Apostila - Eletromagnetismo I Campo Eletrostático 2021-2

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Eletromagnetismo I: Campo eletrostático Sérgio Kurokawa E1 E2 V Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa Prefácio Esta apostila foi desenvolvida com o objetivo de cobrir os tópicos previstos na ementa da disciplina Eletromagnetismo I oferecida aos alunos do curso de Engenharia Elétrica, da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, da Universidade Estadual Paulista. Antes de entrar nos assuntos relacionados à Eletrostática (conteúdo da disciplina), a apostila faz uma revisão, no capítulo 1, dos conceitos relacionados a vetores, a sistemas de coordenadas e às definições de integrais de superfície (relacionadas ao fluxo de um vetor através de uma superfície) e de integrais de linha (relacionadas ao trabalho realizado por uma força). Uma grande parte da apostila foi dedicada a estes temas, devido ao fato do autor entender que estas são as ferramentas básicas para que o aluno tenha condições de aplicar os conhecimentos do cálculo vetorial ao campo eletrostático, que é um campo vetorial conservativo. A apostila foi escrita tomando como base livros clássicos de eletromagnetismo e, por este motivo, não tem a pretensão de ser um livro. No entanto,pelo fato de tratar-se de uma apostila, onde a quantidade de páginas não é um fator limitante, o autor procura explicar o conteúdo com um nível de detalhamento bastante grande de modo a tentar facilitar o processo de aprendizado por parte do aluno. Este alto nível de detalhamento exigiu uma enorme quantidade de figuras e equações, fato este que fez com que a apostila tenha uma grande quantidade de páginas. No entanto sabendo que, às vezes, a tentativa de simplificar um processo pode torná-lo mais complicado, o autor espera receber críticas referentes a este material, de modo que ele possa ser aperfeiçoado e que possa realmente alcançar o objetivo proposto. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa Sumário 1 Vetores e cálculo vetorial 1.1 Grandezas escalares e grandezas vetoriais 1 1.2 Definição de vetor 1 1.3 Definição de vetor unitário na direção de um vetor 3 1.4 Produto escalar 4 1.5 Produto vetorial 7 1.6 Campos 11 1.7 Sistemas de coordenadas 12 1.8 Vetores no sistema de coordenadas cilíndricas 17 1.9 Vetores no sistema de coordenadas esféricas 18 1.10 Mudança de coordenadas de grandezas vetoriais 20 1.11 Elementos diferenciais no sistema de coordenadas cartesianas 36 1.12 Elementos diferenciais no sistema de coordenadas cilíndricas 39 1.13 Elementos diferenciais no sistema de coordenadas esféricas 42 1.14 Fluxo (Integral de superfície) 44 1.15 Divergente 51 1.16 Integral de linha 57 1.17 Campos conservativos 59 2 Lei de Coulomb e intensidade de campo elétrico 2.1 Carga elétrica 60 2.2 Lei de Coulomb 62 2.3 Campo elétrico devido a uma carga pontual 69 2.4 Campo elétrico devido a um arranjo de cargas 76 2.5 Campo elétrico devido a uma distribuição de cargas 76 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 3 Densidade de fluxo elétrico, lei de Gauss e divergência 3.1 Experimento de Faraday 94 3.2 Densidade de fluxo elétrico e lei de Gauss 95 3.3 Aplicação da lei de Gauss a distribuições simétricas de carga 105 3.4 Aplicação da lei de Gauss a distribuições assimétricas de carga 116 4 Energia e potencial 4.1 Energia necessária para mover uma carga pontual em um campo elétrico 119 4.2 Diferença de potencial elétrico 123 4.3 Potencial elétrico 124 4.4 Cálculo do campo a partir do potencial elétrico 134 4.4 Energia armazenada no campo elétrico 135 5 Condutores, dielétricos e capacitância 5.1 Introdução 145 5.2 Corrente e vetor densidade de corrente 145 5.3 Corrente elétrica em materiais condutores e lei de Ohm 150 5.4 Equação da continuidade 154 5.5 Propriedade dos materiais condutores e condições de contorno 158 5.6 Método das imagnes 162 5.7 Propriedades dos materiais dielétricos e condições de contonro 166 5.8 Capacitância 175 Referências 179 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 1 Capítulo 1 Vetores e Cálculo Vetorial 1.1 Grandezas escalares e grandezas vetoriais As grandezas físicas podem ser classificadas em grandezas escalares e grandezas vetoriais. Uma grandeza que necessita de apenas um número e uma unidade para ser completamente caracterizada é denominada de grandeza escalar. Assim diz-se, por exemplo, que um corpo possui massa de 5 kg. Neste caso a grandeza 5 e a unidade (grama) especificam completamente a massa do corpo. Outros exemplos de grandezas escalares são volume, energia, entropia, temperatura, etc. No entanto também existem grandezas que para serem completamente caracterizadas necessitam, além de um número e de uma unidade, de uma direção e de um sentido. Estas grandezas são denominadas grandezas vetoriais e necessitam de uma álgebra própria para serem manipuladas matematicamente. Como exemplo de uma grandeza vetorial, cita-se a velocidade. Para que a velocidade de um corpo seja completamente definida é necessário conhecer, além do valor e da unidade (por exemplo, 50 m/s) a direção e o sentido da mesma. Grandezas tais como deslocamento, velocidade, campo elétrico e momento linear são exemplos de grandezas vetoriais. 1.2 Definição de vetor Um vetor no espaço R3 é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que possuem a mesma direção e mesma intensidade. Esta classe de objetos é representada por um elemento que, geralmente, é um segmento de reta que tem início no ponto (0,0,0) e termina no ponto (x,y,z) do sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura 1.1. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 2 Fig. 1.1 - Vetor no sistema de coordenadas cartesianas Na Figura 1.1 âx, ây e âz são vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente, enquanto que r é um vetor escrito como sendo: z y x â â â r z y x + + = (1.1) Na equação 1.1 x, y e z são as coordenadas do ponto P(x,y,z) mostrado na Figura 1.1. Exemplo 1.1 - Determine o vetor r com início em (0,0,0) e término em (3,-1,4). Solução: com base na equação 1.1, o vetor r será r = 3 âx -1ây + 4âz Para definir um vetor entre dois pontos, sendo que nenhum dos pontos coincide com a origem, considere a Figura 1.2 onde se mostra, no espaço R3, os pontos O, A e B e os vetores r1, r2 e r3. Fig. 1.2 - Vetores r1, r2 e r3 no espaço R3 x y z âx ây âz r x y z P(x,y,z) O(0,0,0) B(xB, yB, zB) A(xA, yA, zA) r1 r2 r3 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 3 Na Figura 1.2 os vetores r1 e r2 possuem início na origem enquanto que o vetor r3 possui início em um ponto diferente da origem (ponto B). Os vetores r1 e r2, com início na origem, são escritos como sendo: z y x 1 â â â r A A A z y x + + = (1.2) z y x 2 â â â r B B B z y x + + = (1.3) Utilizando a propriedade de adição de vetores verifica-se, na Figura 1.2, a seguinte relação: 2 1 3 1 3 2 r r r r r r − = ⇔ = + (1.4) Substituindo as equações 1.2 e 1.3 na equação 1.4 obtém-se: ) z y (x ) z y (x B B B A A A z y x z y x 3 â â â â â â r + + − + + = (1.5) Manipulando a equação 1.5 verifica-se que r3 pode ser escrito como sendo: z y x 3 â ) â â r z ) (z y (y x ) (x B A B A B A − + − + − = (1.6) Portanto para definir um vetor com início em um ponto B e término no ponto A, basta aplicar a relação mostrada na equação 1.6. Exemplo 1.2 - Determine o vetor V com início em (1,2,-3) e término em (7,12,-4). Solução: com base na equação 1.6, o vetor V será escrito como sendo: z y x z y x â â â V â ) â â V 1 10 6 3) ( 4 2 (12 )1 (7 − + = ⇒ + + − − + − = 1.3 Definição de vetor unitário na direção de um vetor Um vetor unitário âr é dito estar na direção do vetor r, se seu módulo for unitário e se este vetor âr for paralelo ao vetor r conforme mostra a Figura 1.3. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 4 Fig. 1.3 - Vetor unitário âr na direção do vetor r Na Figura 1.3 o vetor unitário âr é escrito como sendo: r âr = r (1.7) Sendo: z y x â â â r r r r z y x + + = (1.8) Na equação 1.7 |r| é o módulo do vetor r, e é escrito como sendo: 2 r 2 r r2 z y x + + r = (1.9) Exemplo 1.3 - Sabendo que G = 2âx - 2ây - âz, determine o vetor unitário na direção do vetor G. Solução: O módulo de G é escrito como sendo: 3 )1 ( ( 2) (2) 2 2 2 = ⇒ + − + − = G G Substituindo G e |G| na equação 1.7 obtém se o vetor unitário âg na direção de G, escrito como sendo: z y x g â â â â 3 1 3 2 3 2 − − = (1.10) Observe que o módulo de um vetor unitário é sempre 1. 1.4 Produto escalar 1.4.1 - Definição de produto escalar entre dois vetores Considere os vetores A e B, no espaço R3, e o ângulo θAB formado por estes vetores, conforme mostra a Figura 1.4. r âr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 5 Fig. 1.4 – Vetores A e B no espaço R3 Define-se o produto escalar entre os vetores A e B, escrito na forma A.B, como sendo: cos AB | θ = A || B | A.B (1.11) Na equação 1.11 |A| e |B| são os módulos dos vetores A e B, respectivamente, enquanto que θAB é o ângulo formado por estes vetores. O produto escalar entre dois vetores resulta em uma grandeza escalar. Outra maneira de obter o produto escalar entre dois vetores consiste em expressar esta grandeza em função das componentes dos vetores. Para tanto, considere os vetores A e B escritos, de maneira genérica, como sendo: z y x â â â A z y x A A A + + = (1.12) z y x â â â B z y x B B B + + = (1.13) O produto escalar entre A e B pode ser escrito como sendo: ) B B () B A A (A z y x z y x z y x z y x â â â â â â A.B + + + + = (1.14) Desenvolvendo (1.14) obtém-se: z z y z x z z y y y x y z x y x x x â .â â .â .â â â .â â .â .â â â .â â .â â .â .B A z z y z x z z y y y x y z x y x x x A B A B B A A B A B B A A B A B B A + + + + + + + + = (1.15) A equação 1.15 mostra que para obter o produto escalar entre A e B é necessário calcular os produtos escalares entre os vetores unitários âx, ây e âz . Sabendo que estes vetores unitários constituem uma base do espaço R3 (ou seja, são perpendiculares entre θAB A B Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 6 si), e utilizando a definição de produto escalar mostrada na equação 1.11 é possível escrever: 1 0 ; ; 0 0 1; 0 ; 0 ; 0 ; ; 1 = = = = = = = = = z z y z x z z y y y x y z x y x x x â .â â .â .â â â .â â .â â .â â .â â .â â .â (1.16) Substituindo a equação 1.16 na equação 1.15 verifica-se que o produto escalar entre os vetores A e B pode ser escrito, em função das coordenadas destes vetores, como sendo: z z y y x x A B A B A B + + A.B = (1.17) A equação 1.17 mostra que o produto escalar entre os vetores A e B é igual ao produto das componentes, que estão na mesma direção, destes vetores. 1.4.2 - Projeção de um vetor em uma determinada direção Considere o vetor B e o vetor unitário â mostrados na Fig. 1.5. Fig. 1.5 - Vetores B e â no espaço R3 Projetando o vetor B na direção do vetor unitário â obtém-se o vetor P mostrado na Figura 1.6. Fig. 1.6 - projeção do vetor B na direção do vetor unitário â Na Figura 1.6, o vetor P pode ser escrito como sendo: θ B â θ B â P Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 7 P = P â (1.18) A partir da Figura 1.6, verifica-se que: θ = B cos P (1.19) Uma vez que â é um vetor unitário na direção do vetor P, a equação 1.19 pode ser escrita como sendo: θ = B â cos P (1.20) Na equação 1.20, o termo Bâcosθ corresponde ao produto escalar dos vetores B e â. Assim, a equação 1.20 pode ser escrita como sendo: P = B . â (1.21) Substituindo a equação 1.21 na equação 1.18 verifica-se que a projeção de B na direção de â é escrita como sendo: B . â â P ) = ( (1.22) A equação 1.22 mostra que o vetor P, resultante da projeção do vetor B na direção do vetor unitário â, é um vetor cujo módulo coincide com o produto escalar entre B e â e cuja direção é a direção de â. 1.5 Produto vetorial Considere os vetores A e B, no espaço R3, e o ângulo θAB formado por estes vetores, conforme mostra a Figura 1.7. Fig. 1.7 - Vetores A e B no espaço R3 θAB A B Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 8 Define-se o produto vetorial de A por B, escrito na forma A×B, ao vetor cujo módulo é dado por ABsenθAB. A direção do vetor A×B é perpendicular ao plano que contém A e B e o sentido deste vetor corresponde ao sentido de avanço de um parafuso de rosca dextrogiro quando A é girado para B. A Figura 1.8 mostra o vetor resultante do produto A×B e mostra também um parafuso de rosca dextrogiro, que define o sentido deste produto vetorial. Fonte: Hayt Fig. 1.8 - Produto vetorial A×B Uma maneira mais simplificada de obter o produto vetorial consiste em expressá-lo em função das componentes dos dois vetores. Para isto, considere os vetores A e B, genéricos, escritos na forma: z y x â â â A z y x A A A + + = (1.23) z y x â â â B z y x B B B + + = (1.24) O produto vetorial A×B é dado por: ) B B ) (B A A (A z y x z y x z y x z y x â â â â â â A B + + × + + = × (1.25) Desenvolvendo a equação 1.25 obtém-se: z z y z x z z y y y x y z x y x x x â â â â â â â â â â â â â â â â â â B A × + × + × + × + × + × + × + × + × = × (A B ) (A B ) A B ) ( (A B ) (A B ) A B ) ( (A B ) (A B ) A B ) ( z z y z x z z y y y x y z x y x x x (1.26) B A × B Plano que contém os vetores A e B A Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 9 A equação 1.26 mostra que o produto vetorial A×B ficou escrito em função do produto vetorial entre os vetores unitários âx, ây e âz que, por constituírem uma base vetorial, são perpendiculares entre si. Assim, aplicando o conceito de produto vetorial, o produto vetorial entre os vetores unitários âx, ây e âz resulta em: 0 ; ; ; 0 ; ; ; ; 0 = × = − × = × = × = × = − × = − × = × = × z z x y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â (1.27) Substituindo 1.27 em 1.26: () 0) (A B ) () (A B ) () A B ( ) () (A B () 0) (A B ) () A B ( ) () (A B ) () (A B () 0) A B ( z z y z x z z y y y x y z x y x x x + − + + + + − + − + + = × x y x z y z â â â â â â B A (1.28) A partir da equação 1.28 obtém-se: z y x â â â A B A B ) (A B A B ) (A B A B ) (A B x y y x z x x z y z z y − + − + − = × (1.29) A equação 1.29 mostra o produto vetorial A×B escrito em função das componentes de A e B. Este resultado também pode ser obtido a partir do desenvolvimento do determinante escrito na equação 1.30. z y x z y x B B B A A A z y x â â â A B = × (1.30) Na primeira linha do determinante, mostrado na equação 1.30, estão os vetores unitários âx, ây e âz. Na segunda e na terceira linhas estão, respectivamente, as componentes dos vetores A e B. O desenvolvimento da equação 1.30 fornece o mesmo resultado obtido na equação 1.29. Exemplo 1.4 - Sendo A = 2ây e B = 3âz determine o produto vetorial A×B. Solução: A Figura 1.8 mostra os vetores A e B no sistema cartesiano de coordenadas. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 10 Fig. 1.9 - Vetores A e B no sistema de coordenadas cartesianas Aplicando a definição de produto vetorial e levando em conta que os vetores A e B são perpendiculares, chega-se à conclusão de que o módulo do vetor C, resultante do produto vetorial A×B, é escrito como sendo: 6 sen 2 = ⇒       π = C A B C (1.31) Sabe-se que vetor C é perpendicular ao plano que contém A e B (portanto C está na direção do eixo x) e o sentido de C corresponde ao sentido de avanço de um parafuso de rosca dextrogiro quando A é girado sobre B (Figura 1.8). Conclui-se que o sentido do vetor C é o sentido positivo do eixo x, conforme mostra a Figura 1.10. Fig. 1.10 - Vetor C resultante do produto vetorial A×B Portanto o produto vetorial A×B é um vetor C escrito como sendo: âx A B =6 × (1.32) x y z A B x y z A B C Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 11 O produto vetorial A×B pode ser mais facilmente obtido a partir do desenvolvimento do determinante escrito na equação 1.30. Substituindo as componentes de A e B na equação (1.30) obtém-se: 3 0 0 0 2 0 z y x â â â A B = × (1.33) Desenvolvendo o determinante mostrado na equação 1.33 obtém-se o produto vetorial A×B escrito como sendo: âx A B =6 × (1.34) Observa-se que o módulo do produto vetorial A×B corresponde ao valor da área do paralelogramo formado pelos vetores A e B. Deste modo, é possível representar a área de uma superfície por meio de um vetor, perpendicular a esta superfície, cujo módulo corresponde numericamente à área da superfície. 1.6 Campos Matematicamente, um campo é definido como uma função de um conjunto de variáveis em um determinado espaço. Esta função representa uma grandeza qualquer (escalar ou vetorial) em uma porção do espaço. 1.6.1 - Campo escalar Diz-se que em uma determinada região do espaço existe um campo escalar se, para cada ponto desta região é atribuído uma grandeza escalar. Tome como exemplo função f(x,y,z) escrita como sendo: 2 2 2 5z y x ,y z) f ( ,x + + = (1.35) Na equação 1.35, verifica-se que para cada ponto P(x,y,z) do espaço, é atribuído um valor para a função escalar f(x,y,z). Então, f(x,y,z) descreve um campo escalar. A função f(x,y,z) pode, por exemplo, descrever a temperatura em cada ponto P(x,y,z) do espaço. Assim, a cada ponto P(x,y,z) é atribuído uma temperatura cujo valor é função da localização deste ponto. No exemplo descrito na equação 1.35, diz-se que o campo é Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 12 estático, pois ele não depende do tempo. Caso a temperatura em cada ponto do espaço varie também em função do tempo, teríamos um campo escalar variável no tempo. 