Visão Geral do Potencial Eletrostático e Campos Conservativos

2 Visão geral O campo eletrostático como o campo gravitacional é conservativo Isso permite simplificar sua descrição reduzindoa a uma única função escalar o potencial eletrostático Objetivos 1 Conceituar o potencial eletrostático 2 Discutir o potencial de condutores Campos Conservativos O trabalho realizado por uma força ao longo deste caminho orientado de até é definido por Se é uma força central isto é então o integrando da integral de linha acima fica logo que não depende do caminho apenas dos pontos inicial e final Com efeito temos que Observe que pelo teorema da variação da energia cinética em que é a energia cinética o resultado acima tornase de modo que 3 representa a conservação da energia mecânica em que a função é a energia potencial Uma força para o qual o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final e não depende do caminho entre eles chamase força conservativa Consequentemente a circulação da força ao longo do caminho fechado e orientado ou seja a integral de linha de caminho fechado é nula Observe que Além disso considerando que a função energia potencial seja tal que então uma pequena variação infinitesimal implica em que Desta forma Portanto por comparação direta temse que implicando que A força é então obtida como sendo o negativo do gradiente da função energia potencial Uma superfície em que é constante chamase de superfície equipotencial Para forças centrais as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas ou seja 4 Se então o que implica que Logo concluíse que Desta forma o gradiente da energia potencial é perpendicular à superfície em que Além disso desde que então a magnitude de é máxima quando implicando então que é paralelo a Ou seja a direção de é a linha de maior aclive sobre a qual cresce o mais rápido possível Assim aponta no sentido de crescente EXEMPLO 1 Mostre que para um função em que o seu gradiente é dado por Resolução Sabese que então a ideia é calcular separadamente cada derivada parcial da função Desde que então ou seja é uma função composta Logo Note que é função apenas da variável por isso mas é função de três variáveis e portanto calculase sua derivada parcial com relação à variável Agora O mesmo procedimento vale para as demais derivadas parciais verifique 5 Portanto o gradiente da função tornase em que Teorema de Stokes O teorema de Stokes é um teorema integral que relaciona a circulação integral de linha de um campo vetorial em um dado circuito fechado com o fluxo do rotacional desse campo vetorial através da superfície aberta definida pelo circuito Assim lembrando que é o elemento infinitesimal de área orientado A importância do teorema de Stokes na Física está no fato de ele ser uma ferramenta muito útil para se definir quando um campo vetorial de forças é conservativo ou não 6 Já foi mencionado que se uma força for conservativa então Pois bem nesse caso seria então necessário testar infinitas possibilidades de trajetórias fechadas a fim de se verificar que de fato essa integral de linha é realmente nula para todos os caso Basta uma única trajetória cujo valor dessa integral resulte em algo diferente de zero para que a força não seja conservativa e assim impossibilitando a definição de uma função escalar de energia potencial No entanto a partir do teorema de Stokes se aquela integral de linha por hipótese for nula então Para que é necessário e suficiente que A partir desse resultado temse uma ferramenta prática para se saber se um dado campo vetorial é conservativo basta apenas calcular o rotacional do campo e se o resultado for nulo então se trata de um campo conservativo EXEMPLO 2 Mostre que Resolução O operador é dado por e o vetor posição é Calculase o rotacional deste vetor usando a representação do determinante tal como se faz no cálculo do produto vetorial 7 Logo EXEMPLO 3 Demonstre a identidade vetorial em que é uma função escalar e é um campo vetorial Resolução Considere inicialmente a componente desse vetor Desde que e então Similarmente por indução as demais componentes ficam verifique 8 e a demonstração fica completa EXEMPLO 4 Mostre que para uma força central Resolução Sabese que uma força central é do tipo em que A fim de se usar a identidade vetorial demonstrada no exemplo anterior podese reescrever essa expressão para a força central como em que Logo