Aula 08: Regras de L'Hôpital e Aplicações de Limites

Cálculo Diferencial I Aula 08 Regras de LHospital Tópico 01 Regras de LHospital No tópico 2 da aula 03 foram vistos limites de algumas funções que têm a forma indeterminada 00 este tópico tem como objetivo aplicar a derivada no cálculo de limites que apresentam não só essa forma indeterminada como outros tipos de indeterminações tais indeterminações serão definidas a seguir os métodos que permitem remover as indeterminações são decorrentes dos resultados conhecidos como as regras de LHospital De imediato essas regras serão também usadas para acrescentar informações a respeito dos gráficos de algumas funções que aparecem na aula 10 outras aplicações aparecem nos módulos que dão continuidade a este LHOSPITAL G F A de LHospital 16611704 matemático francês Vale lembrar que o tem a forma indeterminada se onde c pode ser substituído por conforme foi visto no tópico 2 da aula 03 como nos exemplos e A relação das formas indeterminadas é dada a seguir EXEMPLO a tem a forma pois e b tem a forma pois e c tem a forma pois e d tem a forma 00 pois e e tem a forma pois e f tem a forma pois e Observação Nas funções dos exemplos d a f foi usada a definição de potência com expoente real em geral como tal potência ainda não foi definida o estudante tem todo direito de não aceitar tais exemplos A definição de potência com expoente real em geral será feita no tópico 2 da aula 10 e tais funções serão estudadas no tópico 3 da aula 10 Antes de enunciar a primeira regra de LHospital será demonstrado um resultado básico conhecido como o teorema do valor médio de Cauchy este é uma extensão do teorema do valor médio de Lagrange TEOREMA DO VALOR MÉDIO DE LAGRANGE Seja f uma função contínua em a b e derivável em a b então existe pelo menos um valor tal que Teorema 1 do Valor Médio de Cauchy Sejam f e g funções contínuas em a b deriváveis em a b Se para todo então existe tal que Fotografia de AugustinLouis Cauchy AugustinLouis Cauchy matemático francês Fonte 1 DEMONSTRAÇÃO Inicialmente observe que pois se gagb pelo teorema do valor médio de Lagrange existe c em a b tal que isto contradiz que para todo Considere a função h definida por então h é contínua em a b Como h é derivável em a b Além disso hahb0 Logo h tem as hipóteses do teorema de Rolle enunciado no tópico 2 da aula 06 assim existe tal que hu0 ou seja ou ainda pois por hipótese O que conclui a demonstração TEOREMA DE ROLLE Seja f uma função contínua em ab e derivável em a b Se fafb0 então existe pelo menos um valor c em a b tal que fc0 Para verificar que o teorema do valor médio de Cauchy é uma extensão do teorema do valor médio de Lagrange basta considerar g definida por gxx Geometricamente o teorema do valor médio de Cauchy tem a mesma interpretação do teorema do valor médio de Lagrange para justificar isto considere as equações paramétricas de uma curva dadas por xgu e yfu com a u b conforme foi definido no tópico 1 da aula 05 então a inclinação de uma reta tangente à curva é e a inclinação da reta secante à curva que contém os pontos e é dada por assim o teorema do valor médio de Cauchy afirma que as inclinações são iguais para algum valor de ou seja existe uma reta tangente à curva que é paralela a reta secante à curva contendo A e B EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA CURVA Se Px y é um ponto qualquer de uma curva é muito comum x e y serem funções de uma terceira variável Neste caso chamando de u essa variável temse xfu e yg u Estas equações são chamadas de equações paramétricas da curva e a variável u é dita o parâmetro da curva Um exemplo deste fato ocorre se a curva é a trajetória do deslocamento de uma partícula que se movimenta em função do tempo t neste caso o ponto Px y dá a posição da partícula no tempo t e a variável t é o parâmetro Teorema 2 Primeira Regra de LHospital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I exceto provavelmente num valor c em I Suponha que para todo em I tem a forma indeterminada e onde L pode ser finito pode ser substituído por ou e nestes casos DEMONSTRAÇÃO Seja F e G funções definidas por e Considere x c tal que xc I Como F e G têm as hipóteses do teorema do valor médio de Cauchy em xc existe u xc tal que Sendo obtémse ou seja Fazendo obtemse que pois x u c Portanto Considere x c tal que cx está contido em I fazendo mostrase similarmente que Sendo iguais a L temse assim O que conclui a demonstração do