1.6.2 - Campo vetorial Outro tipo de campo é o campo vetorial. Diz-se que uma região do espaço possui um campo vetorial se a cada ponto desta região é atribuído uma grandeza vetorial. Tome como exemplo a função vetorial descrita pela equação 1.36. z y x â â â F ,y z) A ( ,x ,y z) A ( ,x ,y z) A ( ,x ,y z) ,x ( z y x + + = (1.36) A equação 1.36 mostra que a cada ponto P(x,y,z) é atribuído um vetor F(x,y,z) cujas componentes são funções da posição do ponto P(x,y,z). Verifica-se que a cada ponto do espaço é atribuído um vetor descrito pela função vetorial F(x,y,z). Portanto, F(x,y,z) descreve um campo vetorial. 1.7 Sistemas de coordenadas Um sistema de coordenadas é um conjunto de eixos utilizado para representar comprimentos, superfícies e volumes. Dentre os diversos sistemas de coordenadas existentes os mais utilizados são os sistemas de coordenadas ortogonais, sistemas estes cujos eixos são perpendiculares uns em relação aos demais. Como exemplo de sistemas de coordenadas ortogonais cita-se o sistema de coordenadas cartesianas, o sistema de coordenadas cilíndricas e o sistema de coordenadas esféricas. A escolha do sistema de coordenadas a ser utilizado depende da natureza do que deve ser representado. Assim, intuitivamente, percebe-se que um cubo é mais fácil de ser representado em um sistema de coordenadas cartesianas, enquanto que uma esfera pode ser descrita com maior facilidade em um sistema de coordenadas esféricas. 1.7.1 - Sistema de coordenadas cartesianas O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de três eixos (x,y,z) perpendiculares entre sí, conforme mostra a Figura 1.11. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 13 Fig. 1.11 - Sistema de coordenadas cartesianas Um ponto P(xp, yp, zp) é localizado, no sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura 1.12. Fig. 1.12 – Localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas 1.7.2 - Sistema de coordenadas cilíndricas A Figura 1.13 mostra um ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cartesianas. Nesta figura o ponto P é definido em função de suas coordenadas x, y e z. Este ponto também pode ser definido em função do raio ρ, do ângulo φ, definidos no plano z = 0, e da altura z (conforme mostra a Fig. 1.14). Neste caso, diz-se que o ponto está localizado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares (ou, simplesmente, sistema de coordenadas cilíndricas). Fig. 1.13 - Ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cartesianas x y z x y z xp yp zp P(xp, yp ,zp) x y z x y z P(x, y ,z) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 14 Fig. 1.14 - Ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cilíndricas Na Figura 1.14 o ângulo φ é definido a partir do eixo x, no sentido anti-horário. Observando a Figura 1.14, verifica-se que a componente z do ponto P é a mesma nos dois sistemas de coordenadas. As demais coordenadas do ponto P, expressas nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas, obedecem as seguintes relações: φ =ρ cos x (1.37) φ =ρ sen y (1.38) 2 2 x +y ρ= (1.39) Utilizando as equações 1.37-1.39, é possível converter uma função escalar, inicialmente definida no sistema de coordenadas cartesianas, para o sistema de coordenadas cilíndricas. O contrário também é verdadeiro ou seja, uma função escalar, definida no sistema de coordenadas cilíndricas, pode ser convertida para o sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo 1.5 – Considere que em uma determinada região do espaço a temperatura em um ponto genérico P(x,y,z) pode ser expresso por T(x,y,z) = 240 + z2 - 2xy. Expresse a temperatura desta região no sistema de coordenadas cilíndricas. Solução: Observe que a função T(x,y,z) é um campo escalar, pois a cada ponto de uma determinada região do espaço ela atribui uma temperatura (que é uma grandeza escalar). Substituindo as equações 1.37 e 1.38 na função T(x,y,z) obtém-se a temperatura em cada ponto do espaço, sendo estes pontos definidos no sistema de coordenadas cilíndricas. Têm-se então: x y z x y z P(ρ, φ ,z) ρ φ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 15 φ φ − ρ + = ρ φ sen cos 2 z 240 T( , ,z) 2 2 (1.40) A equação 1.40 pode ser escrita como sendo: sen(2 ) z 240 T( , , )z 2 2 φ − ρ + = ρ φ (1.41) A equação 1.41 expressa o campo de temperaturas no sistema de coordenadas cilíndricas. Exemplo 1.6 – Considere um sólido, cujos pontos são definidos no sistema de coordenadas cilíndricas. Sabendo que cada ponto deste sólido possui uma densidade que varia em função da posição deste ponto, e que esta densidade é expressa por D(ρ,φ,z) = e-z.z(2 +ρ3cos2φ) determine a densidade do corpo no ponto P(-2, -5, 1) do sistema de coordenadas cartesianas. Solução: Inicialmente o ponto P(-2,-5,1) deve ser convertido para coordenadas cilíndricas. O raio ρ é obtido a partir da equação 1.39. Substituindo as coordenadas x e y do ponto P na equação 1.39 obtêm-se: ρ = ,5 3852 (1.42) Para obter o ângulo φ é necessário, inicialmente, verificar em qual quadrante ele se encontra. Para isto represente o ponto P(-2,-5,1) no plano xy. A coordenada z será desconsiderada pelo fato de ela não influenciar no valor de φ. A Figura 1.15 mostra o ponto (-2,-5) no sistema de coordenadas cartesianas. Fig. 1.15 - Localização do ângulo φ no plano xy Da Figura 1.15 obtém-se: x y -2 ρ φ -5 θ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 16 ,0 3805 rads 5 2 tang ⇔ θ = θ = (1.43) O ângulo φ é escrito como sendo: ,0 3714 cos ,4 3319 rads 2 3 φ=− ⇔ ⇔ φ = π −θ φ= (1.44) Uma vez obtidos os valores de ρ, z e cosφ, substitui-se estes valores na função que expressa a densidade do corpo, obtendo-se o seguinte valor: ,8 66 )1 ,4 3319 ,z ,5 3852, D( = = φ = ρ = (1.45) Observe, nos exemplo 1.5 e 1.6, que para um determinado ponto P, o campo escalar possui o mesmo valor, independentemente do sistema de coordenadas no qual o campo está representado. 1.7.3 - Sistema de coordenadas esféricas No sistema de coordenadas cartesianas um ponto é definido pelo raio r e pelos ângulos θ e φ, conforme mostra a Figura 1.16. Fig. 1.16 - Localização de um ponto no sistema de coordenadas esféricas Observando a Figura 1.16 é possível relacionar as coordenadas cartesianas x, y e z com as coordenadas esféricas r, θ e φ. Deste modo, é possível escrever: x y z φ r z P(r, θ, φ) θ x y Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 17 φ θ = r sen cos x (1.46) φ θ = r sen sen y (1.47) = cosθ r z (1.48) Também são válidas as seguintes relações: 0 r; z y x r r 2 2 2 ≥ + + = (1.49) ≤ θ≤π + + θ = ;0 z y x z arccos 2 2 2 (1.50) x φ =arctg y (1.51) 1.8 Vetores no sistema de coordenadas cilíndricas Um vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, é escrito como combinação linear dos vetores unitários âρ, âφφφφ e âz mostrados na Figura 1.17. Fig. 1.17 - vetores unitários no sistema de coordenadas cilíndricas Um vetor A(ρ,φ,z), em coordenadas cilíndricas, é escrito como sendo: âz â â A z, ) A ( , A ( , ,z) A ( , ,z) , ,z) ( z ρ φ + ρ φ + ρ φ = ρ φ φ φ ρ ρ (1.52) Na equação 1.52 Aρ( ρ,φ,z ), Aφ( ρ,φ,z ) e Az( ρ,φ,z ) são as componentes do vetor A(ρ,φ,z) nas direções âρ, âφφφφ e âz e tais componentes são, de maneira genérica, funções escalares de ρ,φ e z. y z x y z P(ρ, φ ,z) ρ φ âρ âφφφφ âz P’ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 18 Observe, na Figura 1.17, que o vetor unitário âρ em qualquer ponto P(ρ,φ,z) está dirigido radialmente para fora. O vetor unitário âφφφφ é tangente, no ponto P(ρ,φ,z), ao cilindro de raio ρ. O vetor âφφφφ aponta na direção crescente de φ e o vetor unitário âZ aponta na direção do eixo z. O vetor unitário âρ aponta sempre na direção radial para fora. O mesmo ocorre com o vetor unitário âz que aponta sempre na direção do eixo z. No entanto, verifica-se que a direção em que aponta o vetor unitário âφφφφ depende do ponto em que foi definida a base vetorial. Portanto, para definir um vetor no sistema de coordenadas cilíndricas é necessário especificar o ponto em que o vetor será definido. Como exemplo, considere os pontos P1(ρ1, φ1 = π/2, z1) e P2(ρ2, φ2 = 0, z2) na Figura 1.18. É possível construir as bases definidas pelos vetores unitários âρ, âφφφφ e âz nestes dois pontos e em seguida verificar como elas se comportam. Fig. 1.18 - Base vetorial no sistema de coordenadas cilíndricas definida em pontos distintos Verifica-se na Fig. 1.18 que o vetor unitário âρ aponta sempre na direção radial para fora (tanto para ρ = ρ1 , em P1, quanto para ρ = ρ2 em P2). O mesmo ocorre com o vetor unitário âz que nos pontos P1 e P2 aponta sempre na direção do eixo z. No entanto, verifica-se que a direção em que aponta o vetor unitário âφφφφ depende do ponto (P1 ou P2) em que foi definida a base vetorial. 1.9 Vetores no sistema de coordenadas esféricas Considere os vetores unitários âr, âθ e âφφφφ, perpendiculares entre si, definidos em um ponto P(r,θ,φ) do sistema de coordenadas esféricas, conforme mostra a Figura 1.19. y z z1 P2 ρ1 âρ âφφφφ âz x âz âφφφφ âρ P1 z2 ρ2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 19 Fig. 1.19 - vetores unitários no sistema de coordenadas esféricas O vetor unitário âr aponta, para fora, na direção do raio r enquanto que o vetor unitário âφφφφ é tangente, no ponto P(r,θ,φ), ao cilindro de raio ρ. O vetor âθ é tangente, no ponto P(r,θ,φ), à esfera de raio r cujo centro está na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os vetores âθ e âφφφφ apontam na direção crescente dos ângulos θ e φ, respectivamente. Um vetor A(r,θ, φ), em coordenadas esféricas, é escrito como sendo: φ φ θ θ θ φ + θ φ + θ φ θ φ = â â â A , ) ,r( A , ) ,r( A , ) ,r( A , ) ,r( r r (1.53) Na equação 1.53 Ar(r,θ, φ),Aθ( r,θ, φ) e Aφ(r,θ, φ) são as componentes do vetor A(r,θ, φ) nas direções âr, âθ e âφφφφ. Considerando os pontos P1(r1,θ1,φ1) e P2(r2,θ2 = π/2,φ2) é possível construir as bases definidas pelos vetores unitários âr, âθ e âφφφφ nestes dois pontos e em seguida verificar como elas se comportam. A Figura 1.20 mostra as bases definidas pelos vetores unitários âr, âθ e âφφφφ nos pontos P1 e P2. Observando a Figura 1.20, verifica-se que o vetor âr aponta sempre na direção do raio r, para fora, independentemente do ponto onde os vetores unitários âr, âθ e âφφφφ são construídos. Quanto aos vetores âθ e âφφφφ verifica-se que são tangentes aos ângulos θ e φ, respectivamente, sendo que suas direções dependem do ponto onde a base vetorial é construída. x y z φ r P θ âr âθ âφφφφ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 20 Fig. 1.20 - Base vetorial no sistema de coordenadas esféricas definida em pontos distintos 1.10 Mudança de sistemas de coordenadas de grandezas vetoriais No item 1.7 verificou-se que as coordenadas que definem um ponto, ou as componentes que definem uma função escalar, podem ser localizado em diversos sistemas de coordenadas sendo que nesta apostila foram mostrados os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Foi mostrado também que é possível converter as coordenadas de um ponto (ou de uma função escalar) inicialmente definido em um sistema de coordenadas, para outro sistema de coordenadas. As equações 1.37- 1.39 mostram o processo de conversão entre os sistemas de coordenadas cartesianas para cilíndricas (e vice-versa) enquanto que as equações 1.46-1.51 mostram o processo de conversão do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas esféricas (e vice-versa). Neste item será mostrado o procedimento para trocar o sistema de coordenadas de uma grandeza vetorial. 1.10.1 - Mudança entre os sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas Considere a base vetorial âx, ây e âz que descreve vetores no sistema de coordenadas cartesianas e a base vetorial âρ, âφφφφ e âz que descreve vetores no sistema de coordenadas cilíndricas. Estas duas bases são mostradas na Figura 1.21. x y z φ1 r1 P1 θ1 âr âθ âφφφφ âr âφφφφ âθ r2 φ2 P2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 21 No sistema de coordenadas cartesianas, uma função vetorial A(x,y,z) genérica pode ser escrita como sendo: z y x â â â A zcart y x A A A ,y z) ( ,x + + = (1.54) Na equação 1.54 Ax, Ay e Azcart são funções escalares de x,y e z. Fig. 1.21 - Bases vetoriais nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas A função vetorial mostrada na equação 1.54 pode ser escrita no sistema de coordenadas cilíndricas como sendo: âz â â A Azcil A A ( , , )z + + = ρ φ φ φ ρ ρ (1.55) As componentes da função A(ρ,φ,z) podem ser obtidas a partir da projeção da função A(x,y,z) nas direções dos vetores unitários âρ, âφφφφ e âz que constituem a base no sistema de coordenadas cilíndricas. Então, as componentes Aρ, Aφ e Azcil são escritas como sendo: ρ ρ = .â A )z (x, ,y A (1.56) φ φ = .â A (x, ,y z) A (1.57) zcart zcil )z (x, ,y A . â =A (1.58) Substituindo a equação 1.54 nas equações 1.56-1.58 obtém-se as componente de A(ρ,φ,z), ou seja: y x z âx ây âz âz âρ âφφφφ z ρ φ ρ cosφ ρ senφ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 22 ρ ρ + + = .â â â â z y x ) A A (A A zcart y x (1.59) φ φ + + = .â â â â z y x ) A A (A A zcart y x (1.60) z zcart y x zcil ) A A (A A .â â â â z y x + + = (1.61) Desenvolvendo as equações 1.59-1.61 obtém-se: ρ ρ ρ ρ + + = â .â â .â .â â z y x zcart y x A A A A (1.62) φ φ φ φ + + = â .â â .â .â â z y x zcart y x A A A A (1.63) z zcart z y z x zcil A A A A â .â â .â .â â z y x + + = (1.64) Sabendo que os vetores unitários âρ, âφφφφ e âz são perpendiculares, conclui-se que os produtos escalares âz.âρ, âz.âφφφφ, âx.âz e ây.âz são nulos. Quanto ao produto escalar âz.âz , sabe-se que é unitário. Deste modo, as equações 1.62 a 1.64 tornam-se: ρ ρ ρ + = â .â .â â y x y x A A A (1.65) φ φ φ + = â .â .â â y x y x A A A (1.66) zcart zcil A A = (1.67) A maneira de se interpretar a equação 1.67 é que as componentes, na direção de âz, das funções vetoriais A(x,y,z) e A(ρ,φ,z) são iguais. Para obter os demais produtos escalares mostrados nas equações 1.65 e 1.66, considere o plano xy mostrado na Figura 1.22. Fig. 1.22 - Vetores unitários âx, ây, âρ e âφφφφ no plano xy x âx ây y φ âρ âφφφφ φ φ 90 - φ ρ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 23 Observando a Figura 1.22 verifica-se que os produtos escalares âx.âρ, ây.âρ, âx.âφφφφ e ây.âφφφφ são escritos como sendo: φ = ρ ρ â cos â .â â x x (1.68) ) cos(90 − φ = ρ ρ â â .â â y y (1.69) ) cos(90 + φ = φ φ â â .â â x x (1.70) φ = φ φ â â cos .â â y y (1.71) Uma vez que os vetores são unitários, as equações 1.68-1.71 tornam-se: φ ρ = cos âx .â (1.72) ) cos(90 − φ ây .âρ = (1.73) ) cos(90 + φ âx .âφ = (1.74) φ φ = cos ây .â (1.75) Sabendo que cos(90-φ) e cos(90+φ) correspondem a senφ e a -senφ, respectivamente, as equações 1.72-1.75 resultam em: φ ρ = cos âx .â (1.76) φ ρ = sen ây .â (1.77) φ − φ = sen âx â. (1.78) φ φ = cos ây .â (1.79) Substituindo as equações (1.76) - (1.79) nas equações (1.65) - (1.67), obtém-se as seguintes relações entre as componentes das funções vetoriais A(x,y,z) e A(ρ,φ,z): zcart y x 0A A sen A cos A φ + φ + ρ = (1.80) zcart y x 0A A cos A sen A φ + φ + φ = − (1.81) zcart y x zcil A 0A 0A A + + = (1.82) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 24 As equações 1.80 - 1.82 podem ser escritas na forma matricial como sendo:                     φ φ − φ φ =           φ ρ zcart x x zcil A A A 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos A A A (1.83) A equação 1.83 permite converter um vetor descrito nas coordenadas cartesianas em um vetor descrito no sistema de coordenadas cilíndricas. Para converter um vetor do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano de coordenadas, basta inverter a equação 1.83 obtendo-se a seguinte relação:                     φ φ φ − φ =           φ ρ zcil zcart y x A A A 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos A A A (1.84) Observe, nas equações 1.83 e 1.84, que o ângulo ϕ está relacionado ao ponto onde foi (ou será) definido o vetor A no sistema de coordenadas cilíndricas conforme mostra a Figura 1.23. Fig. 1.23 - Vetores unitários âρ ,âφφφφ e âz no ponto P(ρ,φ,z) Devemos imaginar que o vetor A está representado no sistema de coordenadas cilíndricas no ponto P(ρ,φ,z) e que este vetor deve ser projetado nas direções dos y x âx ây âz âz âρ âφφφφ z ρ φ x = ρ cosφ ρ senφ P(ρ,φ,z) ρ Ponto onde está definido o vetor A no sistema de coordenadas cilíndricas Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 25 vetores âx, ây e âz que constituem a base do sistema de coordenadas cartesianas. A projeção se dá por meio da aplicação da equação 1.84. A Figura 1.24 mostra o vetor A nos sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas. (a) (b) Fig. 1.24 - Vetor A representado nos sistemas cilíndricos (a) e cartesiano (b) de coordenadas Exemplo 1.7 – Sabe-se que o vetor A, no ponto P(ρ=5; φ=0,9273; z=7), é escrito como A = 2âρ + 3 âφφφφ - âz , determine este vetor no sistema de coordenadas cartesianas. Solução: A Figura 1.25 mostra os vetores unitários que constituem as bases dos sistemas cartesianos e cilíndricos. Fig. 1.25 - Vetores unitários âρ ,âφφφφ e âz no ponto P(ρ=5; φ=0,9273; z=7) Uma vez que o ponto P, em que está localizado o vetor A no sistema de coordenadas cilíndricas, é conhecido, é possível obter valores para cosφ e para senφ. Neste caso específico, onde φ=0,9273, obtém-se: 5 4 sen ; 5 3 cos φ = φ = (1.85) âx ây âz âz âρ âφφφφ P(ρ,φ,z) A A P(ρ,φ,z) y x z âx ây âz âz âρ âφφφφ z = 7 ρ = 5 φ=0,9273 ρ cosφ ρ senφ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 26 As componentes do vetor A em coordenadas cilíndricas foram fornecidas e valem: 1 A ; 3 A ; 2 A zcil =− = + = φ ρ (1.86) Substituindo as componentes Aρ, Aφ e Azcil , bem como os valores de senφ e cosφ na equação 1.84 obtém-se:           −                 − =           1 3 2 1 0 0 0 5 3 5 4 0 5 4 5 3 A A A zcart y x (1.87) Desenvolvendo a equação 1.87: 5 12 5 6 Ax − = (1.88) 5 9 5 8 Ay + = (1.89) 1 Azcart = − (1.90) Então, o vetor A no sistema cartesiano de coordenadas será escrito como sendo: z y x â â â A − + = − 5 17 5 6 (1.91) Observe que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema de coordenadas cartesianas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, está localizado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado. Exemplo 1.8 – Converta o vetor A = 2âx - 5ây + 3âz para o sistema de coordenadas cilíndricas no ponto P(-2, 3, 1). Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 27 Solução: Incialmente é necessário definir o ângulo φ, relacionado com o ponto onde está definido o vetor A no sistema de coordenadas cilíndricas (este ângulo φ definirá a matriz de transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas). Para obter φ, coloque o ponto P(-2, 3, 1) no plano xy, conforme mostra a Figura 1.26. Fig. 1.26 - Ponto P(-2,3,1) no plano xy A partir da Figura 1.26 conclui-se φ está localizado no segundo quadrante do plano xy. Desta Figura obtém-se: 13 3 2 2 2 => ρ = + ρ = (1.92) 13 2 cos 13 2 cos 13 2 ) cos( φ=− => φ= => − π− φ = (1.93) 13 3 sen 13 3 sen 13 3 ) sen( φ= => φ= => π − φ = (1.94) Observe que o valor de cosϕ é negativo. Isto era esperado, pelo fato de ϕ estar no segundo quadrante. As componentes do vetor A em coordenadas cartesianas foram fornecidas e valem: 3 A ; 5 A ; 2 A zcart y x = = − = (1.95) Substituindo as componentes Ax, Ay e Azcart , bem como os valores de senφ e cosφ na equação 1.83 obtêm-se: y x ρ φ P(-2,3) -2 3 π-φ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 28           −                 − − − =           φ ρ 3 5 2 1 0 0 0 13 2 13 3 0 13 3 13 2 A A A zcil (1.96) Desenvolvendo a equação 1.96: 13 15 13 4 A − ρ = − (1.97) 13 10 13 6 A + φ = − (1.98) 3 Azcil = (1.99) Então, o vetor A no sistema de coordenadas cilíndricas será escrito como sendo: âz â â A 3 13 4 13 19 + + = − φ ρ (1.100) Observe que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas cilíndricas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, está localizado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado. 1.10.2 - Mudança entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas Considere a base vetorial âx, ây e âz que descreve vetores no sistema de coordenadas cartesianas e a base vetorial âr, âθ e âφφφφ que descreve vetores no sistema de coordenadas esféricas. Estas duas bases são mostradas na Figura 1.27. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 29 Fig. 1.27 - Bases vetoriais nos sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas No sistema de coordenadas cartesianas, uma função vetorial A(x,y,z) genérica pode ser escrita como sendo: z y x â â â A z y x A A A ,y z) ( ,x + + = (1.101) Na equação 1.101 Ax, Ay e Azcart são funções escalares de x,y e z. No sistema de coordenadas esféricas, a função vetorial A(x,y,z), descrita na equação 1.101, é uma função vetorial A(r,θ,φ) escrita na forma: φ φ θ θ + + θ φ = â â â A r A A A , ) ,r( r (1.102) As componentes da função A(r,θ,φ) podem ser obtidas a partir da projeção da função A(x,y,z) nas direções dos vetores unitários âr, âθ e âφφφφ que que constituem a base do sistema de coordenadas esféricas. Então as componentes Ar, Aθ e Aφ são escritas como sendo: r r )z (x, ,y A . â =A (1.103) θ θ = .â A (x, ,y z) A (1.104) φ φ = .â A (x, ,y z) A (1.105) Substituindo a equação 1.102 nas equações 1.103-1.104 obtém-se as componente de A(r,θ, φ), ou seja: x y z φ r θ âθ âx âr âφφφφ ây âz Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 30 r z y x r ) A A (A A .â â â â z y x + + = (1.106) θ θ + + = â. â â â z y x ) A A (A A z y x (1.107) φ φ + + = .â â â â z y x ) A A (A A z y x (1.108) Desenvolvendo as equações 1.106-1.108 obtém-se: r z r y r x r A A A A â .â â .â .â â z y x + + = (1.109) θ θ θ θ + + = â .â â .â .â â z y x z y x A A A A (1.110) φ φ φ φ + + = â .â â .â .â â z y x z y x A A A A (1.111) É possível mostrar que o desenvolvimento dos produtos escalares mostrados nas equações 1.109 a 1.111 resulta em: θ φ + θ φ + θ = A cos A sen sen A sen cos A z y x r (1.112) θ φ − θ φ + θ θ = A sen A cos sen A cos cos A z y x (1.113) A 0 A cos A sen A z y x φ + φ + φ =− (1.114) Na forma matricial as equações 1.112-1.114 tornam-se:                     φ φ − θ − φ θ φ θ θ φ θ φ θ =           φ θ z x x r A A A 0 cos sen sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen A A A (1.115) A equação 1.115 permite converter um vetor descrito nas coordenadas cartesianas em um vetor descrito no sistema de coordenadas esféricas. Para converter um vetor do sistema esférico para o sistema cartesiano de coordenadas, deve-se inverter a equação 1.115 obtendo assim a seguinte relação:                     θ − θ φ φ θ φ θ φ − φ θ φ θ =           φ θ A A A 0 sen cos cos sen cos sen sen sen cos cos cos sen A A A r z y x (1.116) Nas equações 1.115 e 1.116 θ e ϕ estão relacionados ao ponto onde está definido o vetor A no sistema de coordenadas esféricas, conforme mostra a Figura 1.28. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 31 Fig. 1.28 - Vetores unitários âr ,âθ e âφφφφ no ponto P(r,θ,φ) Devemos imaginar que o vetor A está representado no sistema de coordenadas esféricas no ponto P(r,θ,φ) e que este vetor deve ser projetado nas direções dos vetores âx, ây e âz que constituem a base do sistema de coordenadas cartesianas. A projeção se dá por meio da aplicação da equação 1.116. A Figura 1.29 mostra o vetor A nos sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas. (a) (b) Fig. 1.29 - Vetor A representado nos sistemas esférico (a) e cartesiano (b) de coordenadas Exemplo 1.9 – Sabendo que no ponto P(r=5; θ=π/6, φ=π/3) o vetor A é definido como A = 2âr + 3âθ - âφφφφ determine este vetor no sistema de coordenadas cartesianas. Solução: A Figura 1.30 mostra os vetores unitários que constituem as bases dos sistemas cartesiano e esférico. P(r,θ,φ) âx ây âz âθ Âr âφφφφ P(r,θ,φ) A A x y z φ r θ âθ âx âr âφφφφ ây âz y x z Ponto onde está definido o vetor A no sistema de coordenadas esféricas Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 32 Fig. 1.30 - Vetores unitários âr ,âθ e âφφφφ no ponto P(r=5; θ=π/6, φ=π/3) Uma vez que o ponto P em que está localizado o vetor A no sistema de coordenadas esféricas é conhecido, é possível obter valores para senθ, cosθ, senφ e cosφ. Deste modo, no o ponto P, tem-se: r =5 (1.117) 2 3 sen ; 2 1 cos φ = φ = (1.118) 2 1 sen ; 2 3 cos θ = θ = (1.119) As componentes do vetor A em coordenadas esféricas foram fornecidas e valem: 1 A ; 3 A ; 2 A l r = − = + = φ θ (1.120) Substituindo os valores de senφ, cosφ, senθ, cosθ (mostrados nas equações 1.118 e 1.119) e as componentes Ar, Aθ e Aφ (mostradas na equação 1.120) na equação 1.116 obtém-se: P(r,θ,φ) θ=π/6 x y z φ=π/3 r = 5 âθ âx âr âφφφφ ây âz y x z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 33           −                   − − =           1 3 2 0 2 1 2 3 2 1 4 3 4 3 2 3 4 3 4 1 A A A z y x (1.121) Desenvolvendo a equação 1.121: 2 3 4 3 3 4 2 Ax + + = (1.122) 2 1 4 9 4 2 3 Ay − + = (1.123) 2 3 2 2 3 Az − = (1.124) Então, o vetor A no sistema cartesiano de coordenadas será escrito como sendo: z y x â â â A 2 3 3 2 4 7 3 2 4 2 5 3 − − + + + = (1.125) O exemplo 1.9 mostra que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cartesianas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas esféricas, está localizado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado. Exemplo 1.10 – Converta o vetor A = 2âx - 5ây + 3âz para o sistema de coordenadas esféricas no ponto P(-2, 3, 1). Solução: Incialmente o ponto P(-2, 3, 1), onde estará o vetor A, será convertido para o sistema de coordenadas esféricas de modo que seja possível especificar os ângulos θ e φ. Para encontrar o ângulo φ, definido no plano xy, considere tal plano e os pontos x = -2 e y =3, conforme mostra a Figura 1.30. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 34 Fig. 1.30 – Definição do ângulo φ para o ponto P(x=-2; y=3) A Figura 1.30 mostra que φ está localizado no segundo quadrante do plano xy. Desta Figura obtém-se: 13 3 2 2 2 => ρ = + ρ = (1.126) 13 2 cos 13 2 cos 13 2 ) cos( φ=− => φ= => − π − φ = (1.127) 13 3 sen 13 3 sen 13 3 ) sen( φ= => φ= => π − φ = (1.128) Para encontrar o ângulo θ, considere a Figura 1.31 onde é mostrado o ponto P(-2, 3, 1). Desta figura verifica-se que: 14 r z y x r 2 2 2 = => + + = (1.129) 14 1 cos r z cos θ = => θ = (1.130) A partir do valor de cosθ é possível obter senθ a partir da seguinte relação: 14 13 sen cos 1 sen 2 θ = θ => − θ = (1.131) y x ρ φ P(-2, 3, 1) -2 3 π-φ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 35 Fig. 1.30 – Definição do ângulo θ para o ponto P(x=-2; y=3;z=1) Uma vez que os valores do seno e do cosseno de θ e de φ são conhecidos, basta substituí-los, juntamente com os valores das componentes Ax, Ay e Az, na equação 1.126 e obter as componentes Ar, Aθ e Aφ .Fazendo as substituições obtém-se:           −                   − − − − = −           φ θ 3 5 2 0 13 2 13 3 14 13 182 3 182 2 14 1 14 3 14 2 A A Ar (1.132) Da equação 1.132 obtém-se: 14 16 Ar = − (1.133) 182 58 A θ = − (1.134) 13 4 A = φ (1.135) Então, o vetor A no sistema de coordenadas esféricas é escrito como sendo: P(x=-2; y=3; z=1) x y z r y=3 x=-2 z=1 ρ θ φ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 36 φ θ + − = − â â â A r 13 4 182 58 14 16 (1.136) Observe que o módulo de A é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que este vetor é representado. 1.11 Elementos diferenciais de volume, de superfície e de comprimento no sistema de coordenadas cartesianas 1.11.1 – Elemento diferencial de volume Um elemento diferencial de volume, no sistema de coordenadas cartesianas, é um paralelepípedo do tipo mostrado a Figura 1.31. Fig. 1.31 - Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cartesianas Na Figura 1.31 o elemento diferencial de volume dvol corresponde ao volume do paralelepípedo cujas arestas possuem comprimento dx, dy e dz. Então, o elemento diferencial de volume dvol é escrito como sendo: dvol =dxdydz (1.137) Exemplo 1.11 – Determine o volume do sólido definido por -1 ≤ x ≤ 2; 7 ≤ y ≤ 9 e 3 ≤ z ≤ 7. Solução: Verifica-se que o sólido do exemplo trata-se de um paralelepípedo reto cujos lados medem 3, 2 e 4. O volume deste sólido pode ser facilmente obtido multiplicando- se as dimensões dos três lados, resultando em um valor igual a 24. No entanto, o volume do sólido pode ser calculado a partir da integração do elemento diferencial de volume descrito na equação 1.137, ou seja: x y z dx dz dy Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 37 ∫∫∫ = volume dx dydz vol (1.138) A equação 1.138 pode ser escrita como sendo: ∫ ∫ ∫ − = 7 3 9 7 2 1 dx dy dz vol (1.139) Desenvolvendo a equação 1.139 obtém-se um valor correspondente a 24, que é o mesmo valor obtido anteriormente. 1.11.2 – Elemento diferencial de superfície No elemento diferencial de volume mostrado na Figura 1.31 é possível definir seis elementos diferenciais de área na forma vetorial. A Figura 1.32 mostra cinco destes elementos. Fig. 1.32 - Elementos diferenciais de superfície no sistema de coordenadas cartesianas Os elementos diferenciais de superfície mostrados na Figura 1.32 são escritos como sendo: z 1 â ds =dxdy (1.140) z 2 z 2 â ds â ds dxdy ) dxdy ( = − ⇒ − = (1.141) y 3 â ds =dxdz (1.142) y 4 â ds =− dxdz (1.143) x 5 â ds =dydz (1.144) É possível definir também o elemento diferencial de área ds6, que não consta da Figura 1.32, como sendo: ds1 ds2 ds3 ds4 ds5 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 38 5 6 x 6 ds ds â ds = − ⇒ =− dydz (1.145) Exemplo 1.12 – Determine a área da superfície definida por 3 ≤ x ≤ 7 e -3 ≤ z ≤ 2. Solução: Verifica-se que a superfície definida anteriormente é a superfície de um retângulo cujos lados medem 4 e 5 e está localizado no plano y=0 (que corresponde ao plano zx. A área desta superfície pode ser obtido multiplicando se os valores dos dois lados da figura, resultando em um valor igual a 20. No entanto, a área da superfície será calculada partir da integração do elemento diferencial de superfície, ou seja: ∫∫ = sup erfície dx dz area (1.146) A partir da equação 1.146 obtém-se: ∫ ∫ − = 7 3 2 3 dz dx area (1.147) Desenvolvendo a equação 1.147 obtém-se um valor correspondente a 20, que é o mesmo valor obtido anteriormente. 1.11.3 – Elemento diferencial de comprimento Para definir um elemento diferencial de comprimento no sistema de coordenadas cartesianas, considere um segmento de reta de comprimento infinitesimal dL definido pelos pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) conforme mostra a Figura 1.33. Fig. 1.33 - Segmento de reta de comprimento infinitesimal x y z A B Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 39 Ao segmento de reta dL, mostrado na Figura 1.31, é possível associar um vetor dL com início no ponto A e término no ponto B, que será escrito como sendo: z y x â â â dL z ) (z y ) (y x ) (x A B A B A B − + − + − = (1.144) O diferencial de comprimento dL mostrado na equação (1.144) pode ser escrito na forma: z y x â â â dL dz dy dx + + = (1.145) Portanto conclui-se que um elemento diferencial de comprimento é um vetor cujas componentes são dx, dy e dz nas direções x,y e z, respectivamente, conforme mostra a Figura 1.34. Fig. 1.34 - Elemento diferencial de comprimento dL no sistema de coordenadas cartesianas 1.12 Elementos diferenciais de volume e de superfície no sistema de coordenadas cilíndricas 1.12.1 – Elemento diferencial de volume Para definir um elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cilíndricas, considere variações dρ, dφ e dz conforme mostra a Figura 1.35. Considerando que os elementos dρ, dφ e dz são infinitesimais o volume do sólido, mostrado na Figura 1.35, se aproximará do volume de um paralelepípedo. Assim quando os elementos dρ, dφ e dz tenderem a zero, o elemento diferencial de volume dvol será escrito como sendo: d d dz dvol =ρ φ ρ (1.146) x y z A B dxâx dyây dzâz dL Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 40 Fig. 1.35 – Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cilíndricas Exemplo 1.13 – Determine o volume do sólido definido por 0 ≤ ρ ≤ R0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π e 0 ≤ z ≤ h. Solução: Verifica-se que o sólido descrito no exemplo 1.13 corresponde à um cilindro de raio R0 e altura h. Integrando o elemento diferencial de volume na região em que o sólido está definido obtém-se o volume do sólido. Têm-se então: ∫∫∫ ρ φ ρ = volume d d dz vol (1.147) Desenvolvendo a equação 1.147: ∫ ∫ ∫ π φ ρ ρ = h 0 2 0 R 0 dz d d vol 0 (1.148) Da equação 1.148 obtém-se: ( ) ( R ) h vol 2 h 2 R 1 vol 2 0 0 2 = π ⇒ π = (1.149) A equação 1.149 é a clássica fórmula para cálculo do volume de um cilindro. 1.12.2 – Elemento diferencial de superfície Na Figura 1.35 é possível definir seis elementos diferenciais de superfície. No entanto, os elementos que merecem destaque são os elementos diferenciais de superfície ds1 e ds2, que são mostrados na Figura 1.36. x y z ρ dφ dρ dz Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 41 Fig. 1.36 – Elementos diferenciais de superfície no sistema de coordenadas cilíndricas Os elementos diferenciais de superfície mostrados na Figura 1.36 são escritos como sendo: ρ =ρ φ â ds1 d dz (1.150) z 2 z 2 â ds â ds = ρ ρ φ ⇒ =ρ φ ρ d d d d (1.151) Exemplo 1.14 – Calcule a área da superfície definida por 0 ≤ ρ ≤ R0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π e z = 0. Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde a um disco de raio R0 localizado no plano z =0. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: ∫∫ ρ ρ φ = sup erfície d d area (1.152) Da equação 1.152 obtém-se: ( ) ( 0 )2 2 0 2 0 R 0 R vol 2 2 R 1 vol d d vol 0 =π π ⇒ = φ ⇒ = ρ ρ ∫ ∫ π (1.153) A equação 1.153 corresponde à clássica fórmula para cálculo da área de um disco. Exemplo 1.15 – Calcule a área da superfície definida por ρ = R0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π e 0 ≤ z ≤ h. x y z ρ dφ dρ dz ds1 ds2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 42 Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde à superfície de um cilindro de raio R0 e altura h. