Corrente Elétrica: Conceitos e Modelos Microscópicos

2 Visão geral Consideraremos agora cargas em movimento uniforme Isto implica tratarmos com condutores de eletricidade pois por definição um condutor é um material em que os condutores de carga estão livres para se moverem sob a ação de campos elétricos estacionários Essa definição inclui além dos condutores convencionais como metais e ligas metálicas semicondutores eletrólitos gases ionizados dielétricos imperfeitos e mesmo o vácuo na vizinhança de um cátodo emissor termiônico Em muitos condutores os portadores de carga são elétrons em outros casos a carga pode ser conduzida por íons positivos ou negativos Objetivos 1 Conceituar corrente elétrica e suas grandezas associadas 2 Discutir um modelo microscópico para a corrente Natureza da Corrente Elétrica A carga em movimento constitui uma corrente e o processo por meio do qual a carga é transportada é chamado de condução A corrente é definida como a razão segundo a qual a carga é transportada através de uma dada superfície por um sistema condutor por exemplo através da secção reta de um fio elétrico Assim em que é a carga líquida transportada em um instante A unidade física de corrente no sistema é o ampère Num metal a corrente é totalmente conduzida pelos elétrons enquanto os íons positivos pesados estão fixos em posições regulares na estrutura cristalina do metal Somente os elétrons atômicos de valência os mais externos estão livres para participar do processo de condução os outros elétrons estão fortemente ligados aos seus elétrons 3 Em condições de estado estacionário os elétrons podem ser introduzidos no metal em um ponto e removidos em outro produzindo uma corrente porém o metal como um todo é eletrostaticamente neutro Num eletrólito a corrente é conduzida tanto pelos íons positivos como m 2 predomine porque alguns íons se movem mais rapidamente que outros É importante observar que íons positivos e negativos se deslocando em sentidos opostos contribuem para manter a corrente no mesmo sentido Isso decorre da própria definição de uma vez que a carga líquida transportada mediante uma dada superfície depende tanto do sinal do condutor de carga como do sentido em que se move Por convenção o sentido em que se movem os portadores positivos é tomado como sendo o sentido da corrente Em geral uma corrente elétrica surge como resposta a um campo elétrico Se o campo elétrico for estabelecido num condutor fará com que os portadores de carga positiva se movam no sentido do campo e os portadores negativos num sentido oposto ao campo Numa descarga de gás a corrente é conduzida tantos pelos íons positivos como pelos elétrons porém como os elétrons se movem muito mais que os íons pesados praticamente toda a corrente é conduzida pelos elétrons Os portadores de carga são divididos em grupos cada um tendo um movimento comum denominado de movimento de deslocamento do grupo Cada grupo de portadores de carga representa efetivamente um conjunto de partículas em equilíbrio térmico com o seu meio ambiente e assim cada partícula possui um movimento térmico bem como um movimento de deslocamento Entretanto o movimento térmico embora possa ser grande é também aleatório e em consequência dá lugar a um transporte de carga não organizado O movimento de deslocamento por outro lado não é aleatório Ao considerar o processo de condução é possível desprezar o movimento aleatório As correntes descritas aqui são conhecidas como correntes de condução Estas correntes representam o movimento de deslocamento dos portadores de carga num meio neutro O meio como um todo pode estar em repouso 4 Equação da Continuidade Considere um meio condutor que tem apenas um tipo de portador de carga cuja carga é O números desses portadores por unidade de volume é e a velocidade de deslocamento de cada portador será A ideia é calcular a corrente através de um elemento de área como visto na figura ao lado Durante o tempo cada portador percorre uma distância Assim a quantidade de carga que atravessa durante o tempo é vezes a soma de todos os portadores de carga no volume em que é um vetor normal ao elemento de área Logo Se mais de um tipo de portador de carga estiver presente então haverá uma contribuição na forma da expressão acima para cada tipo de portador Logo será a corrente através da área para diferentes tipos de portadores presentes A quantidade entre