No Exemplo 2 foi demonstrado que e portanto o primeiro termo do lado direito dessa expressão se anula Já no Exemplo 1 viuse que Logo pois já se sabe que Com efeito toda força central tal como a força eletrostática lei de Coulomb ou a força gravitacional será uma força conservativa implicando assim a existência de uma função escalar energia potencial que por sua vez garante que a energia mecânica do sistema envolvendo esse tipo de força seja conservada 9 Potencial Coulombiano Uma vez que o campo elétrico é definido como a razão entre a força elétrica e uma cargateste o potencial eletrostático é definido como sendo a razão entre energia potencial eletrostática de uma cargateste pela carga elétrica desta cargateste Desta forma em que e Logo em que é o potencial eletrostático Além disso é a chamada diferença de potencial entre os pontos e A unidade no SI para o potencial eletrostático é o volt Para uma carga puntiforme na origem o campo elétrico é Logo calculase o potencial desta carga da seguinte maneira A escolha para o nível zero do potencial é arbitrária Isto pois a dinâmica da partícula depende da força que está relacionada com a energia potencial através de uma derivada gradiente e por conseguinte a derivada de um termo constante não afeta a dinâmica da partícula 10 No entanto para uma distribuição de carga toda contida numa região finita do espaço é usual adotar a seguinte convenção já que para uma partícula puntiforme Deste modo fazendo e temse que para uma carga puntiforme localizada na origem Todavia para uma carga puntiforme dita localizada no ponto de um referencial inercial o potencial que ela gera num ponto do espaço é dado por Com efeito para um sistema de cargas puntiforme temse que Para uma distribuição contínua de carga as cargas puntiformes dão lugar a elementos de carga Tratandose de uma distribuição volumétrica de carga temse que e no limite em que o potencial dessa distribuição volumétrica fica em que denota o vetor posição do elemento infinitesimal de carga da distribuição no referencial inercial Esse resultado pode ser facilmente adaptado para uma distribuição superficial de carga 11 bem como para uma distribuição linear de carga Lembrando que representam as densidades volumétrica superficial e linear de carga respectivamente EXEMPLO 5 Calcule o potencial eletrostático de um anel isolante de raio e carga total uniformemente carregado em um ponto sobre o eixo perpendicular ao plano do anel e que passa por seu centro de massa Resolução Como todos os pontos do anel são equidistantes do ponto o potencial nesse ponto é simplesmente dado por Esse resultado também pode ser obtido por integração direta Desde que a distribuição de carga é uniforme então em que é o comprimento do anel O elemento de linha do anel é dado por Além disso Logo 12 EXEMPLO 6 Calcule o potencial eletrostático de um disco de raio e uniformemente carregado em um ponto conforme visto na figura Resolução Tratandose de um disco que representa uma área finita uniformemente carregada podese usar a relação em que a densidade superficial de carga é constante Considerando em que e tal que Escrevendo o elemento infinitesimal de área como o comprimento do anela vezes sua espessura pensase no disco como uma fatia de cebola composta por vários anéis infinitesimais Logo Resolvese essa integral usandose uma mudança de variáveis conveniente cujos limites da integral tornamse e a diferencial implicando Posto isto o cálculo do potencial fica sendo dado por O Campo Elétrico a partir do Potencial 13 Viuse que o vetor força para uma força conservativa é obtido a partir do negativo do gradiente da energia potencial No entanto sabese que bem como Logo Ou seja O vetor campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial eletrostático Essa é uma abordagem muitas vezes mais vantajosa do que o cálculo vetorial do campo elétrico Afinal o potencial é uma função escalar e calcular derivadas é mais simples do que calcular integrais EXEMPLO 7 Obtenha o vetor campo elétrico a partir do potencial calculado para um anel uniformemente carregado dado no Exemplo 5 Resolução Naquele exemplo calculouse o potencial eletrostático como Como o potencial nesse caso é uma função apenas da variável temse que é o vetor campo elétrico que está ao longo do eixo 14 EXEMPLO 8 Obtenha o vetor campo elétrico produzido pelo disco uniformemente carregado