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: d dz area erfície sup∫∫ ρ φ = (1.154) Da equação 1.154 obtém-se: 2 R h vol R 2 h vol dz d vol 0 0 h 0 2 0 = π ⇒ π = ⇒ φ =ρ ∫ ∫ π (1.155) A equação 1.155 corresponde à clássica fórmula para cálculo da área da superfície lateral de um cilindro. 1.13 Elementos diferenciais de volume e de superfície no sistema de coordenadas esféricas 1.13.1 – Elemento diferencial de volume Para definir um elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas esféricas, considere variações dr, dθ e dφ conforme mostra a Figura 1.37. Fig. 1.37 - Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas esféricas ds r senθ dφ r dθ dr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 43 Considerando que os elementos dr, dθ e dφ são infinitesimais o volume do sólido, mostrado na Figura 1.37, se aproximará do volume de um paralelepípedo. Assim quando os elementos dr, dθ e dφ tenderem a zero, o elemento diferencial de volume dvol será escrito como sendo: θ θ φ = ⇒ θ θ φ = r drsen d d dvol d )(dr ) r() r( sen d dvol 2 (1.156) Exemplo 1.16 – Determine o volume do sólido definido por 0 ≤ r ≤ R0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ π. Solução: Verifica-se que o sólido descrito anteriormente corresponde à uma esfera de raio R0. Integrando o elemento diferencial de volume na região em que o sólido está definido obtém-se o volume do sólido. Têm-se então: ∫∫∫ θ θ φ = volume 2 r drsen d d vol (1.157) Desenvolvendo a equação 1.157: ∫ ∫ ∫ π π θ θ φ = 0 2 0 R 0 2 sen d d r dr vol 0 (1.158) Da equação 1.158 obtém-se: ( ) ( 0 )3 0 3 R 3 4 vol 2 (2) 3 R 1 vol π = ⇒ π = (1.159) A equação 1.149 é a clássica fórmula para cálculo do volume de uma esfera. 1.13.2 – Elemento diferencial de superfície Considere, na Figura 1.37, o elemento diferencial de superfície ds. O vetor que representa esta superfície está na direção do vetor unitário âr e é escrita como sendo: r 2 r r sen d d r( sen d ) r( d ) â ds â ds θ θ φ = ⇒ θ θ φ = (1.160) Exemplo 1.17 – Calcule a área da superfície definida por r = R0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π e 0 ≤ θ ≤ π. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 44 Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde à superfície de uma esfera de raio R0. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: ∫∫ θ θ φ = erfície sup 2 r drsen d d area (1.161) Da equação 1.161 obtém-se: ( ) ( 0 )2 2 0 0 2 0 2 R 4 vol 2 (2) R vol sen d d r vol = π ⇒ π = θ θ ⇒ φ = ∫ ∫ π π (1.162) A equação 1.162 corresponde à clássica fórmula para cálculo da área da superfície de uma esfera. 1.14 Fluxo através de uma superfície (Integral de superfície) Considere uma tubulação com secção transversal S, por onde flui um fluído com uma velocidade constante v (v é o vetor velocidade) conforme mostra a Figura 1.38 Figura 1.38 - Fluído em uma tubulação Vamos marcar um determinado volume de fluído, conforme mostra a Figura 1.39. Figura 1.39 - Fluído com volume S∆x Considerando que o volume de fluído indicado na Figura 1.39 necessite de um intervalo de tempo ∆t para atravessar a área S da tubulação, é possível escrever o módulo da velocidade do fluído como sendo: v superfície com área S superfície com área S ∆x Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 45 t x ∆ v = ∆ (1.163) Durante o intervalo de tempo ∆t o volume do fluído que atravessa a área S é dado por: xS Vol = ∆ ∆ (1.164) Da equação 1.164 obtém-se: S Vol x ∆ = ∆ (1.165) Substituindo a equação 1.165 na equação 1.163, e fazendo as devidas operações, obtém-se: S t Vol ∆ = ∆ v (1.166) Sabe-se que o volume ∆Vol do fluído pode ser escrita em função de sua massa específica ρ como sendo: ρ = ∆ ∆ m Vol (1.167) Igualando as equações 1.166 e 1.167 e fazendo as devidas operações algébricas obtém-se: S t m = ρ v ∆ ∆ (1.168) Na equação 1.168 o termo ∆m/∆t representa a massa de fluido que atravessa a área S da tubulação por unidade de tempo e é denominado fluxo. Denominando o fluxo de fluído como sendo ω, a equação 1.168 torna-se: ω = ρ v S 1.169 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 46 A equação 1.169 mostra o fluxo obtido quando se considera que a velocidade do fluído é constante e que a área S é perpendicular à velocidade do fluído. Considere agora que a velocidade do fluído é constante, mas não é perpendicular à área da saída do tubo. A Figura 1.40 ilustra esta situação. Figura 1.40 - Tubo com saída inclinada Na Figura 1.40 ân é um vetor unitário perpendicular à superfície S1. Representando a Figura 1.40 em duas dimensões, obtém-se a Figura 1.41. Figura 1.41 - Vista bidimensional do tubo com saída inclinada Observe, na Figura 1.44, que S1 é maior que S. No entanto, o fluxo que atravessa as duas superfícies é o mesmo. De acordo com a equação 1.169, o fluxo que atravessa a superfície S é dado por: ω = ρ v S (1.170) Da Figura 1.41 é possível verificar que a área S é a projeção da área S1. Deste modo, é possível escrever: θ = S cos S 1 (1.171) Substituindo a equação 1.171 na equação 1.170 obtém-se: θ ω = ρ v S1 cos (1.172) v superfície com área S1 ân Secção transversal com área S v θ v superfície com área S1 ân Secção transversal com área S v θ θ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 47 Na forma vetorial a equação 1.172 torna-se um produto escalar, ou seja: ) S ( 1 ân ω = ρ v⋅ (1.173) Na equação 1.173 o vetor S1ân corresponde à área S1 escrita na forma de um vetor, que pode ser denominado vetor S1. Deste modo, verifica-se que o fluxo que atravessa a superfície S1 é obtido a partir do produto escalar entre a velocidade do fluxo e a área da secção que o fluxo atravessa. Na Figura 1.40 foi considerado que a velocidade do fluído através de uma secção transversal da tubulação era constante. Vamos considerar agora que o fluído possui uma velocidade variável quando atravessa uma secção irregular da tubulação, conforma mostra a Figura 1.42. Figura 1.42 - Fluído com perfil de velocidade não uniforme Uma vez que a velocidade do fluído não é constante em toda a superfície S1, não é possível utilizar a equação 1.173 para calcular o fluxo através desta superfície. No entanto, é possível considerar uma pequena superfície ∆si em que a velocidade é constante e possui um valor vi conforme mostra a Figura 1.43. Figura 1.43 - Velocidade do fluído na superfície ∆si Na Figura 1.43 âni é um vetor unitário que é perpendicular à superfície ∆si. Considerando que a superfície S, na Figura 1.43, foi dividida em n pequenas superfícies com área ∆si, em que as velocidades do fluído podem ser consideradas v superfície com área S v ∆si θi vi âni S Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 48 constantes, é possível aplicar a equação 1.173 para obter o fluxo através de cada uma das superfícies ∆si. Assim pode-se dizer que o fluxo através da superfície S pode ser escrito, de maneira aproximada, como sendo: ∑ = ⋅ ∆ ρ ≅ ω n i 1 i ) s ( ni i â v (1.174) Fazendo ∆si tender a zero na Figura 1.43, a equação 1.174 torna-se: ∑ ∞ = ⋅ ∆ ρ = ω i 1 i ) s ( ni i â v (1.175) A equação (1.175) pode ser escrita como sendo: ∫ ρ ⋅ ω = S ) (ds ân v (1.176) O vetor dsi ân pode ser escrito como ds. Neste caso, o vetor ds representa um vetor que é perpendicular à superfície S em todos os pontos desta superfície. Deste modo a equação (1.176) torna-se: ∫ ρ ⋅ ω = S d ) v ( s (1.177) A integral mostrada na equação 1.177 é denominada Integral de Superfície e, conforme demonstrado, representa o fluxo do vetor ρv através de uma superfície genérica S. Substituindo o vetor ρv por um campo vetorial genérico A, é possível calcular o fluxo deste vetor através de uma superfície S por meio da seguinte integral de superfície: ∫ ⋅ ω = S d ) A ( s (1.178) Se S for uma superfície fechada, a equação (1.178) torna-se: ∫ ⋅ ω = S d ) A ( s (1.179) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 49 A equação (1.179) representa o fluxo de A através da superfície fechada S. Considere agora uma superfície fechada S imersa em um campo vetorial A, conforme mostra a Figura 1.44. Figura 1.44 - Superfície fechada S imersa em um campo vetorial A Considerando a superfície fechada S e o campo vetorial A mostrados na Figura 1.44, existem 3 possíveis condições para o campo vetorial e a superfície que são: a) Não existem fontes ou sorvedouros para o campo vetorial A no interior de S Neste caso o fluxo que entra e o fluxo que sai da superfície fechada S são iguais, conforme mostra a Figura 1.45. Figura 1.45 – Superfície fechada sem fontes ou sorvedouros de fluxo Observe na Figura 1.45 que a quantidade de linhas do campo A que entram na superfície S é igual à quantidade de linhas que saem fazendo com que o fluxo resultante seja nulo, ou seja: 0 (d ) S = ⋅ ∫ s A (1.180) b) Existem fontes do campo vetorial A no interior de S Neste caso a quantidade de linhas de fluxo que saem é maior que a quantidade que entra, conforme mostra a Figura 1.46. S A S A Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 50 Figura 1.46 - Superfície fechada com fontes de fluxo É possível verificar na Figura 1.46 que a quantidade de linhas do campo A que entra na superfície S é menor que a quantidade de linhas que saem fazendo com que o fluxo resultante seja maior que zero, ou seja: 0 (d ) S > ⋅ ∫ s A (1.181) Quando o fluxo através de uma superfície fechada é maior que zero, diz-se que há fontes do campo no interior da superfície. c) Existem sorvedouros do campo vetorial A no interior de S Quando há sorvedouros de linhas de campo no interior de uma superfície fechada, a quantidade de linhas que saem é menor que a quantidade de linhas que entram conforme mostra a Figura 1.47. Figura 1.47 - Superfície fechada com fontes de fluxo É possível verificar na Figura 1.47 que a quantidade de linhas do campo A que entram na superfície S é maior que a quantidade de linhas que saem fazendo com que o fluxo resultante seja menor que zero, ou seja: S A S A Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 51 (d ) 0 S < ⋅ ∫ s A (1.182) Quando o fluxo através de uma superfície fechada é menor que zero, diz-se que há sorvedouros do campo no interior da superfície. Exemplo 1.18 - Considere o campo vetorial A = 5âx - 3ây + 2âz. Determine o fluxo que atravessa a superfície do paralelepípedo definido por 1≤ x ≤ 4, -3≤ y ≤ 2 e 2≤ z ≤ 7. Exemplo 1.19 - Considere o campo vetorial A = 5xâx – 3yây + 2zâz. Determine o fluxo que atravessa a superfície do paralelepípedo definido por 1 ≤ x ≤ 4, -3≤ y ≤ 2 e 2≤ z ≤ 7. Exemplo 1.20 - Considere o campo vetorial A = (R0/r2)âr. Determine o fluxo que atravessa a superfície esférica r = 2R0; 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π. Exemplo 1.21 - Considere o campo vetorial A = 3âρ + 2zâz. Determine o fluxo que atravessa a superfície cilíndrica 0 ≤ z ≤ 5, ρ = 5 e 0 ≤ ϕ ≤ 2π. 1.15 Divergente O divergente de um campo vetorial A é definido como sendo o fluxo de A através de uma superfície fechada S quando o volume desta superfície tende a zero, ou seja: vol (d ) lim . div S vol 0 ∆ ⋅ = =∇ ∫ → ∆ s A A A (1.183) Em outras palavras o divergente de um campo vetorial corresponde ao fluxo deste campo em um ponto (ponto é, por definição, uma superfície fechada cujo volume tende a zero). O divergente é uma grandeza escalar (fluxo por unidade de volume) e é útil para indicar se existem fontes ou sorvedouros de A em um ponto. Esta grandeza geralmente não é calculada diretamente a partir da definição mostrada na equação (1.183), mas sim a partir das componentes de A. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 52 Para obter o divergente de um vetor a partir de suas componentes, considere um campo vetorial A e um ponto P(x,y,z) no interior de uma superfícies fechada S, com volume ∆vol, no sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura 1.48. Figura 1.48 - Ponto P no interior de uma superfície fechada S Na Figura 1.49 é mostrada em detalhes a superfície fechada S da Figura 1.48. Figura 1.49 - Vértices da superfície fechada S Considerando que o ponto P(x,y,z) está localizado no centro da superfície fechada S, as coordenadas dos vértices desta superfície são escritas como sendo: 2 ) z 2 ,z y 2 , y x B(x − ∆ − ∆ + ∆ (1.184) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x C(x − ∆ + ∆ + ∆ (1.185) z x y A B C D E F G H I x y z Superfície fechada S com volume ∆vol Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 53 2 ) z 2 ,z y 2 , y x D(x + ∆ − ∆ + ∆ (1.186) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x E(x + ∆ + ∆ + ∆ (1.187) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x F(x + ∆ − ∆ − ∆ (1.188) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x G(x + ∆ + ∆ − ∆ (1.189) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x H(x − ∆ − ∆ − ∆ (1.190) 2 ) z 2 ,z y 2 , y x (I x − ∆ + ∆ − ∆ (1.191) A Figura 1.50 mostra as superfícies que constituem a superfície fechada S. Figura 1.50 - Superfícies que constituem a superfície fechada S As superfícies mostradas na Figura 1.50 podem ser representadas, na forma vetorial, como sendo: â s y 1 =∆x ∆z ∆ (1.192) â s z 2 = ∆x ∆y ∆ (1.193) â s x 3 = ∆y∆z ∆ (1.194) ) z( x y 4 â s − =∆ ∆ ∆ (1.195) ) y( x z 5 â s − =∆ ∆ ∆ (1.196) ) z ( y x 6 â s − =∆ ∆ ∆ (1.197) O campo vetorial A, no ponto P(x,y,z) é escrito como sendo: z y x â â â A ,y z) A ( ,x ,y z) A ( ,x ,y z) A ( ,x ,y z) ,x ( z y x + + = (1.198) x y z ∆s1 ∆s2 ∆s3 ∆s4 ∆s5 ∆s6 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 54 O fluxo que atravessa a superfície fechada S é escrito como sendo: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ 6 5 3 2 1 S S S4 S S S S ) (d ) d ( ) (d ) (d ) (d (d ) d ) ( 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 s A s A s A s A s A s A s A (1.199) Na equação 1.199 Ai é o vetor A na i-ésima superfície. Têm-se então: z y x 1 â â â A A 1z 1y 1x A A 2 ,z) A y ( ,x y + + = + ∆ = (1.200) z y x 2 â â â A A 2z 2y 2x A A A 2 ) z ( ,x y,z + + = + ∆ = (1.201) z y x 3 â â â A A 3z 3y 3x A A A 2 , y,z) x (x + + = + ∆ = (1.202) z y x 4 â â â A A 4z 4y 4x A A A 2 ,z) y ( ,x y + + = − ∆ = (1.203) z y x 5 â â â A A 5z 5y 5x A A A 2 ) z ( ,x y,z + + = − ∆ = (1.204) z y x 6 â â â A A 6z 6y 6x A A A 2 , y,z) x (x + + = − ∆ = (1.205) Para obter as parcelas que constituem a equação 1.199, será considerado que as superfícies mostradas na Figura 1.50 são pequenas o suficiente para que o vetor A seja considerado constante nestas superfícies. Assim, o fluxo que atravessa a superfície S1 é escrito como sendo: (d ) d ) ( S1 1 1 1 1 s A s A ⋅ ≈ ⋅ ∫ (1.206) Substituindo as equações 1.192 e 1.200 na equação 1.206, esta ultima torna-se: ) x z ( ) A A (A (d ) 1z 1y 1x S1 y z y x 1 1 â â â â s A ⋅ ∆ ∆ + + ≈ ⋅ ∫ (1.207) Desenvolvendo a equação (1.207) obtém-se: x z A (d ) 1y S1 ∆ ∆ ≈ ⋅ ∫ 1 1 s A (1.208) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 55 Utilizando o mesmo procedimento adotado para obter a equação 1.208, é possível mostrar que as demais parcelas que constituem a equação 1.199 são escritas como sendo: x y A ) (d 2z S2 ∆ ∆ ≈ ⋅ ∫ 2 2 s A (1.209) y z A ) (d 3x S3 ∆ ∆ ≈ ⋅ ∫ 3 3 s A (1.210) x z A ) (d 4y S4 ∆ ∆ ≈ − ⋅ ∫ 4 4 s A (1.211) x y A ) (d 5z S5 ∆ ∆ ≈ − ⋅ ∫ 5 5 s A (1.212) y z A ) (d 6x S6 ∆ ∆ ≈ − ⋅ ∫ 6 6 s A (1.213) Considerando que o volume da superfície fechada S é pequeno o suficiente de modo que o campo vetorial A(x,y,z), em cada uma das superfícies mostradas na Figura 1.50, possa ser aproximado pelos dois primeiros termos da série de Taylor, é possível escrever as componentes A1y, A2z, A3x, A4y, A5z e A6x como sendo: y ( ,x y,z) A 2 y A ( ,x y,z) 2 ,z) y A ( ,x y A y y y 1y ∂ + ∆ ∂ ≈ + ∆ = (1.214) z ( ,x y,z) A 2 z A ( ,x y,z) 2 ) z A ( ,x y,z A z z z 2z ∂ + ∆ ∂ ≈ + ∆ = (1.215) x ( ,x y,z) A 2 x A ( ,x y,z) 2 , y,z) x A (x A x x x 3x ∂ ∂ + ∆ ≈ + ∆ = (1.216) y ( ,x y,z) A 2 y A ( ,x y,z) 2 ,z) y A ( ,x y A y y y 4y ∂ − ∆ ∂ ≈ − ∆ = (1.217) z ( ,x y,z) A 2 z A ( ,x y,z) 2 ) z A ( ,x y,z A z z z 5z ∂ − ∆ ∂ ≈ − ∆ = (1.218) x ( ,x y,z) A 2 x A ( ,x y,z) 2 , y,z) x A (x A x x x 6x ∂ ∂ − ∆ ≈ − ∆ = (1.219) Substituindo as equações 1.214-1.219 nas equações 1.208-1.213 obtém-se: ) x z y ( ,x y,z) A 2 y (A ( ,x y,z) (d ) y y S1 ∆ ∆ ∂ + ∆ ∂ ≈ ⋅ ∫ 1 1 s A (1.220) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 56 y ) x z ( ,x y,z) A 2 z (A ( ,x y,z) ) (d z z S2 ∆ ∆ ∂ + ∆ ∂ ≈ ⋅ ∫ 2 2 s A (1.221) ) y z x A ( ,x y,z) 2 x (A ( ,x y,z) ) (d x x S3 ∆ ∆ ∂ ∂ + ∆ ≈ ⋅ ∫ 3 3 s A (1.222) ) x z y ( ,x y,z) A 2 y (A ( ,x y,z) ) (d y y S4 ∆ ∆ ∂ − ∆ ∂ ≈ − ⋅ ∫ 4 4 s A (1.223) ) x y z ( ,x y,z) A 2 z (A ( ,x y,z) ) (d z z S5 ∆ ∆ ∂ − ∆ ∂ ≈ − ⋅ ∫ 5 5 s A (1.224) ) y z x ( ,x y,z) A 2 x (A ( ,x y,z) ) (d x x S6 ∆ ∆ ∂ ∂ − ∆ ≈ − ⋅ ∫ 6 6 s A (1.225) Substituindo as equações 1.220-1.225 na equação 1.199 obtém-se o fluxo total através da superfície S ou seja: ) y z x ( ,x y,z) A 2 x (A ( ,x y,z) ) x y z ( ,x y,z) A 2 z A ( ,x y,z) ( ) x z y ( ,x y,z) A 2 y (A ( ,x y,z) ) y z x A ( ,x y,z) 2 x A ( ,x y,z) ( ) x y z A ( ,x y,z) 2 z (A ( ,x y,z) ) x z y ( ,x y,z) A 2 y (A ( ,x y,z) d ) ( x x z z y y x x z z y y S ∆ ∆ ∂ ∂ − ∆ ∆ ∆ − ∂ − ∆ ∂ − ∆ ∆ ∂ − ∆ ∂ ∆ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∆ ∆ + ∂ + ∆ ∂ ∆ ∆ + ∂ ∂ + ∆ ≈ ⋅ ∫ s A Desenvolvendo a equação 1.226 obtém-se:       ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ≈∆ ∆ ∆ ⋅ ∫ z )z, A ( ,x y y )z, ( ,x y A x A ( ,x y, )z x y z (d ) z y x S s A (1.227) Na equação 1.227 o termo ∆x∆y∆z corresponde ao volume ∆vol. Dividindo esta equação por ∆x∆y∆z obtém-se:       ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ≈ ∂ ∆ ⋅ ∫ z A ( ,x y,z) y ( ,x y,z) A x A ( ,x y,z) vol (d ) z y x S s A (66) Fazendo, na equação (66) o volume dvol tender a zero obtém-se:       ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∆ ⋅ ∫ → ∆ z A ( ,x y,z) y ( ,x y,z) A x A ( ,x y,z) vol (d ) lim z y x S 0 vol s A (1.228) (1.226) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 57 O lado esquerdo da equação 1.228 corresponde à definição do divergente do campo vetorial A no ponto P(x,y,z). Assim, o divergente de um campo vetorial A em um ponto P(x,y,z) é escrito como sendo: z A ( ,x y,z) y ( ,x y,z) A x A ( ,x y,z) . z y x ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∇ A (1.229) Nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas, o divergente é escrito como sendo: z A ( , ,z) A ( , ,z) 1 ( A ( , ,z)) 1 . z ∂ ρ φ + ∂ φ ∂ ρ φ ∂ + ρ ρ ∂ ρ φ ρ ∂ = ρ ∇ φ ρ A (1.230) ( ) φ ∂ θ φ ∂ θ + ∂θ θ θ φ ∂ θ + ∂ θ φ ∂ = ∇ φ θ , ) ,r( A rsen 1 , )sen ) ,r( (A rsen 1 r , ) ,r( r A r 1 . r 2 2 A (1.231) 1.16 Integral de linha Considere um corpo submetido à ação de uma força genérica F(x,y,z) que é, de maneira genérica, variável em função da posição no espaço. Este corpo move-se do ponto A até o ponto B seguindo o caminho mostrado na Figura 1.51. Figura 1.51 - Movimento do corpo no caminho C Para calcular o trabalho da força F ao deslocar o corpo no caminho C, considere um pequeno deslocamento do corpo. Se este deslocamento for considerado suficientemente pequeno, o mesmo pode ser aproximado por um segmento de reta ∆L. F(x,y,z) Caminho C A B x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 58 A Figura 1.52 mostra, de forma ampliada, um deslocamento infinitesimal ∆L sobre o caminho C. Figura 1.52 - Deslocamento infinitesimal ∆L do corpo sobre o caminho C A força F que atua no corpo e o deslocamento ∆L (na forma vetorial este deslocamento torna-se ∆L) são escritos na forma: z y x â â â F z y x F F F + + = (1.232) z y x â â â ∆L z y x + ∆ + ∆ = ∆ (1.233) Sendo ∆L suficientemente pequeno, a força F pode ser considerada aproximadamente constante. Nestas condições, sabe-se que o trabalho ∆w da força pode ser escrito como sendo: z F y F x F ∆w z y x ∆ ∆ + + ∆ = (1.233) Observe que a equação 1.233 pode ser escrita como sendo o produto escalar dos vetores F e ∆L mostrados nas equações 1.232 e 1.233. Portanto, o trabalho da força F em um pequeno deslocamento ∆L pode ser escrito como sendo: ∆w = F. ∆L (1.234) O caminho C pode ser aproximado por N pequenos segmentos de reta. Nestas condições, o trabalho W da força F para deslocar o corpo no caminho C é escrito como sendo: ∑ = ≈ N i 1 W i ∆Li F . (1.235) P1(x1,y1,z1) x y z P2(x2,y2,z2) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 59 Na equação 1.235 Fi é a força F, aplicada ao corpo, no i-ésimo segmento de reta ∆Li. Fazendo N →∞, tem-se que ∆Li →0. Nestas condições o trabalho da força (x,y,z) para mover o corpo no caminho C passa a ser escrita como sendo: ∫ = C (x,y,z) W . ∆L F (1.236) A integral mostrada na equação 1.236 é denominada Integral de linha e F(x,y,z) pode ser qualquer campo vetorial. Se C for um caminho fechado, a integral de linha é denominada integral de linha de caminho fechado e é escrita conforme mostra a equação 1.237. = ∫ F(x,y,z). ∆L W (1.237) 1.17 Campo vetorial conservativo Um campo vetorial é dito conservativo quando a sua integral de linha de caminho fechado, considerando qualquer caminho fechado, é nula. Uma consequência da integral de linha de caminho fechado ser nula, é que a integral de linha entre dois pontos quaisquer é constante, independentemente do caminho adotado. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 60 Capítulo 2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 2.1 - Carga elétrica O primeiro registro de experiências com eletricidade remonta ao século VI a.C., quando Tales de Mileto, filósofo e matemático grego, escreveu que o âmbar friccionado na lã atrai pedaços de palha ou pena (o que agora sabemos ser uma manifestação de eletrificação por atrito). A explicação para este fenômeno é que o âmbar, quando atritado com a lã, recebe cargas elétricas e se torna um corpo carregado. Experimentos mostram também que dois bastões de plástico esfregados com pelica ficam sujeitos a uma força de repulsão. Quando os bastões de plástico são substituídos por bastões de vidro e lã por seda, verifica-se que os bastões de vidro também ficam sujeitos a uma força de repulsão. No entanto quando um bastão de plástico (atritado contra a lã) é colocado próximo a um dos bastões de vidro (atritado com a seda) verifica-se uma força de atração entre eles. Estes experimentos mostram que existem dois tipos de carga elétrica: o tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico que foi atritado com a lã e o tipo de carga elétrica acumulada no bastão de vidro atritado com a seda. Benjamin Franklin (1706- 1790) sugeriu denominar, respectivamente, de carga negativa e de carga positiva esses dois tipos de carga elétrica. Diz-se que o bastão de plástico foi carregado com cargas negativas e que o bastão de vidro foi carregado com cargas positivas. Assim verifica-se que duas cargas negativas se repelem (fato este que também ocorre com duas cargas positivas) e que existe uma atração mútua entre uma carga positiva e uma carga negativa. Para entender o motivo pelo qual os bastões, dos experimentos descritos no parágrafo anterior, ficam sujeitos a forças de atração ou de repulsão é necessário analisar a estrutura e a propriedade elétrica dos átomos. O modelo atômico clássico (modelo de Niels Bohr) diz que a estrutura atômica pode ser descrita com base em três partículas elementares que são o elétron (que possui carga negativa), o próton (que possui carga positiva) e o nêutron (que não possui carga elétrica). De acordo com o modelo de Bohr, os prótons e nêutrons ocupam a parte central, e mais densa, do átomo que é denominada núcleo enquanto que os elétrons Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 61 circundam o núcleo do átomo. O núcleo atômico possui diâmetro da ordem de 10-15 m enquanto que a região ocupada pelos elétrons se estende até uma distância em torno de 10-10 m para fora do núcleo. A Fig. 2.1 mostra um átomo descrito pelo modelo de Bohr. Fonte: http://www.infoescola.com/fisica/eletrosfera/ Fig. 2.1 - descrição de um átomo segundo o modelo de Bohr A estabilidade do átomo é garantida pela força elétrica, que mantém os elétrons orbitando o núcleo atômico (há uma força de atração entre os elétrons e os prótons) e pela força nuclear que mantém a coesão dos prótons e nêutrons. Os prótons sofrem uma força de repulsão, mas esta força é muito menor que a força nuclear que garante a estabilidade do núcleo. A força nuclear atua somente em pequenas distâncias, restringindo-se ao núcleo atômico. Em um átomo em seu estado neutro as quantidades de prótons e elétrons são iguais, resultando em uma carga elétrica líquida nula. Quando se remove um ou mais elétrons de um átomo, o mesmo adquire uma carga elétrica positiva e torna-se um íon positivo. Por outro lado, ao se inserir elétrons em um átomo o mesmo torna-se carregado negativamente e recebe a denominação de íon negativo. Aplicando os conceitos do parágrafo anterior para um corpo macroscópico, conclui-se que quando a quantidade de elétrons e de prótons for igual o corpo é eletricamente neutro. Caso elétrons sejam retirados do corpo ele fica com um excesso de prótons e diz-se que o corpo está carregado com carga positiva. Por outro lado, se elétrons são inseridos no corpo ele ficará com excesso de elétrons e adquire então uma carga negativa. Observe que prótons não podem ser inseridos ou retirados do átomo (prótons e nêutrons) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 62 (exceto nos processos de fissão e fusão nuclear). O que define o tipo de carga com o qual o corpo está carregado (carga positiva ou negativa) é a retirada ou a inclusão de elétrons no corpo. Assim, é possível explicar a repulsão que ocorre entre os bastões de plástico (e entre os bastões de vidro) e a atração que acontece entre o bastão de plástico e de vidro. Quando o bastão de plástico e a lã, inicialmente descarregados, são atritados, o bastão retira elétrons da lã. Este processo faz com que o bastão fique com excesso de elétrons e adquira uma carga negativa, enquanto que a lã passa a ter menos elétrons do que prótons e adquire assim uma carga elétrica positiva. Quanto ao bastão de vidro, a explicação para natureza de sua carga é que o atrito dele com a seda faz com que o bastão perca elétrons para a seda. Assim o bastão fica com menos elétrons do que prótons e adquira carga elétrica positiva enquanto que o excesso de elétrons na seda faz com que ela adquira carga elétrica negativa. 2.2 - Lei de Coulomb Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), um coronel do Corpo de Engenharia do Exército francês, estudou a força de interação entre partículas carregadas. Coulomb verificou que o módulo da força elétrica entre duas partículas é diretamente proporcional à quantidade de carga das partículas (entenda por quantidade de carga como sendo o produto do módulo das cargas) e ao inverso do quadrado da distância que as separa. A força está na direção da reta que passa pelos pontos onde estão localizadas as cargas e possui um sentido que depende da natureza (positiva ou negativa) das duas cargas. A lei de Coulomb foi definida para cargas puntiformes, ou seja, para corpos carregados separados por uma distância muito maior que as dimensões destes corpos. Considere duas cargas puntiformes Q1 e Q2 dispostas no espaço (representado no sistema de coordenadas cartesianas) conforme mostra a Fig. 2.2. Fig. 2.2 - Cargas elétricas Q1 e Q2 localizadas no sistema de coordenadas cartesianas Q2 Q1 x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 63 A lei de Coulomb estabelece que a força elétrica entre as cargas Q1 e Q2 age ao longo da linha que une as duas cargas e é repulsiva se as cargas são de mesma natureza (cargas de mesmo sinal) e atrativas se as cargas possuem sinais contrários. A Fig. 2.3 mostra, de acordo com a lei de Coulomb, as forças que agem em Q1 e Q2 nas situações em que tais cargas possuem sinais iguais e sinais contrários. Fig. 2.3 - Força elétrica que atua em duas cargas Para quantificar a força na carga Q2 devido à carga Q1 vamos inicialmente definir o vetor R12 como sendo um vetor que tem início no ponto onde está localizada a carga Q1 e termina no ponto onde está a carga Q2, conforme mostra a Fig. 2.4. Fig. 2.4 - Definição do vetor R12 Considerando que as cargas Q1 e Q2 estão localizadas nos pontos P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2), respectivamente, o vetor R12 é escrito como sendo: z y x 12 â â â R z ) (z y ) (y x ) (x 1 2 1 2 1 2 − + − + − = (2.1) x y z Q1 Q2 F2 F1 x y z Q1 Q2 F2 F1 Reta que une as duas cargas Reta que une as duas cargas a) Cargas de mesmo sinal b) Cargas de sinais contrários Q2 Q1 x y z R12 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 64 O módulo do vetor R12 corresponde à distância entre as cargas, enquanto que a direção da força é definida por um vetor unitário â12 paralelo ao vetor R12 que é escrito como sendo: 12 12 12 R R â = (2.2) Na equação (2.2) |R12| é o módulo de R12. Portanto o vetor unitário â12 será escrito como sendo: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z ) (z y ) (y x ) x ( z ) (z y ) (y x ) x ( − + − + − − + − + − = z y x 12 â â â â (2.3) Assim, conhecendo os valores (e os sinais) das cargas Q1 e Q2 e a distância que as separa, é possível definir a força F2 que atua em Q2 devido à Q1. Esta força, de acordo com a Lei de Coulomb será: 12 12 2 â R F 2 0 2 1 4 Q Q = πε (2.3) A Lei de Coulomb também estabelece que a força F1 que atua na carga Q1 possui o mesmo módulo da força F2, porém atua em sentido oposto, ou seja: 2 1 F F = − (2.4) Substituindo a equação (2.3) na equação (2.4) obtém-se: ) ( 4 Q Q 2 0 2 1 12 12 1 â R F − = πε (2.5) Para comprovar a validade da Lei de Coulomb (expressa na forma da equação 2.5), considere os exemplo 2.1 e 2.2. Exemplo 2.1 - Considere duas cargas Q1 = Q0 e Q2 = Q0 localizadas nos pontos P1(0,1,0) e P2(0,3,0), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Vamos incialmente, representar as duas cargas no sistema de coordenadas cartesianas conforme mostra a Fig. 2.5. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 65 Fig. 2.5 - Sistema de duas cargas positivas localizadas ao longo do eixo y Para calcular a força que atua na carga Q2, devido à carga Q1, vamos inicialmente obter os vetores R12 e â12 mostrados na Fig. 2.6. Fig. 2.6 - Vetores R12 e â12 O vetor R12 mostrado na Fig. 2.6 é escrito como sendo: y 12 z y x 12 â R â â â R 2 (0 0) )1 (3 (0 0) = => − + − + − = (2.6) O módulo de R12 é dado por: 2 2 2 = => = 12 12 R R (2.7) O vetor unitário â12 paralelo a R12 é escrito como sendo: y 12 y 12 12 12 12 â â â â R R â = => = => = 2 2 (2.8) A Força na carga Q2 devido à carga Q1 será: y 2 12 12 2 â F â R F 0 2 0 2 0 2 1 16 Q 4 Q Q πε = => = πε (2.9) x z y Q1 Q2 x z y Q1 Q2 R12 â12 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 66 Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F1 que atua na carga Q1 possui o mesmo módulo da força F2, porém atua em sentido oposto, têm-se: ) ( 16 Q 0 2 0 y 1 2 1 â F F F − πε = => = − (2.10) A Fig. 2.7 mostra a força elétrica em cada uma das cargas. Fig. 2.7 - Forças elétricas que atuam em duas cargas positivas localizadas no eixo y Exemplo 2.2 - Considere duas cargas Q1 = Q0 e Q2 = - Q0 localizadas nos pontos P1(0,1,0) e P2(0,3,0), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Para obter a força elétrica, devido à carga Q1, devemos incialmente obter os vetores R12 e â12 mostrados na Fig. 2.8. Fig. 2.8 - Vetores R12 e â12 Na Fig. 2.8, o vetor R12 é escrito como sendo: y 12 z y x 12 â R â â â R 2 (0 0) )1 (3 (0 0) = => − + − + − = (2.11) O módulo de R12 será: 2 2 2 = => = 12 12 R R (2.12) R12 â12 F2 x z y Q1 Q2 F1 x z y Q1 Q2 R12 â12 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 67 O vetor unitário â12 paralelo a R12 é escrito como sendo: y 12 y 12 12 12 12 â â â â R R â = => = => = 2 2 (2.13) A Força na carga Q2 devido à carga Q1 será: ) ( 16 Q 16 Q 4 Q Q 0 2 0 0 2 0 2 0 2 1 y 2 y 2 12 12 2 â F â F â R F − πε = => πε = − => = πε (2.14) Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F1 que atua na carga Q1 possui o mesmo módulo da força F2, porém atua em sentido oposto, têm-se: y 1 2 1 â F F F 0 2 0 16 Q πε = => = − (2.15) A Fig. 2.9 mostra a força elétrica em cada uma das cargas, obtidas com o método que utiliza a lei de Coulomb na forma vetorial. Fig. 2.9 - Forças que atuam em cargas, com sinais contrários, localizadas sobre o eixo y Exemplo 2.3 - Considere duas cargas Q1 = 3 x 10-4 C e Q2 = - 10-4 C localizadas nos pontos P1(1,2,3) e P2(2,0,5), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Para calcular a força F2, que é a força em Q2 devido à carga Q1, é necessário definir o vetor R12, com início na carga Q1 e término na carga Q2, e o vetor unitário â12 mostrados na Fig. 2.10. R12 â12 F2 x z y Q1 Q2 F1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 68 Fig. 2.10 - Vetores R12 e â12 Na Fig. 2.13, o vetor R12 é escrito como sendo: z y x 12 z y x 12 â â â R â â â R 2 2 )3 (5 (0 2) )1 (2 + − = => − + − + − = (2.16) Verifica-se que o módulo de R12 será: R12 = 3 (2.17) O vetor unitário â12 paralelo a R12 é escrito como sendo: ) 2 2 3 ( 1 z y x 12 12 12 12 â â â â R R â + − = => = (2.18) A Força na carga Q2 devido à carga Q1 será: 12 12 2 â R F 2 0 2 1 4 Q Q = πε (2.19) Substituindo os valores das cargas e os vetores R12 e â12 na equação 2.19 obtém- se: ) 2 2 3 ( 1 3 ,8 854 10 4 ( 10 ) 10 3 2 12 4 4 z y x 2 â â â F + − × × π × − × = − − − (2.20) Desenvolvendo a equação 2.20 obtém-se: z y x 2 â â â F 20 20 10 − + = − (2.21) Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F1 que atua na carga Q1 possui o mesmo módulo da força F2, porém atua em sentido oposto, têm-se: z y x 1 â â â F 20 20 10 + − = (2.22) Q2 Q1 R12 P1(1,2,3) P2(2,0,5) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 69 Exercício: Considere as cargas Q1 e Q2 localizadas nos pontos (1,1,0) e (2,3,0) do sistema de coordenadas cartesianas. a) Calcule as forças em Q1 e Q2 considerando Q1 = 2x10-9 C, Q2 = 4x10-9 C; b) Calcule as forças em Q1 e Q2 considerando Q1 = 2x10-9 C, Q2 = -4x10-9 C; Resposta:a) F1 = -6,43 x 10-9 âx – 12,86 x 10-9 ây N; F2 = -F1 b) F1 = 6,43 x 10-9 âx + 12,86 x 10-9 ây N; F2 = -F1 2.3 – Campo elétrico devido a uma carga pontual 2.3.1 - Campo elétrico devido a uma carga positiva Considere uma carga positiva Q1 fixa em um ponto A que é o centro de uma circunferência, conforme mostra a