilindro também pode ser desprezado uma vez que a altura também é desprezível daí o segundo termo da relação acima também pode ser desprezado Aplicando a lei de Gauss à superfície temse que em que Desde que é um vetor normal à interface podese então escrever Portanto a descontinuidade na componente normal do vetor deslocamento elétrico é dada pela densidade de carga externa sobre a interface Assim se 39 não houver carga sobre a interface entre os dois meios a componente normal de será contínua isto é se então Para o campo eletrostático conservativo vale Considerando que os segmentos e são desprezíveis assim como a altura do cilindro e que o componente dos segmentos e são iguais a podese escrever a partir da integral de linha acima ou seja a componente tangencial do campo elétrico é contínua através de uma interface Se o meio for considerado condutor então Consequentemente e portanto o que implica que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície do condutor Se também for considerado nulo então em que representa a carga superficial total do condutor mas não inclui a carga superficial de polarização do dielétrico Além disso fisicamente o potencial dever ser contínuo através de uma interface uma vez que entre pontos próximos é em que é a separação entre os pontos A partir do exposto aqui podese concluir que o vetor deslocamento elétrico está intimamente relacionado com a carga externa Com efeito esperase que o fluxo de seja contínuo em regiões que não contém cargas externas 40 Considere linhas de deslocamento em uma dada região do espaço O sentido de uma linha em qualquer ponto é o sentido de naquele ponto Tais linhas formam um tubo de deslocamento limitando lateralmente um volume que também é limitado nas extremidades pelas superfícies e Aplicando a lei de Gauss Se não houver cargas externas na região a mesma quantidade de fluxo que entra por sairá por quando houver cargas externas presentes estas determinarão a descontinuidade no fluxo de deslocamento elétrico Assim as linhas de deslocamento terminam nas cargas externas Por outro lado as linhas de força terminam nas cargas externas ou nas cargas de polarização EXERCÍCIOS 41 1 Escreva a permissividade elétrica de um material em termos da permissividade elétrica do vácuo e da susceptibilidade do material 2 Mostre que um campo elétrico da ordem de que é extremamente intenso do ponto de vista macroscópico ainda é da ordem de vezes menor que o campo elétrico produzido pelo próton sobre o elétron no átomo de hidrogênio Além disso mostre também que esse campo produz um deslocamento de carga da ordem de vezes o raio atômico Considere que o raio atômico seja da ordem de 3 A Terra possui uma capacitância grande o suficiente de maneira que se escoar bastante carga para ela sem alterar apreciavelmente seu potencial a chamada ligação Terra Para tanto considere a Terra como se fosse um capacitor esférico de raio sendo que a outra esfera do par tem raio que tende ao infinito Nessa configuração determine a capacitância da Terra 4 Os espaço entre as placas de área de um capacitor plano está preenchido por duas camadas dielétricas adjacentes de espessuras e tal que e constantes dielétricas e respectivamente A diferença de potencial entre as placas é e o campo do meio para o meio Encontre a a capacitância do capacitor e b a densidade superficial de cargas livres nas placas 5 Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica de raio está uniformemente carregada de modo que a densidade volumétrica é a Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera b Obtenha a diferença de potencial entre o centro da esfera e sua superfície 6 Uma fina barra de dielétrico de seção reta transversal estendese ao longo do eixo de até A polarização da barra dáse ao longo de seu comprimento e é dada por em que e 42 são duas constantes Encontre a densidade volumétrica de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula nesse caso 7 Uma barra de dielétrico com a forma de um cilindro circular reto de comprimento e raio se polariza na direção de seu comprimento Se a polarização for uniforme e de módulo calcule o campo elétrico resultante dessa polarização num ponto sobre o eixo da barra 8 Demonstre a seguinte relação entre o vetor polarização e as densidades de carga de polarização e para uma amostra de dielétrico de volume e superfície Aqui é o vetor posição a partir de qualquer origem fixa 9 Duas esferas condutoras de raios e estão eletrizadas no vácuo e seus potenciais são respectivamente e As esferas são colocadas em contato e depois afastadas uma da outra a Qual o novo potencial de cada esferas b Qual a quantidade de carga de cada esfera antes e depois do contato 10 A figura ao lado mostra uma associação de três capacitores e A entre os terminais e vale Qual é a energia eletrostática armazenada nessa associação 43 Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011