Aula 34 - Derivadas de Funções Vetoriais 2021-2

Derivadas de funções vetoriais Aula 34 – Derivadas de funções vetoriais Objetivo Aprender o conceito de derivada de uma função vetorial, de uma variável real, assim como a sua interpretação geométrica. Introdução A derivada de uma função f : I ⊂ ℝ ⟶ ℝ, em um ponto x = a ∈ I é o limite do quociente de Newton f'(a) = lim x→a f(x) − f(a) / x − a e a sua interpretação geométrica é a seguinte: o número f'(a) é a inclinação, o coeficiente angular, da reta tangente ao gráfico de f , no ponto (a, f(a)). Em particular, se a função s = s(t) descreve a posição de uma partícula em movimento sobre uma trajetória retilínea, a derivada de s em t₀, s'(t₀) = lim t→t₀ s(t) − s(t₀) / t − t₀ , é o limite, quando t tende a t₀, das velocidades médias vₘ = s(t) − s(t₀) / t − t₀ . Portanto, podemos dizer que s'(t₀) é a velocidade da partícula no preciso instante t₀. Essa é, basicamente, a interpretação da derivada como uma taxa de variação. Muito bem, queremos agora estender este conceito para as funções vetoriais, de uma variável real. CEDERJ 199 Derivadas de funções vetoriais Derivada Seja A ⊂ ℝ uma união de intervalos abertos, α : A ⊂ ℝ ⟶ ℝⁿ, uma função vetorial, e seja a ∈ A. Definição 34.1: Dizemos que α tem derivada em t = a se o limite lim t→a α(t) − α(a) / t − a existe. Neste caso, ele será denotado por α'(a) ∈ ℝⁿ. Lembre-se de que o limite anterior é um limite vetorial. Na verdade, ele poderia ser escrito na forma lim t→a 1 / t − a (α(t) − α(a)) pois, o termo t − a é um número e α(t) − α(a) é um vetor. A notação dα / dt (a) = lim t→a α(t) − α(a) / t − a também é usada. Se α tem derivada em t = a, dizemos que α é diferenciável em a. Se α tem derivada em todos os pontos de seu domínio, dizemos que α é diferenciável em A ou, simplesmente, que α é diferenciável. Quando isso ocorre, podemos definir α' : A ⊂ ℝ ⟶ ℝⁿ a função derivada de α. Em termos práticos, é muito fácil calcular a derivada dessas funções. Veja por que: Teorema 34.1: Seja α(t) = (α₁(t), α₂(t), ..., αₙ(t)) uma função vetorial definida em A ⊂ ℝ. A função α é diferenciável em a ∈ A se, e somente se, cada uma de suas funções coordenadas αᵢ(t) for diferenciável em t = a. Além disso, α'(t) = (α₁'(t), α₂'(t), ..., αₙ'(t)). Prova do Teorema: A prova desse teorema é quase imediata, se lembrarmos do teorema que descreve o limite das funções vetoriais, apresentado na aula anterior. CEDERJ 200 Derivadas de funções vetoriais Realmente, a prova para n = 2 é a seguinte: lim t→a α(t) − α(a) / t − a = lim t→a α1(t) − α1(a) / t − a , α2(t) − α2(a) / t − a = = (lim t→a α1(t) − α1(a) / t − a , lim t→a α2(t) − α2(a) / t − a ). Resumindo, derivamos coordenada a coordenada. Exemplo 34.1 Vamos calcular a função derivada e a derivada em t = 1 da função α(t) = (cos 2πt,e²ᵗ,t² + 2t − 1). Primeiro, calculamos a função derivada, usando as regras de derivação aprendidas no Cálculo I. α'(t) = (−2π sen 2πt, 2 e²ᵗ, 2t + 2). Agora, usando a função derivada, calculamos a derivada em t = 1: α'(1) = (0, 2e², 4). Interpretação geométrica Lembre-se que associamos a cada curva α(t), o