parênteses na expressão acima é um vetor que tem dimensão de corrente por unidade de área e por isso é denominado de densidade de corrente A densidade de corrente pode ser definida em cada ponto logo A unidade física da densidade de corrente no sistema é Deste modo o elemento de corrente através do elemento de área pode ser reescrito como 5 e a corrente através da superfície uma área de forma arbitrária e de dimensões macroscópicas é dada por A densidade de corrente e a densidade de carga não são quantidades independentes Elas estão relacionadas em cada ponto por uma equação diferencial denominada de equação da continuidade que é uma expressão da conservação da carga Considere uma superfície fechada arbitrária A corrente elétrica que penetra em o volume encerrado pela superfície é dada por O sinal negativo na expressão acima aparece pois é o vetor normal que aponta para fora da superfície e assim garantindo que seja positivo quando o fluxo líquido de carga é do exterior de para seu interior Pelo teorema do divergente sabese que e portanto Considerando uma distribuição volumétrica de carga de maneira que 6 Para um volume fixo a derivada em relação ao tempo atua somente sobre a função Uma vez que em geral então Combinando todos os resultados temse que Ou seja Uma vez que o volume é completamente arbitrário então o integrando deve ser nulo para que o resultado acima seja satisfeito Logo é a equação da continuidade essa equação terá um papel fundamental na constituição das chamadas equações de Maxwell Lei de Ohm Experimentalmente verificase que a densidade de corrente num metal à temperatura constante é linearmente proporcional ao campo elétrico aplicado Deste modo em que é a condutividade elétrica do material Esta equação constitutiva é conhecida como lei de Ohm Esta equação tem uma validade aproximada para um grande números de materiais condutores comuns No entanto no caso geral em que é uma função do campo elétrico Os materiais para os quais é constante são chamados de meios lineares ou meios ôhmicos 7 O recíproco da condutividade é a resistividade Observase que comumente também é usada a notação para a condutividade e para a resistividade mas adotase outros símbolos para evitar a confusão com a nomenclatura das densidades superficial e volumétrica de carga respectivamente A unidade física de no sistema é o Assim Com efeito a unidade física de é Considere agora uma amostra condutora que obedece a lei de Ohm na forma de um fio de secção reta uniforme cujas extremidades são mantidas a uma diferença de potencial constante Supondo que o fio seja homogêneo e caracterizado pela constante de condutividade temse que em que é o comprimento do fio Desde que em que é a área da secção reta do fio e a lei de Ohm fornece a seguinte relação que proporciona uma relação linear entre e mensurável cuja constante de proporcionalidade é denominada de resistência do fio 8 Logo que é a forma mais familiar e aplicável da lei de Ohm a unidade física da resistência no sistema é o No caso geral dependerá do valor da corrente Contudo o foco desse estudo é a análise majoritariamente de materiais lineares em que é independente de O trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga se move através de uma diferença de potencial é A potência elétrica correspondente é Essa é a potência elétrica fornecida aos portadores de carga por uma bateria por exemplo Usando a forma da lei de Ohm temse que que é a potência dissipada através do aquecimento de uma resistência por exemplo e que também é chamado de aquecimento Joule do material Correntes Estacionárias em Meios Contínuos Considere um meio condutor homogêneo ôhmico sob condições de condução em estado estacionário isto é e portanto para cada ponto do meio Nesse caso de correntes estacionárias a equação da continuidade fica Combinando esse resultado com a lei de Ohm temse que 9 desde que o meio é homogêneo então é constante o que implica Além disso como em um campo estático pode ser obtido de um potencial escalar como Com efeito que é a equação de Laplace Portanto um problema de condução em estado estacionário pode ser resolvido da mesma forma que os problemas eletrostáticos Resolvese a equação de Laplace utilizandose condições de contorno apropriadas Condições de contorno suficientes para resolver o problema são as que especificam ou em cada ponto da superfície do meio Especificar na