Atividade 1 - Cálculo 2 2021-2

Universidade Estadual de Campinas - Faculdade de Ciˆencias Aplicadas LE203 - C´alculo 2 Atividade 1 – Prazo de Entrega: 08/10/2021 Otimizac¸˜ao: Aplicac¸ ˜oes de conceitos de C´alculo 2 Grupos de at´e 3 alunos. Todos os grupos devem entregar dois tipos de problemas: • Uma Aplicac¸˜ao em Otimizac¸˜ao Linear. • Uma Aplicac¸˜ao em Otimizac¸˜ao N˜ao-Linear. Sejam criativos! Criem hist´orias para o problema de vocˆes. Ferramentas computacionais que resolvem problemas de Otimizac¸˜ao possuem uma linguagem de modela- gem alg´ebrica para escrita da func¸˜ao-objetivo que se deseja otimizar e das restric¸ ˜oes consideradas no modelo. Ap´os a implementac¸˜ao do modelo, o programa ´e executado por um solver. Existem diversos pacotes comerciais e pacotes gratuitos dispon´ıveis para resolver problemas de Programac¸˜ao Linear e N˜ao-Linear. Em geral, eles diferem entre si pelos m´etodos implementados e tipos de problemas que s˜ao capazes de resolver. Problema 1: Aplicac¸˜ao em Otimizac¸˜ao Linear 1. Proposic¸˜ao de um Problema de Otimizac¸˜ao Linear, com as seguintes caracter´ısticas: (a) O problema deve conter exatamente 2 vari´aveis: x1 e x2. (b) A func¸˜ao-objetivo pode ser de maximizac¸˜ao (ex.: lucro, produc¸˜ao) ou de minimizac¸˜ao (ex.: custos, perdas). (c) O problema de vocˆes precisa conter pelo menos 4 restric¸ ˜oes (n˜ao contar as restric¸ ˜oes de n˜ao- negatividade: x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0): pelo menos uma restric¸˜ao deve ser do tipo ≤ e pelo menos uma restric¸˜ao deve ser do tipo ≥. (d) O problema precisa ser Linear: tanto a func¸˜ao-objetivo quanto as restric¸ ˜oes (lembra de GAAL? Tem que ser poss´ıvel escrever o lado esquerdo do problema na forma matricial AX, com A uma matriz num´erica e X = [x1, x2]. (e) O problema n˜ao pode ser ilimitado, com m´ultiplas soluc¸ ˜oes ou infact´ıvel. 2. Resoluc¸˜ao Gr´afica, no plano (x1, x2), contendo: (a) As retas para representac¸˜ao das restric¸ ˜oes do teu problema e a regi˜ao fact´ıvel. (b) As curvas de n´ıvel da func¸˜ao-objetivo f(x1, x2). (c) O vetor gradiente: representar apenas um vetor com origem em (0,0). (Programac¸˜ao Linear: o gradiente ´e o mesmo em todo os pontos do dom´ınio – Por quˆe?). (d) O ponto que representa a soluc¸˜ao ´otima do problema. (e) An´alise de Sensibilidade: Em que condic¸ ˜oes a soluc¸˜ao ´otima se mant´em inalterada? Analisando a sensibilidade da soluc¸˜ao ´otima `as variac¸ ˜oes nos coeficientes da func¸˜ao-objetivo; exemplo: se a func¸˜ao-objetivo original ´e algo do tipo: f(x1, x2) = 2x1 +3x2, representando que o lucro unit´ario com a venda do produto 1 ´e R$ 2 e o lucro unit´ario com a venda do produto 2 ´e R$ 3. A soluc¸˜ao (x1, x2) muda se vocˆe aumentar o lucro unit´ario com a venda do produto 1 (reajuste de prec¸o altera o n´ıvel ´otimo de produc¸˜ao?)? Ou, a soluc¸˜ao (x1, x2) muda se vocˆe diminuir o lucro unit´ario com a venda do produto 1 (dia de promoc¸˜ao: o n´ıvel ´otimo de produc¸˜ao se altera?)? Por quˆe? Justifique analisando os novos vetores gradiente e curvas de n´ıvel. 3. Resoluc¸˜ao com o solver de Programac¸˜ao Linear. T´a sem inspirac¸˜ao? Exemplos de problemas de Otimizac¸˜ao Linear1 2: 1Cada grupo cria o pr´oprio problema. C´opias de problemas: zero para os grupos envolvidos. 2Os exemplos foram retirados do livro: Pesquisa Operacional, 8a edic¸˜ao, Hamdy A. Taha (2008). LE203 Atividade 1 - Continuac¸˜ao Prazo de Entrega: 08/10/2021 P´agina 2 de 6 LE203 Atividade 1 - Continuac¸˜ao Prazo de Entrega: 08/10/2021 P´agina 3 de 6 LE203 Atividade 1 - Continuac¸˜ao Prazo de Entrega: 08/10/2021 Problema 2: Aplicac¸˜ao em Otimizac¸˜ao N˜ao-Linear 1. Proposic¸˜ao de um Problema de Otimizac¸˜ao N˜ao-Linear, com as seguintes caracter´ısticas: (a) O problema deve conter pelo menos 2 vari´aveis. (b) A func¸˜ao-objetivo pode ser de maximizac¸˜ao (ex.: volume) ou de minimizac¸˜ao (ex.: utilizac¸˜ao de material). (c) O problema de vocˆes precisa conter pelo menos 1 restric¸˜ao (n˜ao contar as restric¸ ˜oes de n˜ao- negatividade do tipo: ≥ 0). (d) O problema precisa ser N˜ao-Linear: func¸˜ao-objetivo e/ou restric¸ ˜oes. 2. Resoluc¸˜ao com o solver de Programac¸˜ao N˜ao-Linear. T´a sem inspirac¸˜ao? Exemplos de problemas de Otimizac¸˜ao N˜ao-Linear3 4: 3Cada grupo cria o pr´oprio problema. C´opias de problemas: zero para os grupos envolvidos. 4Os exemplos foram retirados do livro: C´alculo com Geometria Anal´ıtica, vol.3, 4a edic¸˜ao, Edwards & Penney. P´agina 4 de 6 LE203 Atividade 1 - Continuac¸˜ao Prazo de Entrega: 08/10/2021 Exemplo 1: Problema da Serraria: maximizar a ´area da sec¸˜ao transversa de uma viga retangular cortada de um toro circular de raio R (Fig. 14.9.3). P´agina 5 de 6 LE203 Atividade 1 - Continuac¸˜ao Prazo de Entrega: 08/10/2021 (C´alculo, vol. 2, 7a edic¸˜ao, Stewart. Problemas Quentes). Entregar: • Arquivo .pdf com o nome de todos os integrantes do grupo e com a apresentac¸˜ao dos dois problemas: hist´oria, dados e modelo matem´atico (com definic¸˜ao de vari´aveis, restric¸ ˜oes e func¸˜ao-objetivo). • Arquivo .ipynb contendo a Resoluc¸˜ao Gr´afica (Problema 1) e a Resoluc¸˜ao com os solvers (Problema 1 e Problema 2). P´agina 6 de 6