seu traço, contido em ℝⁿ. Muito bem, o vetor α(t)−α(a) / t−a = 1 / t−a (α(t) − α(a)), é um múltiplo de (α(t) − α(a)). Portanto, eles são paralelos. Veja a figura a seguir. CEDERJ 201 Derivadas de funções vetoriais CALCULO II Quando a função α é diferenciável em t = a, α'(a) = lim t→a (α(t) - α(a)) / (t - a) pode ser interpretado como um vetor tangente ao traço de α no ponto α(a). Do ponto de vista da Álgebra Linear, isto é fácil de ver pois, os vetores (a, b) e (-b, a) são ortogonais. Isso pois, o produto interno deles é nulo: ⟨(a, b), (-b, a)⟩ = -ab + ba = 0. Lembre-se: se o gráfico de uma função apresenta tal característica, ela não será diferenciável. A função f(x) = |x| é um exemplo. Ela é contínua mas não é diferenciável em x = 0. Exemplo 34.2 Vamos mostrar que o vetor (-b, a) é tangente à circunferência do círculo de raio 1, centrado na origem, no ponto P, de coordenadas (a, b). Seja α(t) = (cos t, sen t) uma parametrização da circunferência do tal círculo e seja t0 um número tal que α(t0) = (a, b). Isto é, t0 é tal que {a = cos t0 b = sen t0. Mas então, α'(t) = (sen t, cos t) e α'(t0) = (sen t0, cos t0) = (-b, a), que é tangente à curva. Exemplo 34.3 Mesmo quando a função α é diferenciável, o seu traço pode apresentar ‘quinas’ ou ‘dobras’. Isso parece estranho, se levarmos em conta nossa experiência com gráficos de funções reais, de uma variável real, estudadas no Cálculo I. Vamos analisar o exemplo da cúspide α(t) = (t^3, t^2), que é diferenciável em toda a reta real R e cuja derivada é α'(t) = (3t^2, 2t). Derivadas de funções vetoriais MÓDULO 3 - AULA 34 Veja a figura de seu traço. CEDERJ Apesar de estranho, não há nada errado aqui. Devemos lembrar de que a figura é o traço de uma curva e não é o seu gráfico. Portanto, traços de curvas diferenciáveis podem apresentar, eventualmente, dobras ou quinas. Esta na hora da famosa pergunta: o que ocorre com a interpretação geométrica da derivada num caso como esse? Lembre-se do que dissemos anteriormente: a derivada α'(t0) é o vetor tangente ao traço da curva no ponto α(t0). Como podemos achar um vetor tangente à curva α(t) = (t^3, t^2), no ponto (0, 0)? Isso é possível se o vetor for o vetor nulo. E isso realmente ocorre: como α'(t) = (3t^2, 2t), α'(0) = (0, 0). Note que, α'(t) = (0, 0) ⟺ {3t^2 = 0 2t = 0 ⟺ t = 0. Ou seja, (0, 0) é o único ponto do traço no qual o vetor ‘tangente’ é o vetor nulo. Vamos estudar mais um exemplo onde esse fenômeno ocorre. Exemplo 34.4 Seja α(t) = (t - sen t, 1 - cos t) uma ciclóide. Aqui está o traço dessa ciclóide. Vamos descobrir em quais pontos da curva ela toca o eixo Ox. Isto é, vamos calcular os valores de t para os quais α'(t) = 0. Ciclóide é uma curva descrita por um ponto na circunferência de um círculo que gira sobre uma reta. Você deve ter estudado este tipo de curva, em detalhes, no curso de Geometria Analítica. Estas curvas foram estudadas por, entre outros, Galileu Galilei, que teve sua atenção despertada para elas quando viu passar uma carruagem com um lenço amarrado em uma de suas rodas. CALCULO II Derivadas de funções vetoriais Primeiro, o