Fig. 2.11. Fig. 2.11 - Carga positiva Q1 fixa no ponto A Considere agora que uma carga positiva qp (denominada carga de prova) seja colocada em um ponto B sobre a circunferência. A carga qp ficará sujeita à força elétrica Fp mostrada na Fig. 2.12. Fig. 2.12 - Força elétrica Fp, na carga qp, devido à carga Q1 Se a carga qp for solta ela irá mover se ao longo da reta que passa pelos pontos A e B, afastando-se da carga Q1 conforme mostra a Fig. 2.13. Na Figura 2.13 a reta que define a trajetória de qp é denominada Linha de Força ou Linha de Fluxo produzida pela carga Q1. Q1 qp Fp B Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 70 Fig. 2.13 - Sentido do movimento de qp quando solta no ponto B Repetindo o procedimento descrito anteriormente (que consiste em fixar qp em um ponto, determinar a direção da força em qp e depois soltar esta carga) em outros pontos sobre a circunferência, é possível obter outras linhas de fluxo da carga Q1 conforme mostra a Fig. 2.14. Fig. 2.14 - Linhas de fluxo da carga positiva Q1 Ao conjunto de linhas de força de Q1 damos o nome de Campo Elétrico de Q1. Verifica-se, na Fig. 2.14, que as linhas de fluxo (e consequentemente o campo elétrico) de uma carga pontual positiva são radiais que “saem” da carga e afastam-se da mesma. A Fig. 2.15 mostra a força elétrica Fp, considerando qp em um ponto qualquer do espaço que envolve a carga Q1. Fig. 2.15 - Força elétrica na carga qp A força elétrica Fp, mostrada na Fig. 2.15 é escrita como sendo: 1p 1p p â R F 2 0 p 1 4 q Q πε = (2.23) Quando solta, qp move-se ao longo desta reta B C D E Q1 A Q1 Q1 Fp qp â1p R1p Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 71 Vamos definir a grandeza Intensidade de campo elétrico E, devido à carga pontual Q1, como sendo: p q E = F1p (2.24) A equação 2.24 mostra que, considerando qp como sendo uma carga positiva, o campo elétrico E e a força F1p possuem os mesmos sentidos. Consequentemente, o campo elétrico está na mesma direção e sentido das linhas de força conforme mostra a Fig. 2.16. Fig. 2.16 – Campo elétrico de uma carga Q1 positiva A Figura 2.16 mostra que o campo elétrico de uma carga pontual positiva “nasce” na carga e estende-se em direção ao infinito. Substituindo a equação 2.23 na equação 2.24 verifica-se que o vetor intensidade de campo elétrico E devido à carga pontual Q1 é escrito como sendo: 1p 1p â R E 2 0 1 4 Q πε = (2.25) A equação 2.25 mostra que o vetor intensidade de campo elétrico (ou campo elétrico) de uma carga pontual Q1 em um ponto qualquer do espaço pode ser escrito em função da carga Q1 e do vetor R1p que determina a posição do ponto em relação à Q1. A unidade de E é Newton/Coulomb (N/C). A equação 2.24 pode ser escrita na forma: E F1p = qp (2.26) A equação 2.26 mostra que uma vez conhecido o campo elétrico em um ponto, é possível obter a força elétrica em uma carga qp sem que seja necessário conhecer a carga que criou este campo. Linhas de fluxo E Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 72 Exemplo 2.4 - Considere a carga pontual Q1 positiva localizada no ponto A(7,-3,4). Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida. a) Determine o campo elétrico no ponto P(3,0,4); b) Determine a força elétrica sobre a carga qp = Q0 localizada no ponto P; c) Determine a força elétrica sobre a carga qp = -Q0 localizada no ponto P. Solução do item a: Cálculo de R1p: y x 1p z y x 1p â â R â â â R 3 4 (4 4) )3 (0 (3 7) + = − => − + + + − = Cálculo de â1p: y x 1p 1p 1p 1p â â â R R â 5 3 5 4 + = − => = Cálculo do campo elétrico E: y x y x 1p 1p â â E â â ( E â R E 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 500 3Q 125 Q 5 3 5 4 5) 4 Q 4 Q πε + πε = −  =>      + − πε = => πε = Solução do item b:       + − πε = => = y x 1p 1p â â ( F E F 5 3 5 4 5) 4 Q Q q 2 0 0 1 p Observe que a força sobre a carga qp está no mesmo sentido do campo elétrico E. Solução do item c:       − + πε = =>      + − πε = − => = y x 1p y x 1p 1p â â ( F â â ( F E F 5 3 5 4 5) 4 Q Q 5 3 5 4 5) 4 Q Q q 2 0 1 0 2 0 1 0 p Observe que a força sobre a carga qp está em sentido contrário ao sentido do campo elétrico E. A E P â1p R1p Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 73 2.3.2 - Campo elétrico devido a uma carga negativa Considere uma carga negativa Q1 fixa em um ponto A que é o centro de uma circunferência, conforme mostra a Fig. 2.17. Fig. 2.17 - Carga negativa fixa no ponto A Considere agora que uma carga positiva qp (denominada carga de prova) seja colocada no ponto B mostrado na Fig. 2.17. A carga qp ficará sujeita à força elétrica Fp mostrada na Fig. 2.18. Fig. 2.18 - Força elétrica Fp, na carga qp, devido à carga negativa Q1 Se a carga qp for solta ela irá mover se ao longo da reta que passa pelos pontos A e B, aproximando-se da carga Q1 conforme mostra a Fig. 2.19. Fig. 2.19 - Sentido do movimento de qp quando solta no ponto B Repetindo o procedimento descrito anteriormente (que consiste em fixar qp em um ponto, determinar a direção da força em qp e depois soltar esta carga) em outros pontos sobre a circunferência, é possível obter outras linhas de fluxo da carga Q1 conforme mostra a Fig. 2.20. Q1 B C D E Q1 A Quando solta, qp move-se ao longo desta reta qp Fp B Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 74 Fig. 2.20 - Linhas de fluxo da carga negativa Q1 A Fig. 2.21 mostra a força elétrica Fp, considerando qp em um ponto qualquer do espaço que envolve a carga Q1. Fig. 2.21 - Força elétrica na carga qp A força elétrica Fp, mostrada na Fig. 2.21 é escrita como sendo: 1p 1p p â R F 2 0 1 p 4 q Q πε = − (2.27) Vamos definir a grandeza Intensidade de campo elétrico E, devido à carga pontual Q1, como sendo: p q E = F1p (2.28) A equação 2.28 mostra que, considerando qp como sendo uma carga positiva, o campo elétrico E e a força F1p possuem os mesmos sentidos. Consequentemente, o campo elétrico está na mesma direção e sentido das linhas de força conforme mostra a Fig. 2.22. Esta figura mostra que o campo elétrico de uma carga pontual negativa “nasce” no infinito e “termina” na carga. Q1 Q1 Fp qp â1p R1p Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 75 Fig. 2.22 - Campo elétrico de uma carga Q1 negativa Substituindo a equação 2.27 na equação 2.28 verifica-se que o vetor intensidade de campo elétrico E devido à carga pontual Q1 é escrito como sendo: 1p 1p â R E 2 0 1 4 Q πε = − (2.29) Os itens 2.3.1 e 2.3.2 mostraram que as linhas de força (e consequentemente o campo elétrico) “nascem” nas cargas positivas e convergem para a s cargas negativas. Assim as linhas de força de um sistema constituído por duas cargas +Q e –Q possuem os aspectos mostrados na Fig. 2.23 enquanto que para um sistema com duas cargas com sinais iguais as linhas de força são mostradas na Fig. 2.24. Fonte: http://trabcampoeletrico.blogspot.com.br/p/linhas-de-forca.html Fig. 2.23 - Linhas de força para duas cargas com sinais contrários Fig. 2.24 - Linhas de força para duas cargas com sinais iguais Linhas de fluxo E Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 76 2.4 Campo elétrico devido a um arranjo de cargas pontuais Considere n cargas pontuais Q1, Q2,...Qn dispostas no espaço. Estas cargas irão produzir os campos E1, E2,..., En em um ponto P genérico, conforme mostra a Fig. 2.25. Fig. 2.25 - Campo elétrico de n cargas pontuais O campo elétrico resultante E, no ponto P é escrito como sendo: n 2 1 E E E E + + + = K (2.30) Uma carga pontual q, localizada no ponto P, ficará sujeita a uma força elétrica F expressa como sendo: E F = q (2.31) Exercício: Considere as cargas Q1 = Q0, Q2 = -3Q0 e Q3 = 2Q0 localizadas nos pontos P1(1,-1,6), P2(4,5,-6) e P3(2,-3,1) respectivamente. Determine o campo elétrico no ponto P(4,-1,2). 2.5 Campo elétrico devido a uma distribuição de cargas 2.5.1 - Distribuição de cargas Cargas elétricas podem estar distribuídas no espaço ou concentradas em um ponto. Diz-se que as cargas estão concentradas em um ponto se o volume ocupado por elas é pequeno quando comparado com as demais dimensões do sistema. Se as dimensões de um corpo, carregado eletricamente, não podem ser consideradas desprezíveis é necessário atribuir a este corpo uma distribuição de cargas. As distribuições de carga podem ser classificadas em distribuições lineares, distribuições superficiais e distribuições. E1 Q1 Q2 Qn E2 En P Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 77 a) Distribuição linear de cargas Diz-se que um corpo possui uma distribuição linear de cargas se uma das dimensões do corpo é muito maior que as outras duas dimensões. Um fio bastante fino, carregado eletricamente com Q Coulombs, pode ser caracterizado como sendo uma distribuição linear de cargas. A Fig. 2.26 mostra uma distribuição linear de cargas positivas. Fig. 2.26 - Distribuição linear de cargas Considerando que um comprimento ∆L do fio mostrado na Fig. 2.26 possui uma carga ∆Q, define-se densidade linear de cargas ρL da distribuição como sendo: dL dQ L Q lim L 0 L L ⇒ ρ = ∆ ∆ = ρ ∆ → (2.32) A densidade linear de cargas é expressa em Coulomb/metro (C/m). b) Distribuição superficial de cargas Diz-se que um corpo, carregado eletricamente, possui uma distribuição superficial de cargas se duas de suas dimensões podem ser consideradas muito maiores que a sua terceira dimensão. Um exemplo de uma distribuição linear de cargas é a placa mostrada na Fig. 2.27. Fig. 2.27 - Distribuição superficial de cargas + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 78 Considerando que uma pequena área ∆s, da placa mostrada na Fig. 2.27, possua uma carga ∆Q, define-se densidade superficial de cargas ρs como sendo: ds dQ s Q lim s 0 s s ⇒ ρ = ∆ ∆ = ρ ∆ → (2.33) A densidade superficial de cargas é expressa em Coulomb/metro quadrado (C/m2). c) Distribuição volumétrica de cargas Diz-se que um corpo, carregado eletricamente, possui uma distribuição volumétrica de cargas se as três dimensões do corpo são levadas em consideração (nenhuma dimensão pode ser desconsiderada). Considerando que um elemento de volume ∆vol do corpo possua uma carga ∆Q, define-se densidade volumétrica de carga à relação: dvol dQ vol Q lim v 0 vol v ⇒ ρ = ∆ ∆ = ρ ∆ → (2.34) A densidade volumétrica de cargas é expressa em Coulomb/metro cúbico (C/m3). 2.5.2 - Campo elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas A Fig. 2.28 mostra um corpo carregado eletricamente com uma distribuição volumétrica de cargas ρv, e um ponto P(x,y,z) no qual se deseja calcular o campo elétrico E devido à carga total Q do corpo. Fig. 2.27 - Corpo com distribuição volumétrica de cargas # + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x y z P(x,y,z) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 79 Vamos considerar uma quantidade de carga incremental de cargas ∆Q contida em um volume ∆vol do corpo. A carga ∆Q produz um campo elétrico incremental ∆E no ponto P(x,y,z), conforme mostra a Fig. 2.28. Fig. 2.27 - Campo elétrico devido à carga ∆Q Se o volume ∆vol for suficientemente pequeno, a carga ∆Q pode ser considerada uma carga pontual. Nestas condições, o campo elétrico incremental ∆E pode ser escrito como sendo: â r' r ∆E 2 0 4 Q − ε π ∆ = (2.35) Na equação 2.35 â é um vetor unitário na direção do vetor r-r’. Então, a equação 2.35 pode ser expressa na forma: r' r r' r r' r ∆E − − − ε π ∆ = 2 0 4 Q (2.36) Sabendo que a densidade volumétrica de cargas do corpo mostrado na Fig. 2.26 é ρv, a quantidade de cargas ∆Q pode ser escrita como sendo: vol Q = ρv ∆ ∆ (2.37) Substituindo a equação 2.37 na equação 2.36 obtém-se: r' r r' r r' r ∆E − − − ε π ρ ∆ = 2 0 v 4 vol (2.38) P(x,y,z) Elemento de volume ∆vol com carga ∆Q x y z # r’ r r - r’ ∆E Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 80 Fazendo o volume ∆vol tender a zero, a equação 2.38 torna-se: r' r r' r r' r dE − − − ε π ρ = 2 0 v 4 dvol (2.39) Integrando a equação 2.39 em todo o volume do corpo obtém-se: ∫ − − − ε π ρ = vol 2 0 v 4 dvol r' r r' r r' r E (2.40) Na equação 2.40 E é o campo elétrico resultante, devido à carga total do corpo, no ponto P(x,y,z). Observe que, de maneira genérica, o campo E possui três componentes nas direções âx, ây e âz fazendo com que a equação 2.40 corresponda a três integrais de volume. 2.5.3 Campo devido a uma distribuição linear de cargas A Figura 2.28 mostra uma distribuição linear de cargas positivas, ao longo do eixo z, que se estende de z → -∞ até z → + ∞ e um ponto P(x,y,z). Fig. 2.28 - Distribuição linear de cargas com densidade constante Uma vez que a distribuição linear de cargas está ao longo do eixo z do sistema de coordenadas cartesianas, um elemento diferencial de carga elétrica dQ é identificado pelas coordenadas (0,0,z’) conforme mostra a Figura 2.29. Distribuição linear de cargas com densidade ρL constante x y z P(x,y,z) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 81 Fig. 2.29 - Elemento diferencial de cargas da distribuição linear O elemento diferencial de cargas dQ produz um elemento diferencial de campo dE, no ponto P(x,y,z), conforme mostra a Figura 2.30. Fig. 2.30 - Elemento diferencial de campo dE devido ao elemento de carga dQ Para obter o campo dE devemos utilizar a lei de Coulomb, sendo então necessário definir um vetor R com início no ponto (0,0,z’) e término no ponto P(x,y,z), e um vetor unitário âr na direção de R, conforme mostra a Figura 2.31. Fig. 2.31 - Definição dos vetores para cálculo do elemento diferencial de campo dE O vetor R, na Fig. 2.31 é escrito como sendo: P(x,y,z) x y z Elemento diferencial de cargas dQ localizado no ponto (0,0,z’) P(x,y,z) x y z Elemento diferencial de cargas dQ localizado no ponto (0,0,z’) dE P(x,y,z) x y z Elemento diferencial de cargas dQ localizado no ponto (0,0,z’) dE R âr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 82 z y x â â â R )'z (z y x − + + = (2.41) Sabe-se que uma função escalar descrita no sistema de coordenadas cartesianas pode ser convertida para o sistema de coordenadas cilíndricas por meio das seguintes relações: 2 2 x + y ρ = (2.42) φ = ρ cos x (2.43) φ = ρ sen y (2.44) A Figura 2.32 mostra as variáveis x, y, z, ρ e φ. Fig. 2.32 - Ponto P nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas Substituindo as equações 2.43 e 2.44 na equação 2.41 obtém-se: z y x â â â R )'z (z ( sen ) ( cos ) − + φ + ρ φ = ρ (2.45) Na equação 2.45 verifica-se que as componentes Rx e Ry estão escritas em função de ρ e φ e são escritas como sendo: φ = ρ cos R x (2.46) φ = ρ sen R y (2.47) O vetor R pode ser escrito no sistema de coordenadas cilíndricas na seguinte forma: zâ â â R Rzcil R R + + = φ φ ρ ρ (2.48) As componentes de R no sistema de coordenadas cilíndricas são escritas como sendo: P(x,y,z) x y z ρ φ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 83                     φ φ − φ φ =           φ ρ zcart y x zcil R R R 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos R R R (2.49) Substituindo as componentes Rx, Ry e Rzcart na equação 2.49 têm-se:           − φ ρ φ ρ           φ φ − φ φ =           φ ρ 'z z sen cos 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos R R R zcil (2.50) Desenvolvendo a equação 2.50 e substituindo os valores de Rρ, Rφ e Rzcil na equação 2.27 verifica-se que o vetor R em coordenadas cilíndricas é escrito como sendo: âz â R )'z z + ( − =ρ ρ (2.51) Uma vez obtido o vetor R, é possível obter o vetor unitário âr mostrado na Figura 2.31. O vetor âr é dado por: 2 2 r r )'z z ( )'z z ( − + ρ − + = ρ ⇒ = ρ zâ â â R R â (2.52) O elemento diferencial de cargas mostrado na Figura 2.31, em função da densidade linear de cargas ρL, é dado por: dz' dQ =ρL (2.53) Na equação 2.53 dz’ é o comprimento do elemento diferencial de cargas. Considerando o elemento diferencial de carga dQ como sendo uma carga pontual podemos afirmar que o campo elétrico dE, no ponto P(x,y,z), é escrito como sendo: r 2 0 4 dQ d â R E πε = (2.54) Substituindo as equações 2.52 e 2.53 na equação 2.54 verifica-se que o campo elétrico dE, no ponto P(x,y,z), é dado por: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 84 [ ] ( zâ ) â E )'z (z )'z (z 4 dz' d 3/ 2 2 2 0 L − + ρ − + ρ πε ρ = ρ (2.55) Desenvolvendo a equação 2.55: [ ] [ ]         − + ρ − + − + ρ ρ πε ρ = ρ âz â E 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 0 L )'z z ( )'z dz' z ( )'z z ( dz' 4 d (2.56) A equação 2.56 mostra que o elemento diferencial de campo elétrico possui componentes somente nas direções âρ e âz. Para obter o campo elétrico E no ponto P(x,y,z) devido à distribuição linear de cargas de comprimento infinito, devemos integrar a equação 2.56 ao longo de todo o eixo z, que é onde está disposta a distribuição linear de cargas. Integrando a equação 2.56 obtém-se: [ ] [ ]         − + ρ − + − + ρ ρ πε = ρ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ + −∞ ρ zâ â E 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 0 L )'z z ( )'z dz' z ( )'z z ( dz' 4 (2.57) Na equação 2.57 z’ corresponde à posição do elemento diferencial de carga ao longo do eixo z, enquanto que z é referente à posição do ponto P(x,y,z) no espaço. Antes de realizar a integração da equação 2.57 vamos fazer uma análise qualitativa do campo elétrico no ponto P(x,y,z). Para tanto, vamos considerar dois elementos diferenciais de carga dQ iguais e localizados à mesma distância d do ponto P(x,y,z) conforme mostra a Figura 2.33. Estes elementos diferencias de carga produzem, no ponto P, os elementos diferencias de campo elétrico dE1 e dE2 cujos módulos são iguais. Fig. 2.33 - Campo elétrico no ponto P(x,y,z) P z dQ dE1 ρ d d dQ dE2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 85 A Figura 2.33 mostra que o campo elétrico resultante está na direção do raio ρ, pois, devido à simetria, não há campo resultante na direção do eixo z. Uma vez que foi considerado que a linha de cargas possui comprimento infinito, o raio ρ, definido pelo ponto P(x,y,z), sempre irá dividir a distribuição linear de cargas em dois segmentos de reta de mesmo comprimento e este fato garantirá que o campo elétrico na direção do eixo z seja nulo. Conclui-se então que a segunda parcela da equação 2.57 é nula, fazendo com que esta equação seja escrita como sendo: [ ] ∫ +∞ −∞ ρ − + ρ ρ πε = ρ â E 3/ 2 2 2 0 L )'z z ( dz' 4 (2.58) Para obter o campo elétrico E vamos definir a variável u escrita como sendo: 'z z u = − (2.59) Da equação 2.59 obtém-se: dz' du = − (2.60) Substituindo as equações 2.59 e 2.60 na equação 2.58: [ ] ∫ +∞ −∞ ρ + ρ ρ πε = − ρ â E 3/ 2 2 2 0 L u du 4 (2.61) Resolvendo a integral da equação 2.61, Substituindo u por z – z’ e colocando os limites de integração teremos: ρ     ρ πε = ρ â E 1 2 0 L (2.62) A equação 2.62 mostra que o campo de uma distribuição linear e infinita de cargas ρL disposta ao longo do eixo z resulta em um campo elétrico na direção âρ. Consequentemente este campo é perpendicular à linha de cargas, conforme mostra a Figura 2.34. