Campo Magnético: Conceitos e Lei de Biot-Savart

2 Visão geral O segundo tipo de campo que entra no estudo da eletricidade e magnetismo é naturalmente o campo magnético Estes campos ou mais precisamente os efeitos destes campos são conhecidos desde épocas muito antigas quando foram observados pela primeira vez os efeitos da magnetita um ímã permanente que se encontra em forma natural A descoberta das propriedade de orientação nortesul desse material teve uma profunda influência na navegação e exploração primitivas Exceto por esta aplicação contudo o magnetismo foi pouco usado e era um fenômeno ainda pouco conhecido até o principio do século dezenove quando Oerstad descobriu que uma corrente elétrica produzia um campo magnético Este trabalho juntamente com os trabalhos posteriores de Gauss Henry Faraday e outros projetou o campo magnético como associado ao campo elétrico O trabalho teórico de Maxwell e outros que será visto mais adiante mostrou que esta associação é real e que os campos elétrico e magnético estão inextricavelmente entrelaçados Os esforças daqueles que se dedicaram a esse gênero de experiências tiveram como consequência o desenvolvimento da maquinaria elétrica dos equipamentos de comunicação e dos computadores e celulares responsáveis pelos fenômenos magnéticos que desempenham papel tão importante em nossa vida diária Nesse Capítulo será visto as definições básicas do magnetismo a produção de campos magnéticos por correntes estacionárias e se estabelecerá alguns fundamentos importantes para desenvolvimentos futuros Objetivos 1 Apresentar o conceito de campo magnético 2 Apresentar a lei de BiotSavart 3 Apresentar a lei circuital de Ampère Definição de Indução Magnética 3 No primeiro Capítulo dessa disciplina viuse que a força de Coulomb sobre uma carga localizada em devido à carga localizada na origem era dada por sendo que implicitamente as cargas são consideradas em repouso Se as cargas estivessem em movimento uniforme como velocidade e respectivamente em relação a um referencial inercial haveria uma força magnética adicional exercida por sobre dada por O número tem o mesmo papel aqui que tem na eletrostática a saber é a constante necessária para fazer uma lei experimental compatível com um conjunto de unidades No sistema por definição Como no caso da força eletrostática convém resumir as propriedades da carga teste definido um campo magnético Nesse caso não somente a carga teste deve ser fatorada mas também a sua velocidade em que a indução magnética é definida como Se houver mais de um fonte de cargas em movimento as forças e os campos magnéticos serão aditivos A unidade da indução magnética no sistema é em que é denominado Tesla Se tanto um campo elétrico como um campo magnético estiverem presentes a força total sobre as cargas em movimento será 4 que é conhecida como força de Lorentz A força magnética entre duas cargas é mais complicada que a força elétrica por causa da dependência da velocidade e dos produtos vetoriais A direção da força magnética não se situa ao longo da linha que une as partículas isto é não é uma força central exceto quando é perpendicular a A força está sempre no plano definido por e e é sempre perpendicular a Além disso para qualquer campo de modo que a força magnética nunca realiza trabalho sobre uma partícula carregada Podese comparar as magnitudes das forças elétrica e magnética Primeiro considere a seguinte relação em que é a velocidade da luz no vácuo e é constante Assim multiplicando e dividindo por temse que De modo geral vale a seguinte desigualdade para Se a velocidade das partículas forem pequenas comparadas à velocidade da luz a interação magnética será muito menor que a interação elétrica Podese verificar que os campos produzidos pela carga em movimento estão relacionados por 5 Esta relação vale para velocidades arbitrariamente grandes mesmo que e se modifiquem quando Finalmente observase que a força magnética não depende apenas da velocidade relativa das duas cargas mas é diferente num sistema de coordenadas em movimento Em particular ela se anula num sistema de coordenadas que se movimento com velocidade Além disso ela não muda simplesmente o sinal quando os índices das partículas são permutados Forças atuantes sobre Condutores em que Circulam Correntes A partir da força de Lorentz podese obter a força que atua sobre um elemento de circuito Se for um elemento do condutor com o sentido considerado como o da corrente que ele conduz será paralelo à velocidade dos portadores de carga dentro do condutor Se houver