Interações Elétricas: História e Princípios Fundamentais

2 Visão geral Por que razão uma interação muitas ordens de grandeza mais forte do que a gravitacional só foi investigada muito depois desta e não se manifesta de forma mais diretamente perceptível A razão é que enquanto a força gravitacional é sempre atrativa as forças elétricas podem ser tanto atrativas como repulsivas O análogo da massa gravitacional a carga elétrica manifestase de duas formas diferentes que convencionouse chamar de positiva e negativa levando a possibilidade de atração ou repulsão e a matéria é normalmente neutra cancelando os efeitos das interações elétricas Podese produzir um desequilíbrio na distribuição de cargas através do atrito entre substâncias diferentes Num dia seco um pente que se esfrega no cabelo atrai pedacinhos de papel Essa propriedade e eletrização por atrito já era conhecida na Grécia antiga Em 1600 William Gilbert publicou seu tratado De Magnete onde menciona vários objetos que se eletrizam por atrito A existência de dois tipos diferentes de carga foi descoberta por Charles François du Fay em 1733 quando mostrou que duas porções do mesmo material por exemplo âmbar eletrizadas por atrito com tecido repeliamse mas o vidro eletrizado atrai o âmbar eletrizado O tipo de carga que chamou de vítrea foi depois chamado de positiva por Benjamin Franklin e a resinosa recebeu o nome de negativa A justificativa para esses nomes baseouse em experiências realizadas por Franklin que o convenceram de que o processo de eletrização não cria cargas apenas transfere de um objeto para outro Normalmente um objeto é neutro por ter igual quantidade de carga positiva e negativa quando ele transfere carga de um dado sinal para outro objeto fica carregado com carga de mesmo valor absoluto e sinal contrário Essa hipótese de Franklin constitui a mais antiga formulação de um princípio fundamental da física a lei de conservação da carga elétrica Franklin acreditava que era a carga positiva que imaginava como um fluido aquela que se transferia Hoje sabese que na eletrização por atrito são os elétrons que se transferem de um objeto para outro e sua carga é 3 negativa segundo a convenção historicamente adotada A transferência ocorre por contato e o objetivo do atrito é meramente de incrementar o contato O sinal da carga adquirida por um corpo na eletrização por atrito depende da substância com a qual é atritado o âmbar se eletriza negativamente por atrito com a lã mas positivamente quando atritado com o enxofre A experiência de du Fay mostra que cargas de mesmo sinal se repelem enquanto que cargas de sinais opostos se atraem Objetivos 1 Conceituar a Lei de Coulomb 2 Analisar distribuições discretas e contínuas de cargas Carga elétrica A carga elétrica é uma propriedade fundamental e característica das partículas elementares que constituem a matéria Com efeito toda matéria é composta de prótons nêutrons e elétrons sendo que o valor da carga elementar é Isso significa que em uma corrente de a carga total que atravessa a secção transversal de um fio por segundo equivale à carga de elétrons o que ilustra o valor microscópico de Em termos da carga elementar a carga do próton é a carga do elétron é e a carga do nêutron é Embora na escala microscópica a matéria seja composta por um grande número de partículas carregadas em nível macroscópico um pedaço ordinário de matéria contém quantidades aproximadamente iguais de cargas positivas e negativas Contudo na natureza existem algumas partículas elementares com cargas fracionárias como os quarks up e os quarks down Prótons e nêutrons são na verdade compostos por três quarks o próton e o nêutron 4 Lei de Coulomb Sejam duas cargas puntiformes e localizadas em e respectivamente então a força sobre a carga em virtude da presença da carga é 11 em que 12 Observase que a cargas são mantidas fixas em suas posições no referencial inercial subjacente Está é a lei de Coulomb da eletrostática A força sempre está direcionada ao longo da linha que une as duas cargas em interação neste caso Note atentamente o significado da notação do vetor posição relativa Como a força a ser calculada é sobre a carga então se considera a posição relativa desta carga com relação a outra carga Além disso o fator constante 5 é conhecido como constante eletrostática e é a constante de permissividade elétrica no vácuo No sentido microscópico uma carga é puntiforme quando suas dimensões espaciais são muito pequenas em comparação a qualquer outro comprimento pertinente ao problema em consideração EXEMPLO 1 Duas cargas puntiformes e estão fixas em um referencial inercial A carga está localizada em e a carga está no ponto Calcule a força elétrica que atua sobre Resolução A partir dos dados do problema entendese que o vetor posição da carga é e o vetor posição da carga é e portanto pela Eq 12 temse que e portanto Além disso Logo pela lei de Coulomb dada pela Eq 11 EXEMPLO 2 Sabendose que a carga está localizada em e que a carga está localizada em calcule o vetor força elétrica que atua em bem como seu módulo Resolução A partir dos dados do problema o vetor posição da carga