P2 - Cálculo 2 - 2024-1

Trabalho 1. Calcule ż ż ż D px2024 log2pyqz ` sin4pxyq tanpzqqdV onde D “ tpx, y, zq : x2 ` y2 ` z2 ď 1u. Dica: Revisite o conteúdo sobre paridade de funções. 2. Um sólido E está contido no cilindro x2 ` z2 “ 1, a direita do paraboloide y “ 9 ´ x2 ´ z2 e a esquerda do cone y2 “ x2 ` z2. A densidade ρpx, zq “ K ? x2 ` z2 em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa m “ ż ż ż E ρpx, zqdV, de E. (sugestão Pag. 926 James Stewart). 3. Considere o sólido E que está abaixo do paraboloide z “ x2 2 ` x2 2 e cuja projeção no plano xy é o conjunto B :“ tpx, yq P R2 : 1 ď x2 ` y2 ď 2x, y ě 0 u X tpx, yq P R2 : x ď 1u. Determine o volume de E. 4. Calcule ż ż ż E px2 ` y2qdV, onde E está entre as esferas x2 ` y2 ` z2 “ a2 e x2 ` y2 ` z2 “ b2, a ă b e a, b P R. 5. Calcule o número abaixo: ż 2 0 ż ? 4´y2 ´? 4´y2 ż ? 4´y2´y2 ´? 4´x2´y2 ´c x2 2 ` y2 2 ` z2 2 ¯ dzdxdy onde D “ tpx, y, zq : x2 ` y2 ` z2 ď 1u. N.B.: i) Resoluções mais detalhadas receberão mais pontos; ii) Os alunos podem usar qualquer material de consulta, exceto consul- tar outras pessoas; iii) É necessário indicar o livro e a página consultada para cada definição ou conceito utilizado. i v) Qualquer afirmação feita que não se encontre nas bibliografias nec- essariamente deverá ser demonstrada. Caso contrário não serão consideradas. 1