portadores de carga por unidade de volume no condutor a força sobre o elemento será em que é a área de secção reta do condutor e é a carga por portador de carga Como e são paralelos o resultado acima pode ser reescrito como Desde que é a corrente de um tipo de portador então é a força sobre um elemento infinitesimal de um condutor de corrente Esse resultado pode ser integrado para fornecer a força sobre o circuito inteiro ou fechado Nesse caso 6 Se for uniforme então Outra quantidade importante é o torque sobre um circuito completo Assim Logo o torque sobre o circuito completo será Considerando um campo uniforme a integral pode ser calculada desenvolvendo o produto vetorial e desconsiderando as componentes e no processo de integração Primeiramente note que as integrais das diferenciais exatas são nulas no circuito fechado Para as demais componentes observe que é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo mas no sentido oposto ao positivo 7 é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo mas no sentido oposto ao positivo é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo e é a área no plano cuja normal está orientada ao longo do eixo mas no sentido oposto ao positivo Observase que o sentido da integração segue a regra da mão direita Logo os resultados acima implicam que Expressões semelhantes são verificadas para as componentes e o que conduz ao seguinte resultado A quantidade é muito comum na teoria magnética e é por isso denominadas de momento magnético do circuito o que implica 8 Uma importante identidade relacionada ao cálculo de ao longo de um percurso fechado é Verifique A partir desse resultado uma forma alternativa para o momento magnético é Se em vez de a corrente confinada em fios ela existir num meio então temse a seguinte identidade e portanto em que é o elemento infinitesimal de volume do meio Lei de BiotSavart Apenas algumas semanas depois de Oersted anunciar sua descoberta de que correntes produzem efeito magnéticos ao aproximar uma bússola Ampère apresentou os resultados de uma série de experiências que podem ser generalizadas e expressas na linguagem matemática moderna como A força é a força exercida sobre o circuito 2 em virtude da influência do circuito 1 Veja a figura ao lado que descreve a situação 9 Lembrando que podese concluir após comparação das duas últimas expressões que cuja forma diferencial é conhecida como lei de BiotSavart Para uma distribuição contínua de corrente descrita pela densidade de corrente vale novamente a identidade e a lei de BiotSavart tornase Dessas expressões resulta que não há polos magnéticos isolados e portanto Este resultado que é geral constitui uma das equações de Maxwell Aplicações da Lei de BiotSavart A classe de problemas a qual se pode aplicar a lei de BiotSavart é limitada principalmente pela dificuldade para efetuar as integrações 10 Como exemplo de cálculo considere o campo magnético devido a um longo fio reto O fio está localizado ao longo do eixo tal que e conduz uma corrente confirme a Figura abaixo O campo será calculado em um ponto típico sobre o eixo Logo e então Como está no plano temse que Com efeito tornase interessante mudar a variável de integração de para Uma relação para elas é A diferencial dessa relação resulta em que pode ser escrita como 11 O módulo depende implicitamente de Podese relacionar esse módulo com da seguinte maneira Logo A partir dessas transformações o integrando fica Portanto Para que se generalize esse resultado só é necessário notar que o problema exibe uma simetria óbvia com respeito ao eixo Dessa forma concluíse que as linhas de são circunferências em todos os pontos com o condutor no centro Isto está em completa concordância com o resultado elementar que fornece o sentido de pela regra da mão direita Um outro exemplo importante é a espira circular O campo magnético produzido por tal circuito num ponto arbitrário é muito difícil de se calcular Por isso o campo será calculado no ponto sobre o eixo de simetria sendo que a espira está contida no plano de acordo com a figura abaixo Nesse caso considere que 12 O campo magnético no ponto será A integral dos dois primeiros termos é nula pois Logo 13 é a indução magnética no ponto Lei Circuital de Ampère Para campos de indução magnética dados pela lei de BiotSavart e devido à correntes estacionárias ou seja correntes que satisfazem podese deduzir uma equação muito importante para o rotacional de Dado que Assim tomando o rotacional dessa expressão chegase a em que se aplicou a seguinte identidade vetorial sendo e