P2 - Álgebra Linear 2014 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2014 Nota: 2a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) Seja A =   0 −2 3 3 6 −3 6 6 3  . (a) Determine o espa¸co-solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo Ax =0. (b) Determine uma base para este espa¸co-solu¸c˜ao. (c) Baseado na resposta do item (a), o espa¸co-solu¸c˜ao de Ax =0 ´e uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem? 2) Sejam v1 = (4, 1, 2), v2 = (3, −1, 1), v3 = (5, 2, 3) e v = (9, 8, 7). v ∈ ger{v1, v2, v3}? Se a resposta for afirmativa, qual ´e a combina¸c˜ao linear? 3) Sejam A =   1 2 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 2 0 2   e b =   1 2 0 −1 4   . (a) Calcule o determinante de A utilizando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas para transform´a-la em uma matriz triangular superior. (b) O que vocˆe pode dizer quanto ao n´umero de solu¸c˜oes do sistema Ax = b? Justifique. 4) Seja P3 o conjunto de todos os polinˆomios de grau menor ou igual a 3 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Determine se C = { p | p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 e a0 + a1 + a2 + a3 = 0} ´e subespa¸co de P3. 5) Seja P2 o conjunto de todos os polinˆomios de grau menor ou igual a 2 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Com rela¸c˜ao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de vetores em P2 s˜ao linearmente dependentes? 2. Quais s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para P2? 4. Quais dos conjuntos de vetores s˜ao conjunto de geradores para P2? (a) 2 − x + 4x2, 3 + 6x + 2x2, 2 + 10x − 4x2, 1 − x, 1 − x + 3x2; (b) 6 − x2, 1 + x + 4x2; (c) 2 + x + 4x2, 1 − x + 3x2, 3 + 7x2. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1 UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2014 Nota: 2a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) Sejam p1(x) = 2x2 − 3x + 1, p2(x) = 4x − 3, p3(x) = 3x2 + x + 4 e p(x) = 2x2 − 12x + 21. p ∈ ger{p1, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combina¸c˜ao linear de p1, p2 e p3. 2) Com rela¸c˜ao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de vetores em R3 s˜ao linearmente dependentes? 2. Quais s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para R3? 4. Quais dos conjuntos de vetores s˜ao conjunto de geradores para R3? (a) (2, −3, 1), (−6, 9, −3); (b) (1, −1, 4), (5, 2, 0), (3, 4, 8); (c) (3, 2, −1), (1, 1, 1), (3, −1, 2), (2, 3, −1). 3) Seja R2×2 o espa¸co vetorial das matrizes reais 2×2 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Seja N o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 com determinante nulo. Determine se N ´e subespa¸co de R2×2. 4) Seja A =   1 −2 3 −3 6 9 −2 4 6  . (a) Determine o espa¸co-solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo Ax =0. (b) Determine uma base para este espa¸co-solu¸c˜ao. (c) Baseado na resposta do item (a), o espa¸co-solu¸c˜ao de Ax =0 ´e uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem? 5) Sejam A =   0 1 −6 2 2 0 −3 1 4 2 0 0 0 −1 1 5   e b =   1 2 0 −1  . (a) Calcule o determinante de A utilizando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas para transform´a-la em uma matriz triangular superior. (b) O que vocˆe pode dizer quanto ao n´umero de solu¸c˜oes do sistema Ax = b? Justifique. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 2 UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2014 Nota: 2a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) Com rela¸c˜ao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de vetores em R3 s˜ao linearmente dependentes? 2. Quais s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para R3? 4. Quais dos conjuntos de vetores s˜ao conjunto de geradores para R3? (a) (−4, 6, 10), (2, −3, −5); (b) (2, 1, 3), (1, 4, 2), (−1, 10, 0); (c) (1, 1, −1), (3, 1, 2), (2, 0, 2), (3, 1, −1). 2) Sejam p1(x) = 4x2 + x + 2, p2(x) = 3x2 − x + 1, p3(x) = 5x2 + 2x + 3 e p(x) = 9x2 + 8x + 7. p ∈ ger{p1, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combina¸c˜ao linear de p1, p2 e p3. 3) Seja A =   1 −1 1 2 −1 4 0 −1 −2  . (a) Determine o espa¸co-solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo Ax =0. (b) Determine uma base para este espa¸co-solu¸c˜ao. (c) Baseado na resposta do item (a), o espa¸co-solu¸c˜ao de Ax =0 ´e uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem? 4) Sejam A =   5 −9 6 3 1 −2 3 1 −1 2 −6 −2 2 8 6 1   e b =   3 −2 1 5  . (a) Calcule o determinante de A utilizando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas para transform´a-la em uma matriz triangular superior. (b) O que vocˆe pode dizer quanto ao n´umero de solu¸c˜oes do sistema Ax = b? Justifique. 5) Seja P3 o conjunto de todos os polinˆomios de grau menor ou igual a 3 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Determine se C = { p | p(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3 e a0 = 0} ´e subespa¸co de P3. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 3 UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2014 Nota: 2a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) Seja R2×2 o espa¸co vetorial das matrizes reais 2×2 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Seja M ´e o conjunto de todas as matrizes A 2 × 2 tais que AT = −A. Determine se M ´e subespa¸co de R2×2. 2) Sejam A =   −2 8 1 4 3 2 5 1 1 10 6 3 4 −6 4 2   e b =   2 −1 1 3  . (a) Calcule o determinante de A utilizando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas para transform´a-la em uma matriz triangular superior. (b) O que vocˆe pode dizer quanto ao n´umero de solu¸c˜oes do sistema Ax = b? Justifique. 3) Seja P2 o conjunto de todos os polinˆomios de grau menor ou igual a 2 com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Com rela¸c˜ao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de vetores em P2 s˜ao linearmente dependentes? 2. Quais s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para P2? 4. Quais dos conjuntos de vetores s˜ao conjunto de geradores para P2? (a) −2 + x2, 3 + 2x + 5x2, 6 − x + x2, 7 − 2x2; (b) 4 − x + 2x2, −4 + 10x + 2x2; (c) −3x + 4x2, 5 − x + 2x2, 1 + x + 3x2. 4) Seja A =   3 4 −2 1 2 −1 3 2 −1  . (a) Determine o espa¸co-solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo Ax =0. (b) Determine uma base para este espa¸co-solu¸c˜ao. (c) Baseado na resposta do item (a), o espa¸co-solu¸c˜ao de Ax =0 ´e uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem? 5) Sejam v1 = (1, −2, 1), v2 = (0, 2, 3), v3 = (1, 1, 4) e v = (1, −10, −2). v ∈ ger{v1, v2, v3}? Se a resposta for afirmativa, qual ´e a combina¸c˜ao linear? Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 4