Lista - Cálculo 2 2021-2

Questão 1 ................................................................................................................................. 5 pontos Seja z = f(x, y) ≡ \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^2} − \frac{1}{x^4} − 2y^2 (a) Escolha um ponto P = (x0, y0) de tal forma que ∇f(x0, y0) ≠ (0, 0). Calcule o gradiente da função f neste ponto e obtenha: • a curva C1 (interseção de f com o plano y = y0), • a curva C2 (interseção de f com o plano x = x0), • as retas T1 e T2 (retas tangentes às curvas C1 e C2 no ponto P, • o plano tangente à superfície da função f no ponto P. (b) Se a função f representa a temperatura e você está no ponto (0, 0), você escolheria andar na direção (1, 0) ou na direção (0, 1) para se aquecer? Justifique. (c) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P escolhido e a direção em que isso ocorre. Questão 2 ................................................................................................................................. 5 pontos Seja z = f(x, y) = 1 + 9x − x^3 − 6xy − 3y^2 (a) Encontre os pontos críticos (máximo local, mínimo local, ou ponto de sela) de f e classifique-os utilizando o Teste da Segunda Derivada. (b) Escolha um triângulo T contendo pelo menos um dos pontos críticos de f e determine os valores máximos e mínimos absolutos da função neste triângulo fechado.