Slide - Coordenadas em Relação a uma Base Pt1 2022 2

Coordenadas em Relação a uma Base Seção 4.4 - Coordenadas e Bases Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Coordenadas em Relação a uma Base Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V e se v = c1·v1+ c2·v2+...+ cn·vn é a expressão de v em termos dessa base B, então os escalares c1, c2, ..., cn são chamados coordenadas de v em relação à base B. Denotamos (v)B = (c1, c2, ..., cn) ou [v]B = c1 c2 ⁝ cn e dizemos que (v)B é o vetor de coordenadas de v em relação à base B. 3 Exemplo. Duas bases de R3 são B1 = {i, j, k} e B2 = {(1,0,1), (-2,1,1), (-1,1,0)}. Se v = (-8,7,5), então responda os itens a seguir: a) Qual é o vetor de coordenadas de v na base B1? b) Qual é o vetor de coordenadas de v na base B2? Solução. a) Como v = -8·i + 7·j + 5·k, então o vetor de coordenadas de v na base B1 é: (v)B1 = (-8, 7, 5) b) B2 = {(1,0,1), (-2,1,1), (-1,1,0)} é base de R3. Qual é o vetor de coordenadas de v = (-8,7,5) na base B2? Solução. O vetor de coordenadas de v na base B2 é: (v)B2 = (k1, k2, k3), Sendo (k1, k2, k3) a solução da equação vetorial k1·(1,0,1) + k2·(-2,1,1) + k3·(-1,1,0) = v k1·(1,0,1) + k2·(-2,1,1) + k3·(-1,1,0) = (-8,7,5) (k1, 0, k1) + (-2k2, k2, k2) + (-k3, k3, 0) = (-8,7,5) (k1 - 2k2 - k3, k2 + k3, k1 + k2) = (-8,7,5) Que corresponde a resolver k1 - 2k2 - k3 = -8 o sistema linear: k2 + k3 = 7 k1 + k2 = 5 Resolvendo esse sistema por qualquer método, k1 - 2k2 - k3 = -8 k2 + k3 = 7 k1 + k2 = 5 encontramos que a solução (única) é: (k1, k2, k3) = (2, 3, 4) , o que significa que v = 2·(1,0,1) + 3·(-2,1,1) + 4·(-1,1,0), e por isso, o vetor de coordenadas de v na base B2 é (v)B2 = (2, 3, 4) . 6 Exemplo. Duas bases de P2 são B1 = {x2, x, 1} e B2 = {x2 - x, 2x + 1, 2x2 + x + 1}. Se p(x) = 9x2 - 4x + 1, então responda os itens a seguir: a) Qual é o vetor de coordenadas de p(x) na base B1? b) Qual é o vetor de coordenadas de p(x) na base B2? Solução. a) Como p(x) = 9∙x2 + (-4)∙x + 1∙1, então o vetor de coordenadas de v na base B1 é: (v)B1 = (9, -4, 1) b) B2 = {x2 - x, 2x + 1, 2x2 + x + 1} é base de P2. Se p(x) = 9x2 - 4x + 1, então qual é o vetor de coordenadas de p(x) na base B2? Solução. O vetor de coordenadas de p(x) na base B2 é: (p)B2 = (k1, k2, k3), sendo (k1, k2, k3) a solução da equação vetorial k1·(x2 - x) + k2·(2x + 1) + k3·(2x2 + x + 1) = p(x) k1·(x2 - x) + k2·(2x + 1) + k3·(2x2 + x + 1) = 9x2 - 4x + 1 k1x2 - k1x + 2k2x + k2 + 2k3x2 + k3x + k3 = 9x2 - 4x + 1 (k1 + 2k3)·x2 + (-k1 + 2k2 + k3)·x + (k2 + k3) = 9x2 - 4x + 1 Que corresponde a resolver k1 + 2k3 = 9 o sistema linear: - k1 + 2k2 + k3 = -4 k2 + k3 = 1 Resolvendo esse sistema por qualquer método, k1 + 2k3 = 9 - k1 + 2k2 + k3 = -4 k2 + k3 = 1 encontramos que a solução (única) do sistema é (k1, k2, k3) = (3, -2, 3) , o que significa que p(x) = 3·(x2 - x) + (-2)·(2x + 1) + 3·(2x2 + x + 1) . Ou seja, o vetor de coordenadas de p(x) na base B2 é: (p)B2 = (3, -2, 3).