é e o vetor posição da carga é e portanto pela Eq 12 temse 6 e portanto Além disso Logo pela lei de Coulomb dada pela Eq 11 Identificando e então o módulo desse vetor será Princípio da Superposição A força elétrica total que atua sobre uma carga ou objeto carregado é igual à soma vetorial das forças individuais em razão das outras cargas que interagem com ela Esse é o princípio da superposição Considerando por exemplo o caso em que há três cargas e então a força elétrica resultante que atua sobre devido às outras duas cargas é dada por em que é a força elétrica que atua sobre a carga em razão de sua interação com a carga e similarmente é a força elétrica que atua sobre a carga em razão de sua interação com a carga Logo pela Eq 11 a força elétrica resultante sobre a carga fica sendo 7 Se houver cargas puntiformes então o resultado acima pode ser generalizado da seguinte maneira 13 Note que a soma parte de pois se exclui aqui a autointeração isto é a força elétrica que a carga exerceria sobre ela mesma EXEMPLO 3 Duas cargas puntiformes e estão situadas ao longo de um eixo fixas em suas posições conforme visto na figura ao lado Qual é a força elétrica resultante que atua sobre a carga que está ao longo de um eixo Resolução Pelo princípio da superposição a força elétrica resultante que atua sobre é dada por Considerando que e então os vetores posição relativa serão de modo que Logo 8 é a força elétrica que atua sobre a carga EXEMPLO 4 Reconsidere o Exemplo 2 de modo que e sendo a massa da carga Mostre que na situação em que a carga descreve um MHS ao longo do eixo e determine sua frequência angular de oscilação Nesse regime qual seria a energia potencial atribuída a carga Resolução Com essa nova configuração para a carga trocase apenas o sinal do segundo termo da penúltima expressão do exemplo anterior o que resulta em Se então é muito menor ainda do que Assim podese aproximar e a força resultante que atua na carga fica sendo Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento da carga temse que ou seja 9 que é uma equação de movimento típica do MHS Logo a carga descreve de fato um movimento harmônico simples ao longo do eixo Com efeito identificase a frequência angular de oscilação como sendo Além disso como o movimento resultante é um MHS a energia potencial associada com a carga também pode ser descrita como aquela já conhecida do sistema massamola sendo que a constante de mola assume aqui a sua identidade Logo é a expressão para a energia potencial da carga Distribuição Contínua de Carga Pelo princípio da superposição podese passar da descrição em termos de cargas puntiformes à descrição macroscópica em termos de cargas distribuídas de forma contínua sobre áreas e volumes Primeiramente considere a seguinte distribuição volumétrica de carga ilustrada na figura abaixo 10 O vetor localiza a carga no espaço fora ou dentro do objeto e o vetor é usado para localizar um ponto no interior da distribuição de carga associado com o elemento de carga Tais distribuições representam por exemplo esferas maciças ou outros objetos maciços O elemento de carga discreto de uma parte deste objeto volumétrico pode ser escrito em termos de sua densidade volumétrica de carga local como em que é o elemento de volume discreto associado com o elemento de carga Logo a densidade volumétrica de carga local é definida como Tratase evidentemente de um limite físicomatemático pois a menor parte que compõe a matéria são as partículas elementares Desta forma a força que o elemento de carga exerce sobre será de acordo com a lei de Coulomb dada por Agora o resultado acima é válido apenas para um elemento finito de carga É necessário somar sobre todos os elementos de carga que compõe o objeto como um todo ou seja sobre a carga total do objeto Assim vale as prescrições Com efeito em que é o vetor posição para localizar um ponto no interior da distribuição de carga No limite em que o elemento de volume da distribuição de carga tornase infinitesimal o elemento de 11 carga também tornase infinitesimal e a soma discreta sobre todos os elemento de volume do objeto tornase uma soma contínua ou seja uma integral sobre os elementos de volume infinitesimais do objeto ou seja sobre todos os elementos infinitesimais de carga do objeto Logo em que a integral é calculada sobre todo o volume do objeto que implica toda a carga do objeto Portanto a força elétrica que uma distribuição volumétrica de carga exerce sobre uma carga localizada em será dada por No entanto esta integral vetorial pode ser um tanto complicada de se resolver Uma alternativa que pode ser usada desde que a simetria da distribuição de carga permita uma identificação direta das componentes do vetor força elétrica é calcular o módulo do vetor força elétrica Para isso considere o integrando do vetor força elétrica acima O módulo desse vetor elemento de força infinitesimal é dada por que ao ser integrado resulta no módulo da força elétrica 12 Se ao invés de um distribuição volumétrica de carga houver uma distribuição superficial de carga tais como placas e discos de espessura desprezível os resultados anteriores