cálculo da função derivada: α'(t) = (1 - cos t, sen t). Para que α'(t) seja igual ao vetor nulo, as funções coordenadas de α'(t) devem ser, simultaneamente, iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações: {1 - cos t = 0 sen t = 0. Este sistema não é difícil de ser resolvido pois cos t = 1 e sen t = 0 se, e somente se, t é um múltiplo de 2π. Isto é, α'(t) = 0 se, e somente se, t = 2kπ, ∀k ∈ ℤ. Assim, os pontos α(2kπ) = (2kπ, 0) são aqueles onde a derivada é igual ao vetor nulo. Estes são os pontos onde o traço da função toca o eixo Ox, de maneira análoga à cúspide, quando esta toca o eixo Ox, a origem. Vamos agora, considerar a função f(t) = ||α'(t)||^2 = 2 - 2 cos t. Veja o gráfico de f, uma função de período 2π: Essa função assume seu valor mínimo 0 nos pontos onde t = 2kπ, k ∈ ℤ, que são, exatamente, os pontos onde a derivada de α é o vetor nulo. Em contrapartida, f assume o seu valor máximo 4 nos pontos onde t = (2k + 1)π, k ∈ ℤ, os múltiplos ímpares de π. Estes pontos são aqueles onde a derivada α'(t) atinge seu comprimento máximo. Se considerarmos que α esteja descrevendo o movimento de uma partícula, percorrendo a curva, tendo a sua posição determinada por α(t), no instante t, a derivada α'(t) é a velocidade (vetorial) dessa partícula, nesse mesmo instante. Nossos cálculos indicam que nos instantes t = 2kπ a partícula teria velocidade nula. Essa seria a única forma da partícula passar, diferencialmente, por cada uma dessas dobras. Isso é, fazendo nesses pontos uma completa parada. Além disso, nos instantes t = (2k + 1)π, essa velocidade assume o seu comprimento máximo. Esses pontos ocorrem no ponto mais alto de cada arco da ciclóide, onde a velocidade é um vetor paralelo ao eixo Ox. CEDERJ Derivadas de funções vetoriais MODULO 3 - AULA 34 Retas tangentes Na aula 31 você aprendeu a determinar uma equação paramétrica da reta r que contém o ponto A e é paralela ao vetor \( \vec{v} \neq \vec{0} \). Ela é dada por r(t) = t \vec{v} + A. Vamos usar essa fórmula para determinar equações paramétricas de retas tangentes aos traços de curvas. Seja \( \alpha : A \longrightarrow \mathbb{R}^n \) uma função diferenciável em \( t = a \) e tal que \( \alpha'(a) \neq \vec{0} \). Uma equação paramétrica da reta tangente a \( \alpha \), no ponto \( \alpha(a) \) é \[ r(t) = t \alpha'(a) + \alpha(a). \] Veja como isso funciona. Exemplo 34.5 Vamos calcular uma equação paramétrica da reta tangente à helicóide \( \alpha(t) = ( \cos 2\pi t, \sin 2\pi t, t) \), no ponto \( \alpha(1/4).\) Primeiro calculamos a função derivada de \( \alpha:\) \( \alpha'(t) = ( -2\pi \sin 2\pi t, 2\pi \cos 2\pi t, 1 ). \) Agora, vamos calcular os vetores \( \alpha(1/4) \) e \( \alpha'(1/4).