Lista - Integral de Superfície - 2024-1

6* Lista de Exercicios - Calculo II (1) Calcule a integral de superficie [ [,2? dS, onde S é a esfera unitaria «7 + y? +2? = 1. (2) Calcule a integral de superficie [ Jc y dS, onde S é asuperficie z = x+-y?,0 < r+ <1, Osy <2. (3) Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y,z) = zityj+ak através da esfera unitaria et+yter=l. (4) Calcule be F dr, onde F(2,y,z) = —y?i + aj + 27k e C éa curva da intersecao do plano y + z = 2 com o cilindro x? + y? = 1 e C 6 orientada no sentido anti-horario quando observado de cima. (5) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral { J,rot(F) dS, onde F(x,y,z) = rzit+yzj +xyk eS éa parte da esfera x? + y? + 2? = 4 que esta dentro do cilindro x? + y* = 1eacima do plano xy. (6) Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral [ J, rot(F).n dS, onde: (a) F(z,y,z) = yit(xt+y)k e S é dada por (x, y, 2-2? —y”) com 2? +y? < 1, sendo 7 o vetor normal apontado para cima. (b) F(z,y,z) = («+ y*)it+ (yt #)j + (24+ 2’)k e S 600 tridngulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0, 1) e S é orientado no sentido anti-horario. (c) F(x, y, 2) = i+(a+yz)j+(ry—V/z)k e S €0 limite da parte do plano 37+2y+z = 1 no primeiro octante e S é orientado no sentido anti-horario. (d) F(a, y, 2) = yzi+2rzj+e%ke S é0 circulo x? + y’ = 16, z =5 e S é orientado no sentido anti-horario. (7) Usando o Teorema do Divergente, determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi +yj+xk sobre a unidade esférica x? + y? + 27 = 1. (8) Usando o Teorema do Divergente, calcule [ Jc F dS, onde: (a) F(x,y,z) = ryi + (y? +e*”)j + sin(ay)k e S é a superficie da regiao delimitada pelo cilindro parabdlico z = 1 — 2? e os planos z =0, y=Oey+z=2. (b) F(a, y,z) =xvi+yj+27k eS é fronteira do cilindro 2? + y?<1,0<z<leno vetor normal unitaério apontado para fora de S. (c) F(a,y, 2) = ryityzjt27keS = {(a,y,z) © R?:0<2<10<y<2,0<2< 4} e 7 0 vetor normal unitdario apontado para fora de S. (d) F(2,y,z) = —-2vit+ y?j+3zke S={(a,y,z) eR: +y4+2<1z>r4+y} e 7 eo vetor normal unitaério apontado para fora de S. 1 2 (e) F(x, y, z) = 3xyi+−3/2y2j+zk e S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, x2 ≤ z ≤ 5 − x2 − y2} e η o vetor normal unit´ario apontado para fora de S.