superfície por sua vez é equivalente a especificar uma vez que os dois vetores estão relacionados entre si pela lei de Ohm Logo a partir da solução da equação de Laplace podese determinar e por tabela em cada ponto no interior do meio a partir da operação de gradiente Sob condições de condução em estado estacionário a corrente que atravessa uma área interfacial entre dois meios condutores pode ser calculada de duas formas i ou em termos da densidade de corrente do meio 1 ou ii em termos da densidade de corrente do meio 2 Como esses dois procedimentos devem proporcionar o mesmo resultado a componente normal de deve ser contínua através da interface ou ainda Este resultado é o análogo da equação para a continuidade de através das interfaces dielétricas em problemas de eletrostática 10 Além disso como o campo é estático em cada meio em um percurso fechado que liga ambos os meios implicando que Esta equação é a mesma tanto em problemas eletrostáticos quanto em problemas de condução estacionária Como um exemplo da relação entre condução e eletrostática considere dois condutores metálicos num meio ôhmico homogêneo infinito de condutividade moderada Se os condutores metálicos forem mantidos em potenciais e a corrente entre eles será em que é a resistência do meio Esta corrente pode ser expressa em termos da densidade de corrente no meio como em que é qualquer superfície fechada que circunda completamente os dois condutores Desde que então Se o campo elétrico for produzido por cargas eletrostáticas sobre os dois condutores metálicos em um meio dielétrico então pela lei de Gauss 11 em que é a carga do condutor metálico circundado pela superfície e é a permissividade do meio Nessas circunstâncias os dois condutores formam um capacitor Combinando os últimos três resultados que é a relação entre a resistência do meio e a capacitância do problema eletrostático equivalente Esta relação é na verdade mais do que uma analogia entre os meios condutor e dielétrico ela também se aplica a qualquer meio isolado com condutividade e constante Como não existe dielétrico ideal pois todo dielétrico real tem um característico que não se anula não importando o quão pequeno seja No outro extremo mesmo um bom condutor tem seu próprio Desta forma um capacitor tem uma resistência de fuga e um resistor tem uma pequena capacitância associada Passagem para o Equilíbrio Eletrostático Viuse que o excesso de carga num condutor se localiza em sua superfície Esta é naturalmente a situação de equilíbrio A passagem para o equilíbrio não foi vista mas se afirmou que para bons condutores metálicos a obtenção do equilíbrio é rápida Quanto mais pobre o condutor mais lenta é a passagem para o equilíbrio eletrostático 12 Considere um meio isotrópico homogêneo caracterizado pela condutividade e permissividade que tem densidade volumétrica de carga prescrita Se este sistema condutor for subitamente isolado dos campos elétricos aplicados tenderá para a situação de equilíbrio onde não há excesso de carga no interior do sistema Pela equação da continuidade e com o auxílio da lei de Ohm temse Contudo está relacionado com as fontes do campo pela lei de Gauss Logo em que Resolvese essa equação diferencial da seguinte maneira Seja uma solução do tipo que substituindo na equação diferencial resulta em Dividindo toda a expressão por temse que Logo temse uma equação diferencial apenas para cuja integração resulta em 13 Agora Então e a solução final é Com efeito chegase ao estado de equilíbrio exponencialmente Analisando o argumento da função exponencial concluíse que tem dimensão de tempo Logo é a constante de tempo característica ou também o tempo de relaxação do meio A constante de tempo característica é uma medida para determinar quão rápido o meio condutor atinge o equilíbrio eletrostático Finalmente observase que um material alcançará sua distribuição de carga de equilíbrio numa aplicação específica quando for muito menor que o tempo necessário para realizar a medida pertinente Teoria Microscópica da Condução A partir de um modelo simples de um condutor é possível compreender o comportamento linear enunciado pela lei de Ohm Seja uma partícula livre no meio com carga e massa Sob influência da força elétrica local sua velocidade de deslocamento aumentará de acordo com a segunda lei de Newton Se a partícula estiver no vácuo ela continuará a se acelerar Num meio