Classificação das Tensões de Flexão em Resistência dos Materiais II

Tensões de flexão Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2021 arianecardosoeng RESMAT2 Classificação da Flexão UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão A flexão é classificada de acordo com dois critérios 1 De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção 2 De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 1 Classificação de acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção 11 Flexão Normal Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção Na figura o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z e o plano do momento contém o eixo y arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 12 Flexão Oblíqua Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento Na figura o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção 1 Classificação de acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 2 Classificação de acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor 21 Flexão Pura Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção 22 Flexão Simples Quando além do momento fletor atua uma força cortante na seção 23 Flexão Composta Quando além do momento fletor atua uma força normal na seção arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Flexão Normal Simples Mx 0 ou My 0 e N 0 Flexão Normal Composta Mx 0 ou My 0 e N 0 Flexão Oblíqua Simples Mx 0 e My 0 e N 0 Flexão Oblíqua Composta Mx 0 e My 0 e N 0 Observe que estes critérios são complementares Estado de Flexão arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI O esforço de flexão simples é normalmente resultante da ação de carregamentos transversais que tendem a curvar o corpo e que geram uma distribuição de tensões aproximadamente lineares no seu interior Essa distribuição alterna entre tensões de tração e compressão na mesma seção transversal Isso ocorre desde que a seção transversal do corpo seja simétrica em relação ao plano de aplicação do carregamento transversal plano de solicitação A resultante dessa distribuição é um binário de forças de igual intensidade mas de sentidos opostos conhecido como momento fletor Flexão Simples arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI A flexão pura é um caso particular da flexão simples onde corpos flexionados somente estão solicitados por um momento fletor não existindo assim o carregamento transversal É uma condição considerada idealizada mas com a consideração das hipóteses simplificadoras essa condição pode ser acoplada posteriormente aos efeitos das cargas transversais para se definir a deformada e as tensões na flexão simples Flexão Pura arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI O esforço de flexão composta ocorre quando a resultante das tensões normais pode ser decomposta em uma força normal e momentos fletores Quando o plano do momento fletor intercepta a seção segundo um dos eixos principais de inércia o esforço é denominado de flexão composta normal caso contrário é denominado flexão composta oblíqua Flexão Composta Na prática a flexão composta ocorre frequentemente em pilares em viga protendidas em muros de arrimo etc arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Flexão Composta Normal A flexão composta normal é caracterizada por apresentar apenas uma resultante de momento na seção transversal podendo ser tanto em torno do eixo y quanto em torno do eixo x Os momentos fletores podem decorrer da excentricidade com relação ao eixo do elemento de força atuando na direção longitudinal desde que a carga sempre se encontre sobre um dos eixos principais de inércia 𝐌𝐱 N Yk My N Xk arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Flexão Composta Oblíqua A flexão composta oblíqua é caracterizada por apresentar resultantes de momento na seção transversal em torno do eixo y quanto em torno do eixo x Assim como na flexão composta normal os momentos fletores podem decorrer da excentricidade com relação ao eixo do elemento de força atuando na direção longitudinal 𝐌𝐱 N Yk My N Xk arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Equação das tensões A distribuição das tensões normais na seção transversal é equivalente a sobreposição das tensões normais causadas pela carga N quando localizada no centroide da seção com as tensões de flexão decorrentes dos momentos My ou Mx dependendo da excentricidade original da carga N A Figura mostra essa sobreposição para o momento Mx A sobreposição para My é idêntica porém com a flexão ocorrendo no sentido do eixo x e a linha neutra coincidindo com o eixo y 𝝈 𝝈N 𝝈Mx 𝝈My arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier Onde 𝜎 Tensão normal na flexão Ix e Iy Momento de inércia em relação aos eixos x e y baricêntricos x e y Coordenadas de um ponto qualquer da seção onde se deseja calcular a tensão normal Xk e Yk Coordenadas do ponto de aplicação do esforço normal N em relação ao centro de gravidade S Área da seção transversal 𝐌𝐱 N Yk My N Xk Equação das tensões arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 0 𝑋𝑘 𝐼𝑦 x 𝑌𝑘 𝐼𝑥 y 1 𝑆 Equação da reta do eixo neutro Precisase de 2 pontos que possibilite o traçado do eixo neutro Hn 0 Yn fazendo x0 y yn 𝐌𝐱 N Yk My N Xk Posição da linha neutra eixo neutro A determinação da posição do eixo neutro é feita baseandose na sua principal propriedade as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento Substituindose 𝜎 0 na equação anterior temse Yn Ix SYk Xn Iy SXk Mn Xn 0 fazendo y0 x xn arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI tg 𝛼 𝑀𝑥 𝑀𝑦 Eixo de solicitação O eixo de solicitação é definido pela linha que passa pelo centro de gravidade CG e pelo ponto de aplicação do esforço normal ponto K Quando não é possível determinar o ponto K calculase o ângulo 𝛼 através da tangente tg 𝛽 𝑌𝑛 𝑋𝑛 tg β 1 tgα Ix Iy Eixo de solicitação Eixo Neutro arianecardosoeng RESMAT2 Núcleo central UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI O núcleo central de inércia é o lugar geométrico da seção transversal tal que se nele for aplicada uma carga de compressão F toda a seção estará comprimida A determinação dessa região pode ser feita através da análise das distribuições das tensões na seção transversal 𝜎𝑀𝑥 𝜎𝐹 𝜎𝑧 arianecardosoeng RESMAT2 Núcleo central UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Considerando uma seção submetida a uma carga axial P aplicada em um ponto A localizado em um dos eixos baricêntricos ou seja uma carga excêntrica EN z y y G A e σ P A P e y I A flexão ocorrerá no eixo z então Mz Pe Fazendo σ0 e sabendo que P 0 temse y I Ae Onde I Momento de inércia em relação ao eixo de flexão A Área da seção transversal arianecardosoeng RESMAT2 Núcleo central UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI No caso de seção transversal retangular podemos descrever da seguinte forma ey 1 6 h ez 1 6 b A região do núcleo central garante que qualquer carga axial aplicada nela permitirá obter tensões de mesmo sinal tração ou compressão em qualquer ponto da seção arianecardosoeng RESMAT2 Exercício UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Dada a seção indicada na figura submetida a um estado de flexão com esforço normal de compressão de 70 tf momento fletor Mx 560000 kgfcm determine a O estado de flexão b As posições dos eixos neutro e de solicitação c O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da seção dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central d As tensões normais máximas ou máxima e mínima que se desenvolvem na seção e as posições correspondentes Medidas em centímetros arianecardosoeng RESMAT2 1º Dividir em áreas e calcular o CG UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Cálculo do centro de gravidade CG da seção em relação aos eixos x e y auxiliares Observando a seção plana indicada percebese que o eixo x é de simetria então ത𝐲 10 𝟓𝟎 𝟐 35 cm Precisamos calcular o തx arianecardosoeng RESMAT2 2º Encontrar o CG de cada área UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ÁREA I AI 50 x 70 3500 cm² തx I 502 25 cm ÁREA II AII 40 x 50 2000 cm² തx II 10 402 30 cm arianecardosoeng RESMAT2 3º Encontrar o CG da seção chamaremos de ഥ𝒙G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ത𝐱G ത𝐱𝐀 𝐀 തxG 87500 60000 3500 2000 ഥ𝒙G 1833 cm Quant Áreas A cm² ത𝐱 𝐜𝐦 ത𝐱𝐀 𝐜𝐦𝟑 3500 2000 25 30 87500 60000 I II arianecardosoeng RESMAT2 3º Encontrar o CG da seção chamaremos de ഥ𝒙G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 4º Calcular o Momento de Inércia em relação aos eixos x e y UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ix IxI IxII Ix 50 70³ 12 40 50³ 12 14216670 41666670 cm4 Devido o eixo x ser de simetria para as duas áreas AI e AII podemos escrever que I 𝐛𝐡³ 𝟏𝟐 𝐈𝐱 𝟏 𝟎𝟏𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝐜𝐦𝟒 arianecardosoeng RESMAT2 4º Calcular o Momento de Inércia em relação aos eixos x e y UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI IyI 70 50³ 12 50 70 25 1833 2 8848779 cm4 Iy IyI IyII 34583340 𝐜𝐦𝟒 Iy 𝒃𝒉³ 𝟏𝟐 A d² Como o eixo y não é eixo de simetria vamos calcular para cada área retangular o seu momento de inércia em relação a cada eixo baricêntrico de ambas e transferirmos para o eixo principal da seção utilizando o teorema dos eixos paralelos e em seguida calculase a diferença entre esses momentos de inércia IyII 50 40³ 12 40 50 30 1833 2 5390445 cm4 arianecardosoeng RESMAT2 5º Calcular o Xk e Yk coordenadas do ponto de aplicação do esforço normal em relação ao centro de gravidade UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Yk Mx N Mx NYk Sabese que Mx 560000 kgfcm N 70 tf 70000 kgf compressão My 0 Yk 560000 70000 8 cm Xk My N My NXk Xk 0 70000 0 arianecardosoeng RESMAT2 6º Calcular o Xn e Yn coordenadas para passar a reta do eixo neutro UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Xn 34583340 35002000 0 𝐗n 𝐈𝐲 𝐒 𝐗𝐤 Xn Yn 1012500 35002000 8 Yn 𝐈𝐱 𝐒 𝐘𝐤 Yn 844 cm Ao marcarmos os pontos Xn e Yn na seção percebese que o eixo neutro está fora da seção isto significa que o ponto XkYk está dentro do núcleo central então as tensões em qualquer ponto da seção será de compressão visto que a força normal é de compressão arianecardosoeng RESMAT2 7º Calcular as tensões UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier No ponto 1 temse que x1 50 1833 3167 cm y1 70 35 35 cm 𝜎1 0 560000 1012500 35 70000 1500 𝝈1 6602 kgfcm² arianecardosoeng RESMAT2 7º Calcular as tensões UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier No ponto 2 temse que x2 50 1833 3167 cm y2 35 cm 𝜎2 0 560000 1012500 35 70000 1500 𝝈2 273 kgfcm² arianecardosoeng RESMAT2 8º Diagrama de tensões e classificação do estado de flexão UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ESTADO DE FLEXÃO Flexão Normal Composta Mx 0 My 0 e N 0 𝐸𝑆