Fundamentos da Teoria Eletromagnética: Interação entre Cargas

2 Visão geral O problema fundamental que a teoria eletromagnética espera resolver é o seguinte dado um conjunto de cargas ditas cargas fontes então que força elas exercem em outra carga dita carga de prova Em princípio as posições das cargas fontes são dadas como funções do tempo e a trajetória da partícula de prova deve ser calculada Em geral tanto as cargas fontes quanto a carga de prova estão em movimento A solução desse problema é simplificada pelo princípio da superposição que afirma que a interação entre duas cargas quaisquer não é afetada pela presença de outras Isso significa que para determinar a força em pode se primeiro calcular a força devida apenas a e ignorar todas as outras Em seguida calculase devida apenas a e assim sucessivamente Por fim fazse a soma vetorial de todas essas cargas individualmente Assim aparentemente se for possível encontrar a força em devida a uma única carga temse em princípio resolvido o problema pois o restante seria apenas uma questão de repetir a mesma operação várias vezes e depois somar tudo no final No entanto a aparente simplicidade desse processo oculta alguns detalhes significativos que certamente interferem no resultado final da resolução do problema fundamental posto acima Isto pois a força que atua sobre não depende apenas da distância que separa as cargas ação à distância como também depende da velocidade e da aceleração de Além disso não é apenas as variáveis cinemáticas de posição velocidade e aceleração de em si que são relevantes para a solução desse problema mas o fato de que a interação entre as cargas se propaga à velocidade da luz Portanto para o cálculo da força que atua em é necessário se saber qual a posição velocidade e aceleração que a carga tinha em algum momento anterior quanto a interação se iniciou Com efeito desenvolveuse um novo conceito a fim de se resolver esse problema fundamental o campo elétrico É ele que faz a intermediação da interação entre a carga e as demais cargas E essa intermediação respeita a velocidade de propagação que e a interação possui Portanto vêse que num cenário eletrodinâmico não é mais possível aplicar a lei de Coulomb para se calcular a interação entre duas ou mais cargas 3 sendo esta lei útil apenas em situações estáticas É necessário utilizar a nova ferramenta do campo elétrico Contudo no presente momento não se tratará de fenômenos eletrodinâmicos A eletrostática ainda será mantida em pauta Mas ainda sim o conceito de campo elétrico será apresentado Embora de um ponto de vista prático o processo de se calcular a interação entre cargas continua o mesmo pequenas diferenças sutis são perceptíveis nesse processo que culminam finalmente numa nova lei a lei de Gauss a ser vista no próximo capítulo Objetivos 1 Definir o conceito de campo elétrico 2 Calcular o campo elétrico para distribuições discretas e contínuas de cargas Campo Elétrico Foi visto que na interação de várias cargas a força resultante sobre uma delas dita pode ser escrita como 21 Se é uma cargateste então o campo elétrico pode ser definido como o limite da razão entre a força elétrica que atua sobre a cargateste pela própria cargateste tal que 22 cuja unidade no SI é O limite físicomatemático está incluído na definição do campo elétrico para assegurar que a cargateste não afete a distribuição de cargas que produz o campo Essa perturbação ocorre em especial quando a distribuição de cargas esta sobre o condutor e portanto a cargas do condutor são afetadas pela presença da cargateste mudando suas posições iniciais Podese então interpretar que as cargas são cargasfonte do campo elétrico que é sentido pela carga através da força 4 A partir das relações 21 e 22 a força que a carga sofre em razão da existência do campo elétrico gerado pelas outras cargas é dada simplesmente por Na eletrostática o conceito de campo elétrico parece apenas uma descrição alternativa mais rebuscada para descrever a interação entre as cargas De fato decompõese o processo em duas etapas i a criação de um campo num ponto do vácuo por uma configuração de cargas ii e a atuação desse campo sobre uma outra carga colocada nessa ponto A interação entre as cargas passa a ser mediada pelo campo mas o resultado é equivalente à aplicação da lei de Coulomb No entanto para uma interação entre cargas em movimento a lei de