P3 - Cálculo 2 - 2019-2

Departamento de Matem´atica - IMECC - Unicamp MA211- Segundo Semestre de 2019 Prova 3 - 28/11/2019 (5a - Tarde) Nome: RA: Turma Quest˜oes Notas Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total • Desligue o celular. • A prova cont´em cinco quest˜oes. Resolva cada quest˜ao em sua respectiva folha. • N˜ao retire o grampo da prova nem destaque p´aginas da prova. • N˜ao ´e permitido o uso de calculadoras. • Respostas sem justificativas n˜ao ser˜ao consideradas. Justifique suas respostas! Questao 1. (2.0 pontos) Considere o campo F(x,y) = (e* cosy+y,x —e" seny). 1. Mostre que F' é conservativo e exiba uma funcao potencial f para F’. 2. Calcule | F - dr, onde C 6 0 arco de circunferéncia que une o ponto (—V2/2, 2/2) ao ponto (1.0). 2 Questo 2. (2.0 pontos) Considere 0 campo F (x,y) = (by + x)i + (ax + y)j e seja C uma curva fechada, simples, orientada positivamente. Determine a relacao entre as constantes a e b de modo que | F. dr seja igual a area limitada pela curva C. C 3 Quest˜ao 3. (2.0 pontos) Determine a ´area da superf´ıcie z = 1 + 3x + 3y2 que est´a acima do triˆangulo com v´ertices (0, 0), (0, 1) e (2, 1). 4 Quest˜ao 4. (2.0 pontos) Use o Teorema do divergente para determinar o fluxo de F(x, y, z) = 3xy2⃗i + xez⃗j + z3 ⃗k, atrav´es da superf´ıcie S delimitada pelo cilindro y2 + z2 = 1 e pelos planos x = −1 e x = 2, com vetor normal exterior. 5 Questao 5. (2.0 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha [,, F- dr, onde 5 F(u,y,z)=(@+y jit (yt 2)jt (e+ 2°)k, e C é 0 triangulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), orientada no sentido anti-hordrio quando visto de cima. 6