teorema Observe que o intervalo I do teorema 2 pode ser ac ou cb se o limite for à esquerda ou à direita respectivamente EXEMPLO RESOLVIDO 1 Exemplo resolvido 1 Calcular SOLUÇÃO O limite dado tem a forma indeterminada pois e Como a regra de LHospital pode ser aplicada temse EXEMPLO PROPOSTO 1 Provar que Às vezes é necessário aplicar a regra de LHospital no mesmo limite mais de uma vez isto acontece se o limite do quociente das derivadas das funções f e g ainda tiverem a indeterminação da forma No exemplo seguinte a regra será aplicada três e duas vezes nos itens a e b respectivamente EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular os limites indicados SOLUÇÃO a Como e o limite dado tem a forma indeterminada 0o Assim b Como e o limite dado tem a forma indeterminada 00 Assim EXEMPLO PROPOSTO 2 Mostrar que A regra de LHospital também pode ser aplicada se nos limites for substituído por ou de acordo com o corolário a seguir Corolário Valendo as condições do teorema 2 onde o intervalo I é ilimitado inferiormente ou superiormente então suas conclusões valem se for substituído por ou respectivamente DEMONSTRAÇÃO Seja então é equivalente a assim mas pela Regra da cadeia REGRA DA CADEIA O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas funções a partir das derivadas das funções isto é sem efetuar a composição a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a regra da cadeia Teorema 3 Sejam f e g funções deriváveis e definidas por yfu e ugx então fog é derivável além disso fogxfgxgx ou DxyDuyDxu Analogamente mostrase que Um procedimento análogo à primeira regra de LHospital pode ser aplicado nos limites que têm as indeterminações das formas de acordo com o teorema seguinte Teorema 3 Segunda Regra de LHospital Se valerem as condições do teorema 2 ou do seu corolário e tem a forma indeterminada então valem as conclusões do teorema 2 ou do seu corolário DEMONSTRAÇÃO A demonstração quando tem a forma e é finito é feita a seguir os outros casos têm demonstrações análogas Sendo pelo resultado i do Tópico 2 da aula 03 TÓPICO 2 DA AULA 03 Um resultado importante sobre limites que serão tratados no texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03 é o seguinte i Se existe então f é limitada em torno de c isto é existem e tal que Além disso pela definição de limite usando épsilon e delta se f é uma função definida num intervalo aberto contendo c exceto possivelmente em c dizse que se para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que 0 x c δ dada no texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03 dado existe tal que Assim para temse e Considere x e a em com a x pelo teorema do valor médio de Cauchy Teorema do valor Médio de Cauchy 1 Sejam f e g funções contínuas em ab e deriváveis em ab Se gx0 para todo x ab então existe u ab tal que enunciado no início deste tópico tal que Por outro lado pelo que foi visto inicialmente temse Além disso pois e assim ou seja para dado e k encontrado inicialmente existe tal que Logo fazendo obtemse Isto mostra que Considerando agora x e a em com x a analogamente se conclui que Portanto pelo critério de existência do limite bilateral estabelecido no tópico 1 da aula 03 demonstrouse que O que conclui a demonstração do teorema CITÉRIO DE EXISTÊNCIA DO LIMITE BILATERAL O existe e é igual a L se e somente se os e existem e são iguais a L EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular SOLUÇÃO Como o limite dado tem a forma indeterminada logo EXEMPLO PROPOSTO 3 Provar que As formas indeterminadas dos tipos devem ser modificadas para uma das formas ou a fim de que uma das regras de LHospital sejam aplicadas O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 4 Calcular SOLUÇÃO Como pois e pois o limite dado tem a forma indeterminada Mas que tem a forma indeterminada 00 Logo aplicando a primeira regra de LHospital obtémse pois e EXEMPLO PROPOSTO 4 Mostrar que As remoções das indeterminações das formas 00 1 e 0 são efetuadas usando logaritmo e serão tratadas posteriormente no tópico 1 da aula 10 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Figura 1 Um resistor resistência comercial Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo exercitandoaula 08topUnicodoc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 9 24 27 e 29 do exercitando serão as respectivas questões 1 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou 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