Resumo - Teorema de Green e Divergente - 2023-2

= \int_0^{2\pi}d\theta \cdot \int_0^1 \sqrt{4+2\alpha^2} \cdot \alpha \cdot d\alpha = \left\{\begin{array}{l} w = 4 + 2\alpha^2 \ dw = 4\alpha d\alpha \Rightarrow \alpha d\alpha = \frac{1}{4} dw \\ \int \sqrt{w}\, \frac{1}{4}\, dw = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}w^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{6}w^{\frac{3}{2}} + c \end{array}\right\} = 2\pi \cdot \frac{1}{6} (4+2\alpha^2)^{\frac{3}{2}} \Bigg|_0^1 = \frac{2\pi}{6} \left( 6^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{\pi}{3}\left( 6\sqrt{6} - 8 \right) = \left( 2\sqrt{6} - \frac{8}{3} \right)\pi 16.7 - Stewart 7^a Ed. \\ Ex. 17 7. Calcule a integral de superfície: \iint_S (x^2 + y^2) z\, dS S é o hemisfério \quad x^2 + y^2 + z^2 = 4, z \geq 0 \iint_S f(x,y,z)\, dS = \iint_D f(r(u,v)) \cdot |ru \times rv|\, dA = (-1-1) \hat{i} - (-v-u) \hat{j} + (v-u) \hat{k} = -2\, \hat{i} + (u+v) \hat{j} + (v-u) \hat{k} = \langle -2, u + v, v-u \rangle |ru \times rv| = \sqrt{(-2)^2 + (u+v)^2 + (v-u)^2} = \sqrt{4 + u^2 + 2uv + v^2 + v^2 - 2uv + u^2} = \sqrt{4 + 2 (u^2 + v^2)} A(S) = \iint_D |ru \times rv|\, dA = \iint_D \sqrt{4 + 2(u^2 + v^2)}\, dA = \n u = \alpha \cos \theta \\ v = \alpha \sin \theta \alpha = 1 \quad \theta = 2\pi = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \sqrt{4 + 2\alpha^2} \cdot \alpha\, d\alpha\, d\theta Rotacional e Divergente Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R^3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial definido por rot F = ∇ x F = | i j k | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | | P Q R | = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z ) i - ( ∂R/∂x - ∂P/∂z ) j + ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) O divergente de F é a função de 3 variáveis dada por: div F = ∇ • F = ( ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z ) • ( P, Q, R ) = ∂/∂x P + ∂/∂y Q + ∂/∂z R 16.5 - Stewart 7ª Ed. Ex. 1 2. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x,y,z) = xyz i - x^2y j + 0 k Na videoaula omiti sem querer o cálculo do divergente Superfícies Parametrizadas e suas Áreas 16.6 - Stewart 7ª Ed. Ex. 25 4. Determine uma representação parametrizada para a superfície: S é a parte do cilindro y^2 + z^2 = 16 que se encontra entre os planos x=0 e x=5. x = x 0 <= x <= 5 y = 4 cos θ 0 <= θ <= 2π z = 4 sen θ Observe que S também pode ser descrito como uma superfície de revolução: x = x y = f(x) cos θ z = f(x) sen θ f(x) = 4 16.6 - Stewart 7ª Ed. Ex. 33 5. Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada por x = u + v, y = 3u^2, z = u - v no ponto (2,3,0). Solução: A equação paramétrica da superfície pode ser escrita como: r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k = (u + v)i + 3u^2 j + (u - v)k. Primeiro vamos calcular os vetores tangentes: r_u = ∂X/∂u i + ∂y/∂u j + ∂z/∂u k = 1 i + 6u j + 1 k = <1, 6u, 1> r_v = ∂X/∂v i + ∂y/∂v j + ∂z/∂v k = 1 i + 0 j + (-1) k = i - k = <1, 0, -1> Assim, o vetor normal ao plano tangente é ru x rv = | i j k | | 1 6u 1 | | 1 0 -1 | = -6u i - (1 - 1) j + (-6u) k = -6u i + 2 j - 6u k = <-6u, 2, -6u> Como (2,3,0) ∈ S, { x = u + uv = 2 { y = 3u^2 = 3 { z = u - u = 0 => u = v => 2u = 2 => u = 1 Observe que o ponto (2,3,0) corresponde aos valores dos parâmetros u=1 e v=1. Logo um vetor normal no ponto (2,3,0) é -6 i + 2 j - 6k = <-6, 2, -6> Logo uma equação do plano tangente à superfície no ponto (2,3,0) é: -6 (x - 2) + 2(y - 3) - 6(z - 0) = 0 deduzindo: -6x + 12 + 2y - 6 - 6z = 0 => -6x + 2y - 6z = -6 => 3x - y + 3 = 3 16.6 - Stewart 5ª Ed. Ex. 45 6. Determine a área da superfície dada por x = u∇v y = u + uv z = u - u tal que u^2 + v^2 ≤ 1 Solução: r(u,v) = uv i + (u+uv) j + (u-v) k = <uv, u+v, u-v> A(S) = ∬ |ru x rv| dA D ru = <v, 1, 1> rv = <u, 1, -1> ru x rv = | i j k | | v 1 1 | | u 1 -1 | Usando coordenadas esféricas x = 2 \sen\phi \cos\theta y = 2 \sen\phi \sen\theta z = 2 \cos \phi 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} r(\phi, \theta) = 2 \sen\phi \cos\theta \ i + 2 \sen\phi \sen\theta \ j + 2 \cos \phi \ k r_\phi = \langle 2\cos\phi \cos\theta, 2\cos\phi \sen\theta, -2\sen\phi \rangle r_\theta = \langle -2\sen\phi \sen\theta, 2\sen\phi \cos\theta, 0 \rangle r_\phi \times r_\theta = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2\cos\phi \cos\theta & 2\cos\phi \sen\theta & -2\sen\phi \\ -2\sen\phi \sen\theta & 2\sen\phi \cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (4\sen^2\phi \cos\theta) \ \hat{i} - (-4\sen^2\phi \sen\theta) \ \hat{j} + \left( 4\sen\phi\cos\phi(\cos^2\theta) + 4\sen\phi \cos\phi(\sen^2\theta) \right) \hat{k} = \langle 4\sen^2\phi \cos\theta, 4\sen^2\phi \sen\theta, 4\sen\phi \cos\phi \rangle => |r_\phi \times r_\theta| = \sqrt{16\sen^4\phi \cos^2\theta + 16\sen^4\phi \sen^2\theta + 16\sen^2\phi \cos^2\phi} = \sqrt{16\sen^4\phi (1) + 16\sen^2\phi \cos^2\phi} = \sqrt{16\sen^2\phi(\sen^2\phi + \cos^2\phi)} = 4 \sen\phi \rho^2 \sen\phi \iint_S(x^2 + y^2)z \ dS = \iint \limits_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{4 \sen^2\phi \cos^2\theta \cdot 2 \cos\phi + 4 \sen^2\phi \sen^2\theta \cdot 2 \cos\phi \right\} \ |r_\phi \times r_\theta| \ d\phi \ d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4\sen^2\phi \cdot 2\cos\phi \cdot 4 \sen\phi \ d\phi \ d\theta = 2\pi \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 32 \sen^3\phi \cos\phi \ d\phi \newline u = \sen\phi \newline dv = \cos\phi \ d\phi \newline \int u^3 \ dv = 64\pi \frac{\sen^4\phi}{4}\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = 16\pi (1 - 0) = 16\pi Integral de Superfície de campos vetoriais \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int\int_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds fluxo de \mathbf{F} através de \mathbf{S} Se S é dado por \mathbf{r}(u,v), temos \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int\int_S \mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \, dS = \int\int_D \mathbf{F} \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right) \, dA \mathbf{n} = \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right|} Se S é dada pelo gráfico z = g(x,y), \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int\int_D \left( -P \cdot \frac{\partial g}{\partial x} - Q \cdot \frac{\partial g}{\partial y} + R \right) \, dA \mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} 16.7 - Stewart 7ª Ed. Ex. 25 8. Avalie a integral de superfície \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} para o campo vetorial \mathbf{F} e a superfície orientada \mathbf{S}. Em outras palavras, localize o fluxo de \mathbf{F} através de S. \mathbf{F}(x,y,z) = x \mathbf{i} - z \mathbf{j} + y \mathbf{k} S é parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 no 1º octante com orientação para origem. S possui orientação negativa! Vamos parametrizar a superfície: x = x y = y z = g(x,y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} x^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}, z \ge 0 D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 2 , \ 0 \le y \le \sqrt{4 - x^2} \} Como S possui orientação descendente, então \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = - \int\int_D \left( -P \cdot \frac{\partial g}{\partial x} - Q \cdot \frac{\partial g}{\partial y} + R \right) \, dA = = -\int\int_D \left( -x \cdot \frac{1}{2} (4-x^2-y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) - (-z) \cdot \frac{1}{2} (4-x^2-y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2y) + y \right) \, dA = -\int\int_D \left( \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2-y^2}} - y \cdot \frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{\sqrt{4-x^2-y^2}} + y \right) \, dA = -\int\int_D \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2-y^2}} \, dA x = r \cos \theta y = r \sin \theta = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 \frac{r^2 \cos^2 \theta}{\sqrt{4 - r^2}} \cdot r \, dr \, d\theta = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 \frac{(4-u) \cos^2 \theta}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{2}\right) du \, d\theta = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \right) d\theta \int_4^0 -\frac{1}{2} (4-u) u^{-\frac{1}{2}} du u = 4 - r^2 du = -2r \, dr rd\,r = -\frac{1}{2} du r^2 = 4 - u = - \left[ \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \frac{sen(2x)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \left[ \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2}} dm - \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2}} du \right] = - \left[ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 \right] \left( -\frac{1}{2} \right) \left( 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right) \Biggr|_{4}^{0} = \frac{\pi}{8} \left( -8 \cdot 2 + \frac{16}{3} \right) = \frac{\pi}{8} \left( -16 + \frac{16}{3} \right) = = \frac{\pi}{8} \left( \frac{-48+16}{3} \right) = -\frac{4\pi}{3}