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 86 Fig. 2.34 - Campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas de comprimento infinito Se for considerado uma distribuição linear de cargas de comprimento infinito em uma posição genérica no espaço, o campo elétrico resultante será perpendicular à distribuição de cargas, conforme mostra a Figura 2.35. Fig. 2.35 - Distribuição linear de cargas em um lugar qualquer do espaço Na Figura 2.35 r é a distância do ponto P(x,y,z) à distribuição linear de cargas enquanto que âρ é um vetor unitário perpendicular à distribuição de cargas. O campo elétrico E, no ponto P(x,y,z) da Figura 2.35, devido à distribuição linear de cargas de comprimento infinito com densidade de cargas constante ρL é escrito como sendo: r 0 L r 1 2 â E     πε = ρ (2.63) 2.5.4 Campo devido a uma distribuição superficial de cargas Vamos considerar uma placa infinita disposta no plano xy, sendo que esta placa está eletricamente carregada com uma distribuição superficial de cargas ρs C/m2, e um P x y z ρ φ E Distribuição linear de cargas de comprimento infinito e densidade de cargas constante âρ P(x,y,z) x y z r E Distribuição linear de cargas de comprimento infinito com densidade de cargas constante ρL âr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 87 ponto P(0,0,z) em que se deseja calcular o campo elétrico E devido à distribuição superficial de cargas na placa. Esta situação é ilustrada na Figura 2.36. Fig. 2.36 - Placa infinita com densidade superficial de cargas Para obter o campo elétrico no ponto P(0,0,z) inicialmente é necessário definir um elemento diferencial de cargas dQ na placa infinita. Vamos considerar como elemento diferencial uma faixa com comprimento L (com L → ∞) e largura dy’ conforme mostra a Figura 2.37. Fig. 2.37 - Elemento diferencial de cargas em um plano infinito Se a largura dy’ do elemento diferencial de cargas mostrado na Figura 2.37 seja extremamente pequena (dy’ →0), o elemento diferencial de cargas torna-se uma distribuição linear de cargas cujo campo elétrico é radial a tal distribuição (item 2.5.3). Então o elemento diferencial de campo elétrico dE, devido ao elemento diferencial de y z x P(0,0,z) Placa infinita carregada eletricamente com uma densidade superficial de cargas constante igual a ρs C/m2 z y x P(0,0,z) Elemento diferencial de cargas dQ dy’ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 88 cargas da distribuição superficial mostrada na Figura. 2.37, terá a direção mostrada na Figura 2.38. Fig. 2.38 - Elemento diferencial de campo dE devido ao elemento de carga dQ Na Figura 2.38 R é um vetor perpendicular ao elemento diferencial de cargas dQ. Para obter a expressão para o campo dE vamos definir os vetores r, r’ e ar conforme mostra a Figura 2.39. Fig. 2.39 - Definição dos vetores r, r’ e ar Na Figura 2.39 âr é um vetor unitário paralelo ao vetor R. A partir da Figura 2.30 verifica-se que os vetores r e r’ são escritos como sendo: âz r = z (2.64) ây r' = 'y (2.65) ' ' r - r R r R r = ⇒ = + (2.66) y x P(0,0,z) Elemento diferencial de cargas dQ dy’ dE R y x P(0,0,z) Elemento diferencial de cargas dQ dy’ dE R r âr r’ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 89 Substituindo as equações 2.64 e 2.65 na equação 2.66 obtém-se: z y â â R z 'y + = − (2.67) Uma vez conhecido o vetor R é possível escrever o vetor unitário âr como sendo: 2 2 z )'y ( z 'y + − + − = z y r â â â (2.68) A densidade superficial de cargas da superfície infinita mostrada na Figura 2.37 foi considerada constante, sendo então possível escrevê-la como sendo: Ldy' ρs = dQ (2.69) Uma vez que foi considerado que a largura do elemento diferencial de cargas dQ é extremamente fino, fazendo com que dy’→0, é possível considerar que tal distribuição de cargas seja uma distribuição linear de cargas com densidade linear ρL escrita como sendo: L ρL = dQ (2.70) Se for considerado que dQ é um elemento diferencial de carga com densidade linear ρL, o elemento diferencial de campo elétrico dE mostrado na Figura 2.39 será escrito como sendo: r 0 L 2 d R â E ε π ρ = (2.71) A partir das equações 2.69 e 2.70 verifica-se a seguinte relação entre ρL e ρs: s dy' L ρ = ρ (2.72) Substituindo a equação 2.72 na equação 2.71 é possível obter o elemento diferencial de campo dE em função da densidade superficial de cargas ρs. Verifica-se que dE será escrito como sendo: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 90 r 0 s 2 dy' d R â E πε = ρ (2.73) Substituindo âr e o módulo do vetor R na equação 2.73 obtém:     + − + − πε ρ = 2 2 0 s z )'y ( zdy' dy' 'y 2 d z y â â E (2.74) A equação 2.74 pode ser escrita na forma:     + + + − πε ρ = z y â â E 2 2 2 2 0 s z )'y ( zdy' z )'y ( 'y dy' 2 d (2.75) Para obter o campo elétrico E no ponto P(0,0,z) devido à distribuição superficial de cargas, devemos integrar a equação 2.75 ao longo do eixo y (de y’→ - ∞ a y’→ + ∞) ou seja:       + + + − πε = ρ ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ −∞ z y â â E 2 2 2 2 0 s z )'y ( z dy' z )'y ( 'y dy' 2 (2.76) Antes de realizar as integrais mostradas na equação 2.76 vamos analisar o comportamento das componentes do campo elétrico E no ponto P(0,0,z). Para tanto, considere dois elementos diferencias de carga dQ de largura dy’, simétricos em relação ao eixo x. Estes elementos diferencias de carga produzirão campos dE de mesmo módulo, conforme mostra a Figura 2.40. Fig. 2.40 - Campos dE devidos a elementos de carga simétricos em relação ao eixo x dE R y x P(0,0,z) Elemento diferencial de cargas dQ dy’ Elemento diferencial de cargas dQ dy’ dE R Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 91 Na Figura 2.40 é possível verificar que a componente do campo elétrico resultante, no ponto P(0,0,z), na direção ây é nula. Portanto o campo resultante possui componente somente na direção âz. Conclui-se então que a primeira parcela da equação 2.74 é nula. Assim, a equação 2.76 torna-se: ∫ +∞ −∞ + πε ρ = âz E 2 2 0 s z )'y ( zdy' 2 (2.77) A equação 2.77 resulta em: âz E 0 s 2 ε π ρ = (2.78) A equação 2.78 mostra que o campo de uma distribuição superficial e infinita de cargas ρs disposta sobre o plano xy resulta em um campo elétrico na direção âz. Este campo possui módulo constante e é perpendicular à distribuição superficial de cargas, conforme mostra a Figura 2.41. Fig. 2.41 - Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano xy Na Figura 2.41, para z > 0, o campo elétrico E é escrito como sendo: âz E 0 s 2 ε π ρ = (2.79) Na região descrita por Z < 0 , na Figura 2.41, o campo elétrico E é dado por: ) ( 2 0 s âz E − πε ρ = (2.80) E E y x Distribuição superficial de cargas ρs z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 92 Considerando a distribuição superficial de cargas no plano xz, o campo elétrico E terá a direção mostrada na Figura 2.42. Fig. 2.42 - Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano xz Na Figura 2.42, para y > 0, o campo elétrico E é escrito como sendo: ây E 0 s 2 ε π ρ = (2.81) Na região descrita por y < 0, na Figura 2.42, o campo elétrico E é dado por: ) ( 2 0 s ây E − πε ρ = (2.82) Para uma distribuição superficial de cargas no plano yz, o campo elétrico E terá a direção mostrada na Figura 2.43. Fig. 2.43 - Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano yz E Distribuição superficial de cargas ρs E y x z E Distribuição superficial de cargas ρs y x z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 93 Na Figura 2.43, para x > 0, o campo elétrico E é escrito como sendo: âx E 0 s 2 ε π ρ = (2.83) Na região descrita por x < 0, na Figura 2.43, o campo elétrico E é dado por: ) ( 2 0 s âx E − πε ρ = (2.84) A Figura 2.44 mostra uma distribuição superficial de cargas em um plano α genérico. Fig. 2.44 - Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas em um plano genérico Na Figura 2.44 ân é um vetor unitário paralelo ao plano α. A distribuição superficial de cargas em um plano infinito genérico, do tipo mostrado na Figura 2.44, resulta em um campo elétrico E que se manifesta nas duas faces do plano e é escrito como sendo: n 1 â E 0 s 2 ε π ρ = (2.85) ) ( 2 0 s n 2 â E − πε ρ = (2.86) y x z E1 ân Distribuição superficial de cargas ρs E2 α Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 94 Capítulo 3 Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 3.1 Experimento de Faraday Em 1837, o diretor da Royal Society de Londres, Michel Faraday tornou-se muito interessado em campos eletrostáticos e realizou um experimento conhecido como Experimento de Faraday. Em seu experimento, Faraday tomou um para de esferas concêntricas, a de fora consistindo de dois hemisférios que podem ser firmemente unidos entre si. Preparou também conchas de material isolante (material dielétrico) que ocupariam o volume inteiro entre as esferas concêntricas. Sua experiência consistiu das seguintes etapas: 1 Com o equipamento desmontado, a esfera interior foi carregada eletricamente com uma carga Q positiva conhecida. 2 os hemisférios são, então, presos entre si em torno da esfera carregada a uma distância de cerca de 2 cm e os espaço entre as esferas foi preenchido com o material dielétrico. 3 A esfera eterna foi descarregada por conexão momentânea à terra. 4 A superfície externa a esfera exterior foi separada cuidadosamente, usando ferramentas de material dielétrico de modo a não perturbar a carga nela induzida e, então, a carga induzida em cada hemisfério foi medida. Faraday observou que a carga total na esfera externa era igual, em módulo à carga Q da esfera interna, independentemente do material dielétrico que separava as duas esferas. Ele então concluiu que algo havia se deslocado da esfera interna em direção à esfera externa e que este “algo” era independente do meio. Faraday denominou este “algo” de fluxo elétrico. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 95 3.2 Densidade de fluxo elétrico e Lei de Gauss Para entender o conceito de densidade de fluxo elétrico vamos, inicialmente, calcular a integral de superfície do campo elétrico de uma carga pontual e das distribuições de carga que foram estudadas no capítulo 2 (distribuição linear e distribuição superficial plana). Vamos considerar superfícies fechadas adequadas envolvendo as cargas (ou distribuições de cargas) descritas anteriormente e calcular o fluxo associado ao campo elétrico que atravessa tais superfícies. Em seguida o fluxo, calculado teoricamente, será comparado com o fluxo elétrico oriundo dos resultados experimentais obtidos por Michel Faraday. a) Fluxo devido ao campo de uma carga pontual Vamos considerar uma carga pontual Q fixa, em um ponto qualquer do espaço, envolvida por uma superfície esférica S de raio R. A Figura 3.1 ilustra esta situação e mostra também o campo elétrico E em um ponto P localizado na superfície esférica. Fonte:http://www.resumosetrabalhos.com.br/geometria-plana_1.html Fig. 3.1 - Carga pontual envolvida por uma superfície esférica Na Figura 3.1 R é um vetor definido entre o ponto em que está a carga Q e o ponto P, E é o campo elétrico no ponto P e âr é um vetor unitário na direção do vetor R. De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico E no ponto P é dado por: r 2 0 4 Q â R E πε = (3.1) É possível verificar, na Figura 3.1, que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície esférica, pois o campo da carga pontual é um campo radial. Assim se a Carga pontual Q no centro da esfera x y z E âr Ponto P na superfície esférica Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 96 superfície esférica for representada por um vetor, este vetor e o vetor campo elétrico serão paralelos em qualquer ponto da superfície esférica. A Figura 3.2 mostra a superfície esférica dividida em diversos elementos diferenciais de superfície ds e o campo elétrico E. Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/N-esfera Fig. 3.2 - Elemento diferencial de superfície e o vetor campo elétrico na superfície esférica Vamos agora calcular o fluxo de E através da superfície esférica S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo da superfície esférica S ou seja: . s F S = ∫E d (3.2) Conforme mostrado na Figura 3.2, os vetores E e ds são paralelos. Deste modo, o produto escalar entre estes dois vetores é dado pelo produto dos módulos dos mesmos, ou seja: E ds . s E d = (3.3) O elemento diferencial de superfície ds em coordenadas esféricas é escrito como sendo: ≤ φ ≤ π ≤ θ ≤ π θ θ φ = 2 ; 0 ; 0 R sen d d ds 2 (3.4) Substituindo as equações 3.1, 3.3 e 3.4 na equação 3.2 obtêm-se: ∫ θ θ φ πε = S 2 2 0 R R sen d d 4 Q F (3.5) E Elemento diferencial de superfície ds x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 97 A equação 3.2 pode ser escrita na forma: ∫ ∫ π π φ θ θ πε = 2 0 0 0 d sen d 4 Q F (3.6) Calculando a integral na equação 3.6 obtêm-se: 0 Q F = ε (3.7) A equação 3.7 mostra que o fluxo de E através de uma superfície esférica que envolve a carga pontual independe do raio da esfera e depende somente do valor da carga envolvida pela superfície fechada e do meio em que a carga está imersa (no caso considerou-se que a carga está no vácuo). b) Fluxo devido ao campo de uma distribuição linear de cargas Considere uma distribuição linear de cargas com densidade constante ρL C/m, envolvida por uma superfície cilíndrica fechada S, de altura L, conforme mostra a Figura 3.3. Fig. 3.3 - Distribuição linear de cargas envolvida por uma superfície cilíndrica Na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.3 S1 é a área da superfície lateral do cilindro enquanto que S2 e S3 são as áreas das “tampas” superior e inferior, respectivamente, do cilindro. Vamos definir, para o cilindro mostrado na Figura 3.3, os elementos diferenciais de área (na forma vetorial) ds1, ds2 e ds3 conforme mostra a Figura 3.4. Superfície da tampa inferior, com área S3 Distribuição linear de cargas com densidade ρL C/m S1 S2 L Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 98 Fig. 3.4 - Identificação dos elementos diferenciais de superfície na superfície cilíndrica Sabe-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição linear de cargas é radial e depende do vetor R, que é um vetor perpendicular à linha de cargas com início nesta e término no ponto onde se deseja obter o campo elétrico. Portanto, o campo elétrico E em um ponto localizado na superfície cilíndrica possui o aspecto mostrado na Figura 3.5. Fig. 3.5 - Campo elétrico E na superfície cilíndrica Vamos agora calcular o fluxo de E através da superfície cilíndrica S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo de toda a superfície do cilindro mostrado na Figura 3.5. Têm-se então: . s F S = ∫E d (3.8) O cilindro é constituído pelas superfícies S1, S2 e S3. Então a equação 3.8 torna-se: ∫ ∫ ∫ + + = 3 2 1 S 3 S 2 S 1 . s . s . s F E d E d E d (3.9) Distribuição linear de cargas com densidade ρL C/m S1 S2 L Superfície da tampa inferior, com área S3 ds2 ds1 ds3 Distribuição linear de cargas com densidade ρL C/m S1 S2 L Superfície da tampa inferior, com área S3 ds2 ds1 ds3 E R âr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 99 Observa-se na Figura 3.5 que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores ds2 e ds3. Portanto os produtos escalares E.ds2 e E.ds3 são nulos fazendo com que a equação 3.9 torne-se: ∫ = S1 1s . F E d (3.10) Verifica-se também, na Figura 3.5, que os vetores E e ds1 são paralelos. Assim, a equação 3.10 passa a ser escrita