Lista - Polinômio de Taylor - 2024-1

3ª Lista de Exerc´ıcios - C´alculo II (1) Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes fun¸c˜oes: (a) f(x, y) = ex+y em torno do ponto (1, 2); (b) f(x, y) = sin(x) cos(y) em torno do ponto (0, π); (d) f(x, y) = x4 + y4 em torno do ponto (1, 1); (d) f(x, y) = sin(x − y) em torno do ponto (π/2, 0); (e) f(x, y) = x cos(y) em torno do ponto (0, 0); (2) Estude os valores extremos das seguintes fun¸c˜oes: (a) f(x, y) = x + y com restri¸c˜ao g(x, y) = 0, onde g(x, y) = x2 + y2 − 1; (b) f(x, y) = 2x3 + y2 com restri¸c˜ao x2 + y2 − 9; (c) f(x, y) = x + y + z com as restri¸c˜oes g(x, y, z) = x − y + z = 1 e h(x, y, z) = x2 + y2 = 1; (3) Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao de classe C2 numa vizinhan¸ca de p = (a, b) e suponha que p ´e um ponto cr´ıtico de f. Considere D = ∂2f ∂x2 (a, b)∂2f ∂y2 (a, b) − ∂2f ∂x∂y(a, b) ∂2f ∂y∂x(a, b). Mostre que: (a) Se D > 0 e ∂2f ∂x2 (a, b) > 0 ent˜ao f(a, b) ´e m´ınimo local; (b) Se D > 0 e ∂2f ∂x2 (a, b) < 0 ent˜ao f(a, b) ´e m´aximo local; (c) Se D < 0 ent˜ao f(a, b) ´e ponto de sela; Dica: Observe que D ´e o determinante da matriz Hessiana. Use o polinˆomio de Taylor de f de ordem 2. 1