Slide - Exemplo sobre Bases Pt2 2022 2

Mais um Exemplo de Base Seção 4.4 - Coordenadas e Bases Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Definição. Se V é um espaço vetorial qualquer e se S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se valerem as seguintes condições: (a) S é linearmente independente (l.i.); (b) S gera V. Bases Exemplo. Sejam p1(x) = x2 + 2x +1, p2(x) = 2x2 + 9x e p3(x) = 3x2 + 3x + 4. Mostre que o conjunto S = {p1, p2, p3} é uma base de P2. Solução. Lembremos que P2 = espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e de grau ≤ 2, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de polinômios. Para mostrarmos que S é uma base para P2, devemos mostrar que: 1º) S é linearmente independente; 2º) S gera P2. Exemplo. Sejam p1(x) = x2 + 2x +1, p2(x) = 2x2 + 9x e p3(x) = 3x2 + 3x + 4. Mostre que o conjunto S = {p1, p2, p3} é uma base de P2. Solução (continuação). 1º) S é linearmente independente: S será l.i. se a equação vetorial a seguir tiver solução única k1·p1(x) + k2·p2(x) + k3·p3(x) = 0 k1·(x2 + 2x +1) + k2·(2x2 + 9x) + k3·(3x2 + 3x + 4) = 0 k1·x2 + 2k1·x + k1 + 2k2·x2 + 9k2·x + 3k3·x2 + 3k3·x + 4k3 = 0 (k1+2k2+3k3)·x2 + (2k1+9k2+3k3)·x + (k1+4k3) = 0x2 + 0x + 0 É o sistema linear k1+2k2+3k3 = 0 homogêneo: 2k1+9k2+3k3 = 0 k1 +4k3 = 0 Elemento neutro da soma de P2 1 2 3 k1 0 2 9 3 ∙ k2 = 0 1 0 4 k3 0 A k 0 = · Precisamos ver se esse sistema tem solução única ou infinitas soluções. Calculando o determinante de A, verificamos que: det(A) = 7. Como det(A) ≠ 0, então o sistema homogêneo tem solução única E daí, S = {p1, p2, p3} é um conjunto l.i. em P2. 1 2 3 k1 0 2 9 3 ∙ k2 = 0 1 0 4 k3 0 A k 0 = · k1 0 k2 = 0 k3 0 2º) Para que S = {p1, p2, p3} gere o espaço P2, é necessário que todo polinômio p(x) = ax2+bx+c de P2 seja uma combinação linear de p1, p2 e p3. Ou seja, é necessário que para todo p(x) = ax2 + bx + c de P2, existam escalares k1, k2 e k3 tais que p(x) = k1·p1(x) + k2·p2(x) + k3·p3(x) k1·p1(x) + k2·p2(x) + k3·p3(x) = p(x) k1·(x2 + 2x +1) + k2·(2x2 + 9x) + k3·(3x2 + 3x + 4) = ax2 + bx + c k1x2 + 2k1x + k1 + 2k2x2 + 9k2x + 3k3x2 + 3k3x + 4k3 = ax2 + bx + c (k1+2k2+3k3)·x2 + (2k1+9k2+3k3)·x + (k1+4k3) = ax2 + bx + c É o sistema linear: k1+2k2+3k3 = a 2k1+9k2+3k3 = b k1 +4k3 = c 1 2 3 k1 a 2 9 3 ∙ k2 = b 1 0 4 k3 c A k d = · Precisamos verificar se esse sistema tem solução para quaisquer que sejam os valores de a, b e c em p(x) = ax2+bx+c. Calculando o determinante de A, verificamos que: det(A) = 7. Como det(A) ≠ 0, então independente dos valores de a, b e c em p(x) = ax2+bx+c, este sistema sempre terá solução (única). Logo, S = {p1, p2, p3} gera o espaço P2, pois, para qualquer p(x) = ax2+bx+c Є P2, p será combinação linear dos polinômios p1, p2 e p3, ou seja, vão existir escalares k1, k2, k3 tais que p = k1·p1 + k2·p2 + k3·p3 Como mostramos que S é l.i. e S gera P2, então: S é base de P2. 1 2 3 k1 a 2 9 3 ∙ k2 = b 1 0 4 k3 c A k d = ·