\) \( \alpha\left( \frac{1}{4} \right) = \left( 0, 1, \frac{1}{4} \right) \) \( \alpha'\left( \frac{1}{4} \right) = (-2\pi, 0, 1). \) A equação paramétrica correspondentes a esses vetores fica \( r(t) = \alpha\left( \frac{1}{4} \right) + t\alpha'\left( \frac{1}{4} \right)\) \( r(t) = \left( 0, 1, \frac{1}{4} \right) + t (-2\pi, 0, 1) \) \( r(t) = (-2\pi, 1, t + \frac{1}{4}) \) CÁLCULO II Derivadas de funções vetoriais Exemplo 34.6 Vamos calcular as equações para as retas tangentes ao traço da curva \( \alpha(t) = (t^3 - t, t^2) \) nos pontos de interseção com os eixos. A primeira etapa do trabalho consiste em determinar esses pontos. Isso ocorre quando alguma das coordenadas de \( \alpha(t) \) é igual a zero. Se \( x = 0 \), temos a interseção com o eixo Oy. x = 0 \( \iff \) \( t^3 - t = t(t^2 - 1) = 0.\) Portanto, a curva intercepta o eixo Oy nos pontos \( (0, 0) \) e \( (0, 1) \), quando \( t = 0, 1 e -1. \) Em particular, observamos que \( \alpha(1) = \alpha(-1).\) Se \( y = 0 \), temos a interseção com o eixo Ox. y = 0 \( \iff \) \( t^2 = 0 \) e, portanto, a curva intercepta o eixo Ox na origem. Nosso problema consiste em calcular equações de retas tangentes à curva em \( \alpha(1) = \alpha(-1) = \alpha(0), \) quando \( t = -1, 0 e 1.\) A derivada de \( \alpha \) é \( \alpha'(t) = (3t^2 - 1, 2t). \) Consequentemente, \( \alpha'(-1) = (2, -2), \alpha'(0) = (-1, 0) \) e \( \alpha'(1) = (2, 2).\) As equações das retas serão dadas pela fórmula \[ r(t) = (x(t), y(t)) = \alpha(a) + t\alpha'(a). \] a = -1 \( \quad r(t) = (0, 1) + t (2, -2) = (2t, 1 - 2t); \) a = 0 \( \quad r(t) = (0, 0) + t (-1, 0) = (-t, 0); \) a = 1 \( \quad r(t) = (0, 1) + t (2, 2) = (2t, 1 + 2t).\) Lembre-se de que quando \( n = 2, \) podemos achar equações cartesianas para a reta, eliminando o parâmetro \( t. \) Veja: \{ \begin{array}{l} x = 2t \\ y = 1 - 2t \end{array} \} \implies \( y = 1 - x; \) \{ \begin{array}{l} x = -t \\ y = 0 \end{array} \} \implies \( y = 0 \) (eixo Ox);\) \{ \begin{array}{l} x = 2t \\ y = 1 + 2t \end{array} \} \implies \( y = 1 + x. \) CEDERJ Derivadas de funções vetoriais MODULO 3 - AULA 34 Aqui está o desenho da curva e de suas tangentes: Retas tangentes a curvas dadas em coordenadas polares Considere o seguinte problema: uma certa curva é dada em coordenadas polares, pela equação r = f(\theta) onde f(\theta) é uma função diferenciável. Como calcular uma equação da reta tangente à curva no ponto determinado por \( \theta = a? \) Veja como podemos resolver o problema. Podemos obter um parametrização da curva, em termos das coordenadas cartesiana, fazendo \{ \begin{array}{l} x(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ y(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{array} \} Portanto, tudo o que precisamos fazer é calcular a equação da reta tangente à curva \( \alpha(\theta) = (r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta). \) Exemplo 34.7 Vamos calcular a equação da reta tangente à limaçon r = 1 + 2 \cos(\theta), no ponto onde \( \alpha(\pi/3). \) Para isso, consideramos \( \alpha(t) = ((1 + 2 \cos \theta) \cos \theta, (1 + 2 \cos \theta) \sin \theta) \) e calculamos \( \alpha(\pi/3) \) e \( \alpha'(\pi/3). \) \( \alpha(\theta) = ((1 + 2 \cos \theta) \cos \theta, (1 + 2 \cos \theta) \sin \theta) \) \( \alpha\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\left(1 + 2 \frac{1}{2}\right) \frac{1}{2}, \left(1 + 2 \frac{1}{2}\right) \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (1, \sqrt{3}). \) CEDERJ CÁLCULO II α'(θ) = (−2 sen θ cos θ − (1+2 cos θ) sen θ, −2 sen² θ + (1+2 cos θ) cos θ) α'(π/3) = (−2 √3/2 1/2 − (1+2 1/2) √3/2, −2 √3/2 + (1+2 1/2) 1/2) = = (−3 √3/2, −1/2). Ou seja, a reta que queremos contém o ponto (1, √3) e é paralela ao vetor (− 3 √3/2, − 1/2). Uma equação paramétrica é dada por { x(t) = 1 − 3 √3/2 t y(t) = √3 − t/2. Podemos achar uma equação cartesiana dessa reta, eliminando t. Por exemplo, podemos reescrever a segunda equação como t = 2 (√3 − y) e substituí-la na primeira, obtendo y = √3/9 (x + 8). Veja a figura da curva e da reta tangente. Comentários finais Nesta aula você aprendeu a calcular a derivada de funções vetoriais e como usá-la para determinar retas tangentes à curvas. Do ponto de vista prático, os exercícios não são muito difíceis pois, essencialmente derivamos coordenada a coordenada. A parte mais complicada é, realmente, traçar as curvas à partir das equações. Mas essa parte foge do escopo de nosso curso. Além disso, você já deve ter acumulado alguma experiência com as aulas sobre curvas que já vimos, bem como aquelas vistas, ou a serem vistas, na Geometria Analítica. Agora é hora de você praticar o que aprendeu. CEDERJ 208 Exercícios Exercício 1 Calcule as funções derivadas das seguintes funções. (a) α(t) = (t² + 2, t³ − 3t); (b) β(t) = (t cos 2t, 6 sen 3t); (c) γ(t) = (sinh t, cosh t, t²). Exercício 2 Determine os potos onde a derivada da curva dada é igual ao vetor nulo. (a) α(t) = (2x³ + 3x² − 12x, x³ − 3x); (b) β(t) = (3 cos t + cos 3t, 3 sen 3t − sen 3t); (c) γ(t) = (t ln t² − 2t, 2t³ − 9t² + 12t). Dica: você pode resolver uma equação transcendental, como cos t = cos 3t, esboçando os gráficos y = cos t e y = cos 3t sobrepostos, descobrindo assim os pontos onde eles coincidem. Além disso, como as funções são periódicas, basta considerar um intervalo de periodicidade para determinar completamente as soluções. Exercício 3 Determine o(s) ponto(s) onde a curva dada é tangente à reta indicada. (a) α(t) = (t³ + 3t, t² + 4t), r(t) = (3t + 3, t − 4); (b) β(t) = (cos πt, sen π t), r(t) = (2 + t, t − 1). Solução : Para que a reta tangente à curva α(t) seja paralela à reta (6t+3, 2t−4), é preciso que a derivada de α(t) seja um múltiplo não nulo do vetor diretor (3, 1) da reta r. Isto é, basta que exista um número λ tal que α'(t) = λ(3, 1). 209 CEDERJ Como α'(t) = (3t² + 3, 2t + 4), isso significa que queremos resolver o sistema { 3t² + 3 = λ 3 2t + 4 = λ . Podemos fazer isso eliminando λ, substituindo λ = 2t + 4 na primeira equação: 3t² + 3 = 3 (2t + 4) =⇒ t² − 2t − 3 = 0. Essa equação admite as soluções t = −1 e t = 3. Portanto, os pontos pedidos no exercício α(−1) = (−4, −3) e α(3) = (36, 21). A figura não é, exatamente, interessante. No entanto, aqui está. Exercício 4 Calcule uma equação paramétrica da reta tangente às curvas nos pontos indicados. No caso das curvas planas, encontre também uma equação cartesiana da reta. (a) α(t) = (t², 3t + 1), t = 1; (b) β(t) = (1/t, t, t²), t = −1; (c) γ(t) = (t, cos t, sen t) t = π/6; (d) μ(t) = (sen 3t, sen 2t), t = π/2. CEDERJ 210