com que é o operador diferencial que atua apenas sobre as coordenadas Por isso a ação de sobre é sempre nula Agora considere as seguintes relações e em que é a delta de Dirac Com isso a primeira integral de pode ser calculada como 14 Já para a segunda integral usarseá a seguinte identidade vetorial juntamente com a mudança de para Assim para a componente temos Logo a integração fica que com o auxílio do teorema do divergente tornase e esta integral se anula se a superfície for escolhida fora de uma região onde não se anule Portanto o resultado final é que é a forma diferencial da lei de Ampère Essa lei será modificada quando da presença de materiais magnéticos Pelo teorema de Stokes podese transformar a equação acima em uma forma integral logo 15 que simplesmente diz que a integral de linha de em torno de um percurso fechado é igual a vezes a corrente total através do percurso fechado Esta é a forma integral da lei de Ampère Como aplicação da lei de Ampère considere um fio longo e reto Para o circuito amperiano de raio e centrado no fio a lei de Ampère resulta em Logo A lei circuital de Ampère é muito útil para a obtenção do campo magnético quando há uma distribuição de corrente que apresenta algum tipo de simetria evitando assim calcular as integrais que aparecem na lei de Biot Savart Potencial Vetorial Magnético O Cálculo dos campos elétricos foi bastante simplificado com a introdução do potencial eletrostático Isso foi possível em virtude do fato de Sabendose que o divergente de qualquer rotacional é nulo então podese considerar que 16 em que deve ser tal que Pela identidade vetorial e impondo a condição de calibre gauge usual temse que que nada mais é que a equação de Poisson para cada componente escalar Essa estrutura da equação de Poisson é totalmente similar àquela vista na eletrostática e por isso uma possível solução para ela é do tipo O vetor é denominado de potencial vetor magnético Potencial Escalar Magnético A equação indica que o rotacional da indução magnética é nulo onde quer que a densidade de corrente seja zero Quando este for o caso podese expressar a indução magnética nessas regiões como o gradiente de um potencial escalar a saber Contudo sabese que o que implica ou seja Assim é denominado de potencial escalar magnético e satisfaz a equação de Laplace 17 Nesse caso grande parte do trabalho desenvolvido na eletrostática pode ser diretamente aproveitado e usado para calcular o potencial escalar magnético em várias situações Fluxo Magnético A quantidade é conhecida como fluxo magnético e é medida em weber É análogo ao fluxo elétrico porém de maior importância como será visto mais adiante O fluxo através de uma superfície fechada é nulo Deste resultado também se conclui que o fluxo através de um circuito é independente da superfície particular usada para calculálo Campo Magnético de um Circuito Distante O potencial vetorial magnético devido a um circuito pequeno a grande distância do ponto de observação pode ser calculado com relativa facilidade Fazendo a substituição o potencial vetor magnético pode ser reescrito como Para circuitos cujas dimensões são pequenas comparadas com a distância o denominador pode ser convenientemente expandido No espírito do que já foi feito no Capítulo sobre Campo Elétrico o denominador do integrando acima pode ser reescrito como para primeira ordem em Logo a integral fica sendo 18 Observe que A segunda integral pode ser reescrita usando duas relações A primeira é uma identidade vetorial do tipo produto vetorial de modo que o segundo integrando ficará O segundo termo do lado direito dessa expressão pode ser reescrito usando a seguinte relação para uma diferencial em ou seja Como efeito a expressão para o integrando da segunda integral do potencial vetor fica sendo Como o primeiro termo do lado direito dessa expressão é uma diferencial exata a sua integração em um circuito fechado é nula Deste modo o potencial vetor magnético fica com essa substituição em que é a área do circuito Calculase a indução magnética tomando o rotacional deste potencial vetor 19 Usando novamente a identidade vetorial e considerando um vetor constante obtémse No entanto vale a pena observar que desde que Já para o outro termo note que cujo resultado é similar para as componentes e Logo agrupando essas três componentes temse que Portanto o campo magnético de um circuito distante é e não depende da forma geométrica do circuito apenas de seu momento magnético Ao se comparar esse resultado com aquele obtido para o campo 20 elétrico de um dipolo elétrico