dado no Exemplo 6 Resolução Nesse caso o potencial já calculado é dado por Deste modo o vetor campo elétrico será Vale a pena observar o cálculo da derivada do módulo Logo No limite em que temse que De modo que se e se Expansão Multipolar 15 A partir da distribuição de potencial produzida por uma distribuição arbitrária de cargas podese definir o momento de dipolo elétrico A figura acima mostra uma distribuição contínua de carga de volume total O vetor representa a posição de uma elemento infinitesimal de volume em relação a origem de um referencial inercial O vetor representa a posição do ponto externo à distribuição de carga onde se quer determinar o valor do potencial eletrostático De modo geral o potencial lá no ponto oriundo desta distribuição de carga será Considerando que a distribuição é compacta e que o ponto está suficientemente distante da distribuição ou seja podese então expandir o denominador do integrando acima Para tanto observe que Daí Fatorando o termo do lado direito desta expressão temse que Desse modo é possível simplificar essa expressão via expansão em série de Taylor Lembrando que 16 e identificando nessa expansão o denominador do integrando tornase aproximadamente Com efeito o potencial eletrostático fica sendo Os três termos resultantes dessa expansão multipolar são interpretados da seguinte maneira é a carga total da distribuição de carga é o momento de dipolo elétrico da distribuição de carga e o último termo é o chamado momento de quadrupolo elétrico da distribuição de carga 17 Como a integral está definida apenas nas variáveis de posição com linha que representam o vetor posição da distribuição de carga em relação à origem podese fazer um rearranjo conveniente para se extrair do sinal de integração as coordenadas sem linha que representam o vetor posição do ponto onde se quer calcular o valor do potencial elétrico Sedo assim considere que Logo Além disso em que é a chamada delta de Kronecker Deste modo o momento de quadrupolo elétrico tornase A quantidade é o tensor momento de quadrupolo e representa uma extensão do conceito de momento de dipolo Há nove componentes de correspondendo a iguais à Destas nove componentes seis são iguais aos pares em razão do tensor ser simétrico ou seja Logo há em geral apenas 18 seis componentes independentes Usualmente representase esse tensor como uma matriz Há naturalmente momentos de ordem mais elevada que são gerados ao se conservar termos de ordem mais alta na expansão binomial Esse múltiplos de ordem superior são importantes em física nuclear Os multipolos elétricos são usados para calcular aproximadamente o campo elétrico de uma distribuição de carga uma vez que o cálculo direto não é possível de se fazer para a vasta maiorias de possíveis tipos de distribuição de carga Evidentemente há outras imprecisões que geram erros nesse cálculo aproximado que vão além dos termos da expansão em si como é o caso das representação puntiforme de cargas e dipolos Portanto o potencial elétrico para uma distribuição de carga pode ser calculado como Forças e Torques sobre Dipolos Se o dipolo elétrico estiver em um campo elétrico externo uniforme as forças que atuam sobre as cargas e do dipolo são Este par de forças forma um binário cujo torque é dado por desde que o vetor momento de dipolo elétrico é dado por então Esse torque tende a fazer o dipolo girar até se alinhar paralelamente ao campo externo aplicado Sabese que a energia potencial elétrica é dada por em que é o potencial associado ao campo 19 elétrico externo Logo a energia potencial de um dipolo num campo elétrico externo será Fazendo a seguinte aproximação a energia potencial elétrica do dipolo tornase em que Com efeito a força resultante sobre o dipolo será Se for um vetor constante então essa força pode ser simplificada como em que e e e Forma Local das Equações da Eletrostática Combinando a lei de Gauss no vácuo com o teorema da divergência temse que Logo a partir das duas últimas integrais de volume concluise que que é a forma local da lei de Gauss no vácuo Sabese pelo teorema de Stokes que 20 e desde que é um campo vetorial conservativo então o que implica diretamente que Como o resultado acima também implica que Uma vez que então Além disso pela forma local da lei de Gauss no vácuo que é a chamada equação de Poisson Note que é o operador diferencial Laplaciano também denotado