material em que passa uma corrente estacionária a velocidade de deslocamento será contudo constante e por conseguinte a força total 14 sobre a partícula deve ser nula Uma outra força em virtude do meio deve atuar além da força elétrica A suposição mais simples possível é que a força de retardamento seja proporcional à velocidade de forma que a equação de movimento da carga seja Quando temse que é um tipo de velocidade terminal da carga Contudo podese verificar consulte as notas de Mecânica Clássica que a solução completa desta equação diferencial é Note que a velocidade de deslocamento local atinge seu valor estacionário exponencialmente em que se identifica como sendo o tempo de relaxamento Logo a velocidade de deslocamento do estado estacionário pode ser escrita como Assim para um único tipo de condutor a densidade de corrente fica 15 que é proporcional ao campo de acordo com a lei de Ohm Deste modo é direto identificar a constante de condutividade como ou se houver vários tipo de portadores de carga No caso de um condutor eletrônico razoavelmente bom como um semicondutor ou um metal podese interpretar como o tempo médio entre colisões de um elétron de condução Esse tempo médio está relacionado ao livre percurso médio do elétron por em que é a velocidade térmica dos elétrons que é muito maior que a velocidade de deslocamento Leis de Kirchhoff Em muitos problemas de interesse prático os portadores de carga se limitam a seguir um percurso de alta condução denominado circuito e então as quantidades de interesse serão as correntes em cada parte do circuito será visto circuitos que conduzem correntes estacionárias isto é circuitos de corrente contínua O problema central da análise de circuitos é dadas as resistências e a voltagem aplicada em cada elemento de circuito encontrar a corrente em cada um desses elementos Viuse que a integral da componente tangencial de um campo eletrostático ao redor de qualquer percurso se anula isto é Para um material ôhmico sendo que é sempre positivo Logo uma força puramente eletrostática não pode fazer com que uma corrente elétrica circule no mesmo sentido em torno de um circuito inteiro 16 A fim de que seja mantida uma diferença de potencial entre dois pontos do condutor e por conseguinte sendo a causa da corrente elétrica é necessário fontes de energia externa Tais voltagens aplicadas também conhecidas por força eletromotriz ou podem ser produzidas por bateria Com efeito na análise de circuitos a integral de linha do vetor campo elétrico é nula em um percurso fechado que contenha os terminais da voltagem um segmento do percurso através da rede de resistências e outro diretamente através dos terminais mas externo à fonte A teoria do circuito elétrico se propõe a desenvolver um procedimento para analisar o primeiro segmento através da rede de resistências A diferença de potencial entre os terminais da fonte é denominada de voltagem aplicada Uma fonte ideal fornece uma voltagem aplicada independente da corrente retirada da fonte Já a voltagem terminal de uma fonte real seria em que é a resistência interna da fonte e é conhecida como voltagem de circuito aberto A resistência é uma propriedade do objeto material considerado e depende tanto da natureza do material que o compõe como de sua geometria A resistividade por outro lado depende apenas da natureza do material utilizado Um bom condutor de formato conveniente que é caracterizado principalmente por sua resistência é denominado resistor Os resistores podem ser conectados para formar uma rede de resistências A forma básica como dois resistores podem ser combinados são i em série em que a mesma corrente passa através de ambos os resistores 17 Logo a resistência equivalente numa combinação em série de três resistores é Evidentemente para uma conjunto de resistores ligados em série temse que ii em paralelo em que a diferença de potencial através de cada resistor é a mesma Assim Logo a resistência equivalente numa combinação em paralelo de dois resistores é Para uma conjunto de resistores ligados em paralelo temse que Com efeito em ambos os casos o resultado do cálculo da resistência equivalente implica substituir a coleção de resistores que compõe o circuito por um único resistor equivalente A resistência equivalente de uma rede mais complicada pode ser determinada através da combinação de resistores em pares até se reduzir a uma