são imediatamente adaptados a tal situação Assim definese a densidade superficial de carga como sendo em que representa o elemento discreto de área da superfície do objeto O vetor força elétrica que essa distribuição superficial de carga exerce sobre outra carga é dada por e o seu módulo é Por fim para uma distribuição linear de carga como fios e anéis a densidade linear de carga é definida como em que representa o elemento discreto de linha do comprimento do objeto Logo assim como nos casos anteriores o vetor força elétrica que essa distribuição linear exerce sobre uma carga será e consequentemente o seu módulo será 13 Se a carga do objeto estiver distribuída num volume com uma densidade e na superfície que limita esse volume com uma densidade a força elétrica exercida por essa distribuição de cargas sobre uma carga puntiforme localizada em será dada pela combinação Observe atentamente que aqui se trata da combinação de dois vetores e portanto não é possível somar simplesmente seus módulos a fim de se evitar a integração vetorial EXEMPLO 5 Uma carga está distribuída uniformemente sobre um anel circular de raio e de espessura desprezível Qual é a força exercida por esta distribuição de carga sobre uma carga puntiforme situada sobre o eixo vertical que passa pelo centro do anel a uma distância do plano que contém o anel O que acontece quando i e ii Resolução Por se tratar de uma distribuição uniforme de carga a densidade linear de carga é constante e nesse caso sendo igual a O vetor posição da carga é e o vetor posição do elemento de linha é dada por em que é o ângulo que o vetor faz com relação ao eixo positivo Note que Agora o vetor posição relativa da carga em relação ao elemento de linha é 14 cujo módulo é dada por Por fim o elemento de linha é dada por ou seja a integração será feita na variável Posto tudo isso agora é possível calcular a integral que ficará Sabendose que a integral da soma dos termos é igual à integral de cada termo em separado podese calcular cada integral separadamente e ao final somar os termos novamente Assim Portanto 15 Substituindo o valor da densidade linear de carga nesse resultado chega se finalmente a Logo a força elétrica que o anel uniformemente carregado faz sobre uma carga colocada sobre seu eixo de simetria eixo vertical está completamente na direção desse eixo i Quando ou seja quando a carga está suficientemente afastada do anel vale a seguinte aproximação e a força elétrica fica aproximadamente dada por Logo nessa configuração o anel se comporta como se fosse uma carga puntiforme situado a uma distância da carga Em outras palavras em uma primeira aproximação não seria possível distinguir a fonte que exerce uma força elétrica sobre a carga isto é se a fonte é um carga puntiforme ou um anel uniformemente carregado ii Nesse caso quando a força elétrica é nula isto é a força elétrica sobre se anula simetricamente EXERCÍCIOS 1 Reconsidere o Exemplo 5 fazendo e No regime em que mostre que a carga descreve um MHS ao longo do eixo cuja frequência angular de oscilação é dada por 16 2 Uma carga está localizada no ponto 3 e outra carga 2 está localizada no ponto 2 3 1 1 Ambas cargas estão fixas em suas posições Calcule a força elétrica que a carga exerce sobre a carga 3 O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema TerraLua em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de a Considerando esse modelo qual seria a frequência de revolução do elétron em torno do próton Comparea com a frequência da luz visível b Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita 4 Quatro cargas puntiformes e estão fixas nos vértices de um quadrilátero de lados e conforme visto na figura ao lado Calcule as forças elétricas resultantes que atuam em e 5 Duas pequenas esferas idênticas de massa estão carregadas com uma carga e suspensas por fios isolantes de comprimento O ângulo de abertura resultante é conforme visto na figura ao lado a Mostre que b Se e qual será o valor de 6 As cargas e estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado conforme visto na figura ao lado Uma carga de mesmo sinal que as outras três cargas é colocada no centro 17 do triângulo Obtenha a força resultante sobre em módulo direção e sentido 7 Uma carga é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio Calcule a força elétrica que este fio exerce sobre uma carga colocada no centro conforme ilustrado na figura ao lado 8 Uma partícula de massa e carga está vinculada a moverse sobre a mediatriz do segmento que liga duas outras cargas positivas separadas por uma distância conforme visto na figura abaixo Inicialmente a partícula está em do centro desse segmento Mostre que ela executa um MHS em torno do centro e calcule a frequência angular de oscilação Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol III 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Eletromagnetismo Editora Edgard Blücher Ltda vol 3 1ª edição São Paulo 1997 J R Reitz F J Milford e R W Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética Campus 7ª edição Rio de Janeiro 1982 D J Griffiths Eletrodinâmica Pearson 3ª edição São Paulo 2011