P2 - Álgebra Linear 2020 2

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: _-- Data: __/__/2021 Nota: _____--__- 2° Prova de Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja A o conjunto de todas as fungoes reais f que sao impares. Determine se A é ou nao subespaco de F(—oo, +00). 2) (1,5 ponto) Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R* sao linearmente independentes e quais deles geram R*? (a) (3, -2,1,5),(—2, 2, 1,0); (b) (1, —2,-1, 0),(2, —1,3, 2),(0, 1,0, 1),(-1, 2,0, 1); (c) (3,4, —2,1),(0, 1,1, 1),(2, 3,0, —1),(—1, 0, 0, 2),(5, 2, 1, 3). . 1 0 0 -3 1 2 0 -l 3) (2 pontos) Seiam r= [5 § |. Aa = | of ae=[a sf 4e= [0 if As = 0 1 —2 1 -10/° Ag = 5 1: Sendo A = ger{Aj, Ag, A3, As, As, Ag}, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas: (a) O conjunto {A,, Az, A3, Ay, As, Ag} é linearmente dependente ou linearmente indepen- dente? (b) Esse conjunto matrizes gera o espago M9? (c) Qual é a dimensao do espaco A gerado por este conjunto de matrizes? (d) {A,, Az, A3, Aa, As, Ao} forma uma base para Mp2? Se nao, extraia uma base de M22 de dentro deste conjunto. 4) (2 pontos) Considere as bases B, = {uy, us, uz} e Bo = {01, v2, 3} de R® tais que: —3 —3 1 —6 —2 —2 uy = 0 |, U2 = 2),U3= 6 ],v,= | -6 },v=)}] -6 | evs=] —3 |. —3 —l —l 0 4 7 Responda as perguntas a seguir: (a) Encontre a matriz de transicaéo de B, para By. —5 (b) Calcule o vetor de coordenadas de [w]z,, sendo w = 8 |. —5 (c) Confira seu trabalho calculando [w],, diretamente. (d) Calcule o vetor de coordenadas de [w]g,, sendo w do item (b) . 5) (1,5 ponto) Sejam p;(x) = 22? + 2-1, po(x) = 2? + 3, p3(x) = 2? +242 p(x) = 627 +52r+1. p €& ger{pi, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combinacao linear de p1, p2 © p3. 1 6) Seja A =   3 8 8 0 −1 4 0 0 3  . (a) (0,5 ponto) Encontre a equa¸c˜ao caracter´ıstica de A e os autovalores de A. (b) (1 ponto) Encontre as bases dos auto-espa¸cos de A e identifique os autovetores de A, associados aos respectivos autovalores. (c) (0,5 ponto) A ´e diagonaliz´avel? Se sim, encontre uma matriz invert´ıvel P e uma matriz diagonal D tal que P −1AP = D. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 2