como Em particular em um ponto onde não há cargas então Esse resultado é conhecido como equação de Laplace Solução da Equação de Laplace com Uma Variável Independente Se o potencial for uma função de uma variável apenas a equação de Laplace irá se reduzir a uma equação diferencial ordinária Seja uma função da coordenada retangular então 21 Uma possível solução para essa equação diferencial é verifique em que e são constantes determinadas a partir das condições de contorno do problema Essa solução é apropriada para se determinar o potencial entre duas placas carregadas Em coordenadas esféricas e a equação de Laplace fica cuja solução pode ser dada como verifique Este é o potencial para uma carga puntiforme ou externo a uma esfera uniformemente carregada ou de uma casca esférica carregada Considerando a condição de contorno quando então a constante tem que ser nula nessa solução Já em coordenadas cilíndricas a equação de Laplace fica cuja solução pode ser dada como e descreve o potencial associado com um fio extenso ou o potencial externo a um cilindro extenso carregado Potencial de Condutores Em qualquer ponto interno de um condutor vale Logo se 1 e 2 são dois pontos internos em um condutor então em portanto Consequentemente o volume do condutor é um 22 volume equipotencial Em particular sua superfície externa é uma superfície equipotencial Isto implica que o campo elétrico tangente à superfície é nulo ou seja as linhas de campo são ortogonais à superfície Blindagem Seja um condutor oco com uma cavidade interna que não possui carga dentro da cavidade Pela lei de Gauss Mas isso não significa em princípio que não exista uma distribuição de cargas sobre a superfície gaussiana mas simplesmente implica que a densidade superficial de carga sobre essa superfície é nula Isto é a carga total é nula Por hipótese supondo que eventualmente exista cargas positivas e negativas em quantidade iguais distribuídas nas paredes internas então esse arranjo poderia resultar em no interior da cavidade conforme indica a figura ao lado O caminho fechado é composto por dois trechos o primeiro trecho que vai do ponto 1 ao ponto 2 passa apenas pelo interior da cavidade do condutor o segundo trecho que vai do ponto 2 até o ponto 1 para por dentro do condutor Sabese que o campo eletrostático é um campo conservativo e portanto para qualquer caminho No entanto dividindo essa integral nos dois trechos indicados na figura chegase a uma conclusão contraditória 23 o que é uma flagrante contradição ao resultado mais geral exposto anteriormente sobre o fato do campo ser conservativo Com efeito concluise que i se não há cargas dentro da cavidade não pode haver carga nas superfície interna ii não só no interior do condutor mas também em toda a cavidade Energia Eletrostática Dado que uma carga puntiforme gera um potencial em que é a distância da carga até um ponto qualquer então a energia potencial eletrostática associada com a presença de uma segunda carga puntiforme será dada por em que se interpreta como sendo o potencial criado por no ponto onde está localizado Aqui representa a distância entre a fonte do potencial e a carga Pela simetria dessa expressão para a energia potencial também vale sendo que Nesse caso interpretase como sendo a energia potencial eletrostática que a carga possui em virtude do potencial gerado pela carga na posição em que está situada É importante enfatizar que aqui a energia potencial eletrostática da carga que foi adicionada bem como a energia eletrostática do sistema de duas cargas são equivalentes por se tratar da interação de apenas duas cargas 24 Quando uma terceira carga puntiforme é agregada ao sistema A energia potencial eletrostática associada a ela será em que Logo é a energia potencial eletrostática que a carga possui em razão do potencial eletrostático criado pelas cargas e onde a carga está localizada Por outro lado a energia potencial eletrostática associada e este sistema de três cargas puntiformes será dada por Aqui o fator aparece para dar conta da dupla soma de termos que surgi nessa expressão pois e em que e Posto isso temse que é a energia potencial eletrostática total desse sistema de três cargas puntiformes 25 Com efeito podese generalizar o cálculo da energia potencial eletrostática para um sistema de cargas puntiformes como em que é o valor do potencial eletrostático na posição da