única resistência equivalente No entanto esse procedimento não é possível para todas as redes 18 Qualquer problema de rede pode ser resolvido de uma forma sistemática por meio de duas regras conhecidas como leis de Kirchhoff Antes de enunciar essas leis definese i um nó é um ponto do circuito onde três ou mais condutores estão conectados e ii uma malha é qualquer percurso fechado na rede Posto isto enunciase as leis de Kirchhoff como 1 A soma algébrica das correntes que fluem para um nó é nula isto é 2 A soma algébrica da diferença de potencial em torno de qualquer malha da rede é nula isto é A primeira lei é apenas uma afirmação formal de que a carga não se anula em um nó do circuito como resultado da corrente estacionária É uma forma mais restrita da equação da continuidade e equivale a para correntes estacionárias A segunda lei é simplesmente um novo enunciado de para campos estáticos Para aplicar as leis de Kirchhoff observase a lei de Ohm a queda de potencial numa resistência é dada por em que se admite que o potencial mais alto esteja na extremidade em que a corrente suposta penetra na resistência Essa é a forma integral de para um meio linear Relacionase as voltagens aplicadas como 19 Combinando com a segunda lei de Ki8rchhoff é reescrita como Se as resistências internas das fontes forem consideradas poderão ser incorporadas no lado direito da equação acima Observase no entanto que antes de aplicar as leis de Kirchhoff é necessário supor os sentidos das correntes em cada um dos nós Esses sentidos dever estar indicados no diagrama do circuito Se a solução numérica dessas equações resultar em um valor negativo para alguma corrente isto significa que o sentido dessa corrente é o oposto do que foi inicialmente considerado Além disso as equações obtidas através da primeira lei de Kirchhoff não são todas independentes Em geral se houver nós somente deles fornecerão equações independentes Por fim ao se aplicar as equações das malhas uma voltagem aplicada será considerada positiva se produzir uma corrente positiva no sentido percorrido EXERCÍCIOS 1 Mostre que a solução da equação de movimento para uma carga de massa num meio material de corrente estacionária é dada por 2 A taxa máxima de corrente de um fio de cobre de área de secção reta de é de a Qual a densidade de corrente correspondente em b Supondo que cada átomo contribui com um elétron de condução calcule a velocidade de deslocamento eletrônica correspondente a essa densidade de corrente c Use a 20 condutividade observada para calcular o tempo médio de colisão para um elétron de cobre d Calcule a razão entre a potência dissipada e a área superficial O número de Avogrado é átomos por mol o peso atômico do cobre é e a densidade do cobre é 3 Um sistema de cargas e correntes está completamente contido no interior de um volume fixo O momento de dipolo da distribuição de cargacorrente é definido por em que é o vetor posição a partir de uma origem fixa Mostre que Sugerese demonstrar primeiro a seguinte identidade observando que se anula sobre a superfície fechada 4 Uma lâmpada de é projetada para operar em entre seus terminais Uma resistência é colocada em paralelo com a lâmpada e a combinação é colocada em série com um resistor de e uma bateria de com resistência interna de Qual deveria ser o valor de se a lâmpada operasse na voltagem projetada 5 O campo elétrico médio na atmosfera perto da superfície terrestre é de dirigido para a Terra A corrente média de íons que atinge a totalidade da superfície da Terra é de Supondo que a distribuição da corrente é isotrópica calcule a condutividade do ar na vizinhança da Terra 6 Uma bateria fornece uma voltagem aplicada e resistência interna fornece corrente a um aparelho de resistência a Para que valor de a potência fornecida é máxima b Para esse valor de qual é 21 a relação entre a potência fornecida e aquela dissipada na própria bateria 7 Um capacitor de placas paralelas é preenchido com um material de constante dielétrica e condutividade o que produz uma corrente de fuga Ele está carregado com uma carga inicial a Calcule a resistência do dielétrico como uma função de b Demonstre que a carga deixa as placas como uma função exponencial do tempo c Demonstre que a produção total de calor por efeito Joule é igual a energia eletrostática armazenada inicialmente Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011