Coulomb sugere a ideia de ação à distância entre as cargas Nesse caso os efeitos do movimento de uma das cargas seriam sentidos instantaneamente por todas as outras Entretanto considerando a interação mediada pelo campo elétrico que se propaga através do vácuo o processo de transmissão pode ocorrer com uma velocidade finita causando uma retardação nos efeitos do movimento da carga sobre as demais elas somente sentirão esses efeitos após um intervalo de tempo suficiente para a propagação da interação que se dá a velocidade da luz EXEMPLO 1 Uma carga puntiforme está localizada no ponto de um sistema de coordenadas cartesiano e a outra no ponto Qual é o campo elétrico em um ponto localizado em A partir do resultado obtido analise os seguintes casos particulares i e ii e iii o ponto na origem Resolução Essa configuração de cargas pode representar um dipolo elétrico quando a distância entre as cargas é pequena Isso será visto na análise dos casos particulares 5 O vetor posição do ponto é dada por O vetor posição da carga é enquanto o vetor posição da carga é Posto isto os vetores de posição relativa entre o ponto e as cargas serão Deste modo o campo elétrico produzido pela carga no ponto será e o campo elétrico produzido pela carga no ponto será Logo o campo elétrico resultante no ponto devido às cargas e será dada por Agora podese examinar os casos especiais 6 i Considerando e o campo elétrico no ponto fica sendo Considerando que é o vetor momento de dipolo elétrico então o campo elétrico pode ser escrito como Em particular se vale a seguinte aproximação ii Agora considerando que e ponto acima da carga positiva temse que Para a situação em que vale a aproximação de modo que iii Por fim considerando o ponto na origem isto é o campo elétrico será Com efeito para todas as configurações especiais vistas percebese que o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico cai com o inverso do cubo da distância para grandes distâncias 7 Dipolo Elétrico Duas cargas iguais e opostas separadas por uma pequena distância formam um dipolo elétrico Posto isto desenvolverseá nessa seção um tratamento geral para um dipolo elétrico O vetor campo elétrico no ponto produzido pelas cargas e é dado por A condição de que a distância entre as cargas é pequena pode ser estabelecida por comparação com a menor distância entre uma das cargas nesse caso até o ponto Com efeito é possível fazer uma aproximação no denominador do termo correspondente ao campo produzido pela carga Para tanto é conveniente reescrevêlo como Logo Pelo fato de os dois termos entre chaves na expressão acima envolvendo a distância entre as cargas também é pequeno o que é propicio para se efetuar uma aproximação Sabese pelo teorema binomial que 8 para Posto isto e fazendo a identificação podese então fazer a seguinte aproximação Finalmente ao se desprezar o último termo dessa aproximação temse que Deste modo conservando apenas o termo lineares em o campo elétrico produzido pelo dipolo será Esse resultado fornece a parte do campo elétrico devido a um dipolo elétrico finito que é proporcional à separação das cargas Um dipolo elétrico puntiforme não tem carga líquida não tem extensão no espaço e é completamente caracterizado pelo seu momento de dipolo que é definido como A partir dessa definição o campo elétrico é reescrito como 9 em que é o vetor posição do ponto onde se quer determinar o campo elétrico em relação à origem e é o vetor posição do dipolo elétrico em relação a mesma origem Distribuição Contínua de Carga Nesse ponto é possível adaptar os resultados já vistos para a lei de Coulomb conforme a relação estabelecida entre campo elétrico e força elétrica Para uma distribuição volumétrica de carga caracterizada pela densidade volumétrica de carga o campo elétrico será em que a integral se estende sobre todo o volume da distribuição de carga Para o módulo do campo elétrico temse que Já para uma distribuição superficial de carga caracterizada pela densidade superficial de carga o campo elétrico pode ser escrito como e o seu módulo dado por em que a integral se estende sobre todo a área da distribuição de carga Por fim para uma distribuição linear de carga caracterizada pela densidade linear de carga o campo elétrico pode ser escrito como 10 e o seu módulo dado por em que a integral se estende sobre todo o comprimento da distribuição de carga EXEMPLO 2 Um