P4 - Cálculo 2 2021-2

2 Wy Universidade Estadual de Campinas - Faculdade de Ciéncias Aplicadas yy vw LE203 - Calculo II ans Prova 4 - 03/12/2021 Nome: pou fs | | 2 fs | | Ras ce QuestdO 1... enn n ett eet een nett ete eeeteteteeneeese sd pontos Considere o campo vetorial F(x, y,z) = xi +yj —yk. Seja S a superficie fechada com orientacao positiva (para o exterior), composta pelas seguintes superficies: e S,: cilindro: x? + y* =9 e So: paraboloide z= 1427+ 77 e S3: plano z = 0 (a) Calcule f fi, F.dS diretamente. (b) Calcule f fi F.dS utilizando o Teorema do Divergente. (c) Explique com suas palavras 0 Teorema do Divergente. QueStdO 2... en nen nent e ete tenet n eee t te eeteteteeneeees sD pontos Considere o campo vetorial F(x, y) = yi +xyj. Seja C a curva fechada com orientacdo positiva (sentido anti-hordrio), formada pelos segmentos: e Cj: areta que liga os pontos (0,0) e (4,0). e Co: a reta que liga os pontos (4,0) e (4,2). e C3: a reta de (4,2) até (0,0). (a) Calcule f F.dr diretamente. (b) Calcule f F.dr utilizando o Teorema de Green. (c) Fé conservativo? Justifique sua resposta e explique o que é um campo vetorial conservativo. (d) Explique com suas palavras o Teorema de Green. Boa Prova! LE203 Prova 4 03/12/2021 Coordenadas polares: x = rcosO y=rsenO dA=rdrdO Coordenadas cilindricas: x= rcosO y=rsenO z=z dV =rdzdrdO Coordenadas esféricas: x = psenpcos9 y=psenpsenO z=pcosp dV = p*senddpdpdd Parametrizacaéo de C no plano: r(t) = x(t)i +y(Dj Parametrizacaéo de C no espaco: r(f) = x(fi +y()j +z(H)k Parametrizacao de S: r(u,v) = x(u, v)i +y(u, v)j +z(u, v)k Campo Vetorial F no plano: F(x, y) = P(x, y)i +Q(x, y)j Campo Vetorial F no espaco: F(x, y,2z) = P(x, y, z)i +Q(x, y, z)j +R(x, y, Zk V=($,5,%) totF=VxF divF=V.F b b {.ds= [Ir @lat So feo yds= f° f(r) lat b {CF dr= {. Pdx+ Qdy \.F dr= (. FT ds= {° F(r(#).r'() dt fhe 45 = [fj bru x rol dA Sh fly, 2) ds = ff, f(r, 0) Iru x Tol dA fc F-dS = ff, Fnds = [f, F(r(u,0)) (tux) dA Teorema de Green: f Pdx+Qdy= fh (3 - ae) dA Teorema de Stokes: f F.dr = ff I; rot F.dS Teorema do Divergente: f f; F.dS = f fl ff div FdV Pagina 2 de 2