observase que ambos são da mesma forma Por isso o vetor também é chamado de momento de dipolo magnético do circuito EXEMPLO 1 Bobina Toroidal Considere uma bobina enrolada em forma de toro de raio interno e raio externo e com um número muito grande de espiras de modo que espiras adjacentes estão muito próximas entre si percorrida por uma corrente estacionária Determine o campo de indução magnética criado pela bobina Resolução Por simetria considerando também a superposição dos campos das espiras as linhas de dentro da bobina devem ser círculos concêntricos com o centro do toróide e a magnitude de deve ser independente da variável Logo considerando um círculo de raio pela lei de Ampère temse pois espiras cada uma de corrente atravessam Deste modo Vetorialmente temse que para 21 Para o círculo não seria atravessado pela corrente de forma que Para o círculo é atravessado duas vezes por cada espira uma com entrando e a outra com saindo de modo que a intensidade resultante que atravessa é novamente nula ou seja para e Campo de um solenoide Na figura do exemplo anterior o raios médio do toróide é Além disso podese escrever o número de espiras como em que é o número médio de espiras por unidade de comprimento ao longo do toróide O resultado do exemplo anterior pode ser reescrito como para e fora do toróide Agora adaptarseá esses resultados para a situação em que e tendem ao infinito mantendo a distância o que corresponde ao diâmetro do toróide fixo Como o limite de um arco de círculo quando o raio do círculo tende ao infinito é um segmento de reta o limite do toróide é um solenóide infinito bobina cilíndrica Considerando constante nesse processo limite e um enrolamento compacto tem se que pois e também Assim 22 dentro do solenóide e fora do solenóide Deste modo o campo magnético fica confinado dentro do solenóide onde é uniforme e tem direção axial e sentido positivo em relação às espiras orientadas Esse resultado também decorre imediatamente da uniformidade direção e sentido do campo aplicando a lei de Ampère a um circuito retangular como ilustrado na figura do solenóide EXERCÍCIOS 1 Considere o teorema de Stokes em que é um campo vetorial a Mostre a partir da transformação que uma forma alternativa desse teorema é b Use esse teorema para demonstrar que em que é o vetor área orientado 2 Dado que a força exercida sobre um circuito 2 em razão de outro circuito 1 é Mostre que a terceira lei de Newton é satisfeita isto é em que é a força sobre o circuito 1 devido ao circuito 2 23 3 Dado o campo de indução magnética mostre que Use a identidade vetorial e possivelmente o fato de 4 As bobinas de Helmholtz possuem um papel importante na investigação científica em que são frequentemente usadas para produzir um campo de indução magnética uniforme em uma pequena região do espaço A bobina de é composta por duas bobinas circulares de espiras cada com o mesmo raio e um eixo comum elas estão separadas por uma distância escolhida de tal modo que a primeira e a segunda derivadas de se anula num ponto sobre o eixo a Mostre que a distância apropriada de separação entre as bobinas é de e neste caso b mostre que a indução magnética será 5 Considere um cabo coaxial constituído de um pequeno condutor central de raio e um cabo coaxial cilíndrico de raio A figura ao lado mostra uma secção transversal desse arranjo Além disso os dois condutores conduzem correntes totais iguais em magnitude 24 mas em sentido opostos Mostre que para e para 6 O potencial vetor pode ser obtido diretamente da lei de Biot Savart por meio da identificação da relação Para isso considere a identidade vetorial que vale para qualquer vetor e qualquer escalar e ainda o fato de Com efeito chegase ao resultado 7 Para um circuito pequeno a grandes distâncias o potencial escalar magnético é em que é o momento de dipolo magnético do circuito Mostre que a indução magnética nesse circuito é cujo resultado não depende da forma geométrica do circuito 8 Uma partícula carregada de massa e carga deslocase num campo de indução magnética uniforme Demonstre que o movimento mais geral que a partícula descreve é uma hélice movimento helicoidal cuja secção reta é um círculo de raio em que é a componente da velocidade da partícula perpendicular a 25 9 Demonstre que o potencial vetorial magnético para dois fios compridos retos e paralelos que conduzem a mesma corrente em sentidos opostos é dado por em que e são as distâncias do ponto do campo até os fios e é o vetor unitário paralelo aos fios Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011