disco circular horizontal de raio está uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga Qual é o campo elétrico num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro a uma distância desse centro Resolução Ao lado é apresentado uma figura ilustrativa do problema A origem do referencial está no centro do disco como a distribuição de carga é uniforme então a densidade superficial de carga é constante em que representa a carga total do disco Podese resolver esse problema de dois modos diferentes Modo 1 Fazse uso da simetria que o problema possui para a obtenção de sua solução Assim o módulo do elemento de campo elétrico é dado por em que o elemento de área do disco será e a distância entre o elemento de carga do disco até o ponto onde se quer calcular o campo é 11 Logo No entanto é necessário considerar a projeção do vetor campo elétrico ao longo do eixo uma vez que por simetria a componente do campo no plano é nula Deste modo Efetuando a integração com relação à variável temse Nesse ponto é possível fazer uma mudança simples de variáveis para se calcular a integral acima Considere de modo que os novos limites de integração ficam sendo e a diferencial em termos de é dada por Assim a integral tornase o campo elétrico é vertical e aponta em direção ao disco se for negativa e em sentido oposto se for positiva 12 Observe que no limite em que o que representa um disco muito grande ou um ponto muito próximo do disco o campo elétrico é aproximadamente uniforme Modo 2 Nesse caso usase o resultado para o cálculo do vetor campo elétrico a partir de uma distribuição superficial de carga em que na última igualdade usouse o fato de ser constante O elemento de área pode ser escrito como Já o vetor posição do elemento de carga do disco é em termos de coordenadas polares dado por enquanto que o vetor posição do ponto onde se quer determinar o campo elétrico é Logo Deste modo a integral para o cálculo do campo ficará As integrais envolvendo as funções trigonométricas nas direções dos eixos e serão nulas de modo que sobre somente a integral em 13 Essa integral já foi calculada no Modo 1 e seu resultado é Evidentemente as mesmas conclusões feitas anteriormente são aplicáveis aqui EXERCÍCIOS 1 Na figura ao lado uma barra não condutora de comprimento tem uma carga uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento a Determine o campo elétrico num ponto a uma distância da extremidade da barra b mostre que esse resultado se reduz àquele de uma carga puntiforme quando 2 Uma barra nãocondutora semi infinita possui uma densidade linear de carga constante Calcule o campo elétrico num ponto a uma distância perpendicular de uma das extremidades da barra Mostre que o vetor campo elétrico faz um ângulo de com a barra e que esse resultado é independente da distância 3 Seja a magnitude do campo elétrico num ponto situado a uma distância de um plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga Mostre que a região do plano situada a uma 14 distância do ponto é responsável pela metade do valor do campo nesse ponto 4 A partir do resultado para o campo elétrico de um dipolo elétrico e considerando o dipolo orientado ao longo do eixo sentido positivo calcule o campo nas seguintes condições a e b e Esboce os vetores e nos dois casos 5 A figura ao lado mostra um quadrupolo elétrico Ele consiste em dois dipolos cujos momentos de dipolo tem módulos iguais mas sentidos opostos Mostre que o valor de sobre o eixo do quadrupolo em pontos que distam do seu centro em que é dado por em que é o chamado momento de quadrupolo 6 Suponha que uma molécula seja representada por uma carga na origem e em e sendo que a Encontre o momento de dipolo da molécula b Para a água e o ângulo entre e é Se encontre a carga efetiva 7 Uma barra fina e não condutora de comprimento tem uma carga uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento a Calcule o campo elétrico num ponto sobre a mediatriz da barra a uma distância dela b Mostre que para o campo elétrico desta barra se comporta como se fosse o campo produzido por uma carga puntiforme 8 Determine o vetor campo elétrico devido a um dipolo elétrico em um ponto localizado a uma distância sobre a mediatriz do segmento que une as duas cargas conforme visto na figura abaixo Expresse teu resultado em termos do vetor momento de dipolo 15 Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011