carga em razão das demais cargas Esse resultado é importante pois facilita a transição de uma distribuição discreta puntiforme de cargas para uma distribuição contínua de cargas Considerando então no limite em que temse que De modo que a energia potencial eletrotática tornase EXEMPLO 9 Determine a chamada autoenergia de uma esfera uniformemente carregada de carga total e raio Resolução Como a esfera é uniformemente carregada então a densidade volumétrica de carga é constante A ideia para se resolver esse problema é considerar a esfera como sendo composta de várias cascas esféricas de espessura infinitesimal Um modelo semelhante a uma cebola A figura ao lado ilustra isso A energia potencial eletrostática de uma casca esférica infinitesimal devido ao núcleo da esfera 26 será em que e em que é a quantidade de carga do núcleo interior a casca Combinando isso tudo temse Integrando essa expressão desde a origem até a superfície da esfera temse que Substituindo a densidade de carga pela carga total chegase a que é a autoenergia de uma esfera uniformemente carregada Esse é um resultado para a Física Nuclear EXERCÍCIOS 27 1 Calcule a força sobre uma carga situada a uma distância da superfície de um cilindro de raio cuja energia potencial é dada por 2 Considere duas cargas puntiformes localizada em e localizada em Calcule o potencial eletrostático em um ponto localizado a uma distância a partir da origem ao longo do eixo 3 Obtenha o potencial eletrostático associado com um fio uniformemente carregado de extensão infinita 4 Obtenha o potencial eletrostático associado com uma campo elétrico uniforme que é produzido por exemplo por um disco uniformemente carregado 5 Encontre o potencial elétrico a uma distância no ponto de um segmento de fio de comprimento uniformemente carregado conforme indicado na figura ao lado 6 Uma esfera de raio está uniformemente carregada com uma carga total a Determine o potencial eletrostático em pontos internos e externos à esfera e depois trace um gráfico de em função da distância ao centro b Considerando e com uma carga puntiforme no centro da esfera como modelo para o átomo de hidrogênio qual seria a expressão do potencial neste caso 7 Determine a energia potencial de uma carga puntiforme num ponto de um campo eletrostático uniforme 8 Uma carga puntiforme encontrase no prolongamento do eixo de um dipolo de momento a uma distância do dipolo muito maior 28 que as dimensões do mesmo a Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo b Calcule a força exercida pela carga sobre o dipolo c A molécula de é polar como momento de dipolo permanente de Com que força atua sobre um elétron alinhado com ela a uma distância de A força é atrativa ou repulsiva 9 Em suas célebres experiências de 1906 que levaram à descoberta do núcleo atômico Rutherford bombardeou uma fina folha de ouro número atômico com partículas núcleo de de carga produzidas por uma fonte radioativa e observou que algumas delas chegavam a ser defletidas para trás A energia cinética das partículas era de Considere uma colisão frontal entre uma partícula e o núcleo de ouro na qual ela é retroespalhada Qual é a distância de mínima aproximação entre as duas partículas carregadas Rutherford estimou que o raio do núcleo deveria ser da ordem dessa distância 10 No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio calcule a a razão da energia potencial eletrostática do elétron e sua energia cinética e b a energia necessária para ionizar o átomo em 11 Uma gota líquida de raio uniformemente carregada com carga dividese em duas de raios iguais que se separam e se afastam até ficarem a uma grande distância uma da outra a Qual a variação da energia potencial eletrostática nesse processo b Se esse modelo fosse adotado para explicar a fissão do considerando que ele pudesse se fissionar dessa forma qual seria a energia liberada na fissão em Calcule o raio do núcleo pela fórmula em que e é o número de massa número de prótons mais o número de nêutrons 12 Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntiforme através do cálculo do gradiente do potencial 29 13 O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos demais elétrons ocorre comumente num meio condutor em que é uma constante típica do material Calcule o campo elétrico e a densidade de carga correspondentes Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011