como sendo: ∫ = S1 E.ds1 F (3.11) Na equação 3.11 E e ds1 correspondem aos módulos dos vetores E e ds1, respectivamente, mostrados na Figura 3.5. O termo E na equação 3.11 é o módulo do campo elétrico E, na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.5, devido a uma distribuição linear de cargas e é escrito como sendo: R 2 E 0 L πε ρ = (3.12) Na equação 3.12 R é o módulo do vetor R. O elemento ds1, na equação 3.11 é o elemento diferencial da superfície lateral do cilindro e é escrito, em coordenadas cilíndricas, como sendo: ≤ φ ≤ π φ = 2 ; 0 R d dL ds1 (3.13) Substituindo as equações 3.13 e 3.12 na equação 3.11 teremos: ∫ φ πε ρ = S1 0 L R R d dL 2 F (3.14) Reescrevendo a equação 3.14 obtém-se: ∫ φ πε ρ = S1 0 L d dL 2 F (3.15) A equação 3.15 pode ser escrita como sendo: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 100 ∫ ∫ π φ πε ρ = L 0 2 0 0 L dL d 2 F (3.16) Desenvolvendo a equação 3.16 obtém-se: 0 L L F ε = ρ (3.16) O produto ρLL, na equação 3.16, corresponde à carga Q da parte da distribuição linear de cargas que está envolvida pela superfície cilíndrica de altura L (conforme mostra a Figura 3.3). Assim, a equação 3.16 torna-se: 0 Q F = ε (3.17) A equação 3.17 mostra que o fluxo de E, devido a uma distribuição linear de cargas, através de uma superfície cilíndrica depende somente da carga total envolvida pelo cilindro e do meio em que está imersa a distribuição de cargas. c) Fluxo devido ao campo de uma distribuição superficial de cargas A Figura 3.6 mostra uma distribuição superficial de cargas constante ρs C/m2 em um plano, sendo que parte da carga é envolvida por uma superfície cilíndrica fechada S. Fig. 3.6 - Plano com distribuição superficial de cargas com uma parte envolta por uma superfície cilíndrica Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρs C/m2 Área A, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = A ρs Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 101 A superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.6 é constituída pela superfície lateral, com área S1 e pelas duas “tampas” com áreas S2 e S3, respectivamente. Podemos então definir o elemento diferencial de área ds1, associado à área S1, e os elementos diferenciais de área ds2 e ds3 associados às “tampas” do cilindro, conforme mostra a Figura 3.7. Fig. 3.7 - Elementos diferenciais de área associados à superfície cilíndrica Sabe-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição superficial de cargas é constante e perpendicular à superfície, conforme mostra a Figura 3.8. Fig. 3.8 - Campo elétrico E devido à distribuição superficial de cargas Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρs C/m2 Área A, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = A ρs ds1 ds2 ds3 E E S2 S3 S1 S3 Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρs C/m2 Área A, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = A ρs ds1 ds2 ds3 S2 S1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 102 Vamos agora calcular o fluxo de E através da superfície cilíndrica fechada S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo de toda a superfície do cilindro mostrado na Figura 3.8. Têm-se então: . s F S = ∫E d (3.18) O cilindro é constituído pelas superfícies S1, S2 e S3. Então a equação 3.18 torna- se: ∫ ∫ ∫ + + = 3 2 1 S 3 S 2 S 1 . s . s . s F E d E d E d (3.19) Observa-se na Figura 3.8 que o campo elétrico E é perpendicular ao vetor ds1. Portanto o produto escalar E.ds1 é nulo fazendo com que a equação 3.19 torne-se: ∫ ∫ + = 3 2 S 3 S 2 . s . s F E d E d (3.20) Verifica-se também, na Figura 3.8, que os vetores E, ds2 e ds3 são paralelos. Assim, a equação 3.20 passa a ser escrita como sendo: ∫ ∫ + = 3 2 S 3 S 2 E.ds E.ds F (3.21) Na equação 3.21 E, ds2 e ds3 correspondem aos módulos dos vetores E, ds2 e ds3, respectivamente, mostrados na Figura 3.8. O termo E na equação 3.21 é o módulo do campo elétrico E, na superfície da do plano mostrado na Figura 3.8. Uma vez que o campo E é constante, a equação 3.21 torna-se:         + = ∫ ∫ 3 2 S 3 S 2 ds ds E F (3.22) Na equação 3.22 as integrais correspondem às áreas das “tampas” do cilindro mostrado na Figura 3.8. Verifica-se que estas áreas são idênticas á área da intersecção do cilindro com o plano. Assim, a equação 3.22 torna-se: ( ) 2EA F A E A F = ⇒ + = (3.23) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 103 Sabe-se que o módulo do campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas e é escrito como sendo: 0 s 2 E ε = ρ (3.24) Substituindo a equação 3.24 na equação 3.23 teremos: 0 s 0 s A F A 2 2 F ε = ρ ⇒ ε ρ = (3.25) Na equação 3.25 o termo ρsA corresponde à carga Q presente na intersecção da superfície cilíndrica com o plano eletricamente carregado, conforme mostra a Figura 3.8. Assim, a equação 3.25 torna-se: 0 Q F = ε (3.26) A equação 3.26 mostra que o fluxo do campo elétrico, devido a uma distribuição superficial de cargas em um plano, através de uma superfície cilíndrica fechada depende somente da quantidade de cargas que é envolvida pela superfície fechada e do meio que envolve esta carga. Os resultados obtidos nos itens a, b e c mostraram que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica envolvida pela superfície. Este resultado independe do fato da carga envolvida pela superfície ser uma carga pontual (item a) ou distribuída (itens b e c). No entanto os experimentos realizados por Faraday mostraram que o fluxo que atravessa uma superfície fechada é igual à carga envolvida pela superfície, independentemente do meio que envolve a carga. Assim, utilizando os resultados obtidos por Faraday, o fluxo elétrico φ que atravessa uma superfície fechada é dado por: φ = Q (3.27) Os resultados que obtivemos nos itens a, b e c mostram que o fluxo através de uma superfície fechada é dado por: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 104 0 Q F = ε (3.28) Então para que os nossos resultados sejam coerentes com os resultados obtidos experimentalmente por Faraday, vamos criar um vetor denominado densidade de fluxo elétrico D que possui a seguinte relação com o campo elétrico E: E D = 0ε (3.29) Se nos itens a, b e c calcularmos o fluxo do vetor D e não o fluxo do vetor E, utilizando a condição de que D = ϵ0E, obteremos os mesmos resultados obtidos experimentalmente por Faraday (recomenda-se fortemente que você faça esta substituição). Conclui-se então que a grandeza que flui de uma determinada quantidade de carga (discreta ou distribuída) através de uma superfície fechada que envolve esta carga é o vetor densidade de fluxo elétrico D e não o vetor campo elétrico E. Este fato foi verificado por Johann Carl Friederich Gauss e é conhecido como Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que o fluxo que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga envolvida pela superfície, ou seja: Q . s Q s . S S = ε φ = ⇔ = φ = ∫ ∫ E d D d 0 (3.30) Na equação 3.30 φ é o fluxo que atravessa a superfície fechada S e Q é a carga total envolvida por esta superfície. Para ilustrar a Lei de Gauss, considere uma quantidade de carga Q envolvida por uma superfície fechada S e o vetor D, conforme mostra a Figura 3.9. Figura 3.9 - Densidade de fluxo elétrico D atravessando um elemento diferencial de superfície ds de uma superfície fechada Elemento diferencial de superfície + + + + Carga Q envolvida pela superfície fechada S Superfície fechada S ds D Elemento diferencial de superfície ampliado Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 105 3.3 Aplicação da Lei de Gauss a distribuições simétricas de cargas A Lei de Gauss estabelece a relação entre a carga envolvida por uma superfície fechada e o fluxo elétrico que atravessa a superfície. Esta lei mostra que o fluxo é função exclusivamente da carga total envolvida por esta superfície, e é escrita como sendo: Q s . S = ∫ ε 0 E d (3.31) Considerando que o meio em que a carga Q está é homogêneo, a permissividade dielétrica pode ser considerada constante e, consequentemente, retirada da integral. Assim, a equação 3.31 torna-se: 0 E d = ε ∫ Q s . S (3.32) Vamos agora aplicar a equação 3.32 em uma situação em que a superfície fechada S seja perpendicular ou paralela ao campo elétrico em todos os pontos desta superfície. Nestas condições, têm-se as seguintes possibilidades para o produto escalar E.ds:    = ∫ 0 ou Eds s . S E d (3.33) Substituindo a equação 3.33 na equação 3.32 obtém-se: = ε0 ∫ Q S E ds (3.34) Na equação 3.34 E e ds correspondem aos módulos dos vetores E e ds, respectivamente. Vamos considerar também que a superfície S possua um formato tal que o módulo do campo elétrico seja constante em qualquer ponto da superfície. Nestas condições E pode ser retirado da integral e a equação 3.34 torna-se: = ε0 ∫ Q ds E S (3.35) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 106 A integral mostrada na equação 3.35 corresponde à área A da superfície fechada S que envolve a carga Q. Portanto, a partir da equação 3.35, obtém-se: A Q E = ε0 (3.36) A equação 3.36 mostra que o módulo do campo elétrico E, devido a uma carga Q envolvida por uma superfície fechada S pode ser facilmente calculado desde que a superfície S tenha um formato tal que atenda às seguintes condições: - O campo elétrico E, devido à carga envolvida pela superfície, deve ser perpendicular ou paralelo à superfície em todos os pontos da mesma; - O módulo de E deve ser constante em todos os pontos da superfície S Uma superfície fechada que atenda às duas condições mencionadas anteriormente é denominada superfície Gaussiana. Então, considerando que seja possível determinar uma superfície Gaussiana uma carga ou distribuição de carga Q, é possível obter o módulo do campo elétrico em todos os pontos desta superfície utilizando a equação 3.36. Devido ao fato da superfície ser uma superfície Gaussiana, o vetor campo elétrico E possui módulo constante (e igual a E) e é perpendicular à superfície em todos os pontos desta. Verifica-se então que é possível determinar facilmente o campo elétrico E, utilizando a equação 3.36, devido a uma carga ou distribuição de carga Q desde que seja possível definir uma superfície Gaussiana para a carga Q. Em seguida mostraremos que os vetores campo elétrico obtidos no capítulo 2 podem ser facilmente obtidos quando se utiliza a Lei de Gauss. 3.3.1 Campo elétrico devido a uma carga pontual Para obter o campo elétrico de uma carga pontual Q, utilizando a lei de Gauss, inicialmente é necessário definir a direção e o sentido do campo elétrico devido à carga Q. Já foi visto que, com base na lei de Coulomb, que o campo elétrico devido a uma carga pontual positiva fixa em um ponto do espaço é radial conforme mostra a Figura 3.10. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 107 Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAg8GYAD/carga-eletrica-caracteristicas-essenciais Figura 3.10 - Características do campo elétrico E devido a uma carga pontual positiva Com base na Figura 3.10 conclui-se que uma esfera de raio R é uma superfície Gaussiana quando de deseja determinar o campo elétrico devido a uma carga pontual. Verifica-se que todos os pontos da superfície esférica estão a uma mesma distância R em relação à carga Q, fazendo com que o campo elétrico tenha o módulo constante na superfície esférica. Verifica-se também que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície esférica em todos os pontos desta superfície, conforme mostra a Figura 3.11. Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/10312480/ Figura 3.11 - Campo elétrico E em uma superfície Gaussiana esférica de raio R que envolve uma carga pontual Q Aplicando a Lei de Gauss (equação 3.30) na superfície esférica mostrada na Figura 3.11, obtém-se: s Q . S = ε ∫ E d 0 (3.37) Uma vez que a superfície esférica mostrada na Figura 3.11 é uma superfície Gaussiana, a equação 3.37 torna-se: x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 108 Q E S ds = ε ∫ 0 (3.38) Na equação 3.38 E é o módulo do campo elétrico devido à carga Q. Considerando que a carga e a superfície Gaussiana estão no sistema de coordenadas esféricas, o elemento diferencial de superfície ds é escrito como sendo: ≤ φ ≤ π ≤ θ ≤ π θ θ φ = 2 ; 0 ; 0 R sen d d ds 2 (3.39) Substituindo a equação 3.39 na equação 3.38: Q R sen d d E 2 S θ θ φ= ε ∫ 0 (3.40) A equação 3.40 pode ser escrita na forma: Q d sen d R E 2 0 0 2 φ= θ θ ε ∫ ∫ π π 0 (3.41) Desenvolvendo a equação 3.41: Q ER 4 2 π= ε0 (3.42) Da equação 3.42 verifica-se que o módulo do campo elétrico, devido a uma carga pontual Q, em um ponto P localizado a uma distância R da carga é dado por: R2 4 Q E πε0 = (3.43) Foi observado (Figura 3.10) que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção do raio da superfície esférica. Então o vetor E possui o módulo dado pela equação 3.43 e a direção deste vetor é radial, ou seja: r 2 0 4 Q â R E πε = (3.44) Na equação 3.44 R é um vetor definido entre o ponto em que está a carga Q e o ponto P onde se deseja conhecer o campo elétrico, E é o campo elétrico no ponto P e âr é um vetor unitário na direção do vetor R. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 109 Note que a expressão de E obtida com a Lei de Gauss coincide com a Lei de Coulomb (que foi obtida experimentalmente). 3.3.2 Campo elétrico devido a uma distribuição linear infinita de cargas Vamos considerar uma distribuição linear de cargas, de comprimento infinito e densidade linear de cargas constante igual a ρL C/m, localizada sobre o eixo z, conforme mostra a Figura 3.12. Figura 3.12 - Distribuição linear de cargas sobre o eixo z Considere que devemos obter uma expressão para o campo elétrico devido à distribuição de carga dQ iguais e localizados à mesma distância d do ponto P(x,y,z) conforme mostra a Figura 3.13. Estes elementos diferencias de carga produzem, no ponto P, os elementos diferencias de campo elétrico dE1 e dE2 cujos módulos são iguais. Fig. 3.13 - Comportamento do campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas Distribuição linear de cargas com densidade ρL constante x y z dQ P z dQ dE1 ρ d d dE2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 110 A Figura 3.13 mostra que o campo elétrico resultante está na direção do raio ρ, pois, devido à simetria, não há campo resultante na direção do eixo z. Conclui-se então que o campo elétrico é perpendicular à linha de cargas. Para a distribuição linear de cargas, verifica-se que uma superfície cilíndrica de altura L com eixo de simetria coincidente com a distribuição linear de cargas, do tipo mostrado na Figura 3.14, é uma superfície Gaussiana. Figura 3.14 - Superfície Gaussiana para uma distribuição linear de cargas Aplicando Lei de Gauss na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.14 têm-se: . s Q S = ε ∫ E d 0 (3.45) A superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.14 é constituída pelas superfícies S1, S2 e S3. Assim, a equação 3.45 torna-se: ∫ ∫ ∫ = + ε + ε ε 3 2 1 S 3 S 2 S 1 Q . s . s . s E d E d E d 0 0 0 (3.46) Observa-se na Figura 3.14 que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores ds2 e ds3. Portanto os produtos escalares E.ds2 e E.ds3 são nulos fazendo com que a equação 3.46 torne-se: Q s . S1 1 = ε ∫ 0 E d (3.47) Verifica-se também, na Figura 3.14, que os vetores E e ds1 são paralelos. Assim, a equação 3.47 passa a ser escrita como sendo: E Distribuição linear de cargas com densidade ρL C/m S1 S2 L ds2 ds1 ds3 R âr Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 111 ∫ = ε 1S 1 Q 0 E.ds (3.48) Uma vez que na lateral do cilindro o módulo do campo é constante, a equação 3.48 torna-se: ∫ = ε S1 1 Q ds 0E (3.49) Na equação 3.49 ds1 é o elemento diferencial da superfície lateral do cilindro que, em coordenadas cilíndricas é escrita como sendo: ≤ φ ≤ π φ = 2 ; 0 R d dL ds1 (3.50) Substituindo a equação 3.50 na equação 3.49 obtém-se: ∫ = φ ε S1 0 Q R d dL E (3.51) O raio R da superfície cilíndrica é constante e pode ser retirado da integral. Assim, a equação 3.51 torna-se: Q dL d R E L 0 2 0 0 = φ ε ∫ ∫ π (3.52) Desenvolvendo a equação 3.52 verifica-se que: Q 0 ER 2 L = π ε (3.53) Na equação 3.53 Q é a carga total envolvida pela Gaussiana, que é escrita como sendo: L Q =ρL (3.54) Substituindo a equação 3.54 na equação 3.53 obtém-se: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 112 L ER 2 L L 0 = ρ π ε (3.55) Desenvolvendo a equação 3.55 verifica-se que o módulo do campo elétrico devido à distribuição linear de cargas, a uma distância R da distribuição é dado por: R 2 E 0 L πε ρ = (3.56) A análise do campo elétrico, feita com o auxílio da Figura 3.13, mostrou que o campo é perpendicular à distribuição linear de cargas. Então, conclui-se que o campo terá o módulo descrito pela equação 3.56 e será escrito como sendo: ρ πε ρ ρ = â E 0 L 2 (3.57) A Figura 3.15 mostra o vetor E e o vetor unitário âρ, no ponto P(x,y,z) considerando que a distribuição de cargas está ao longo do eixo z. Figura 3.15 - Campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas no eixo z A equação 3.57 mostra que a expressão do campo elétrico que foi obtida por meio da Lei de Gauss é idêntica à expressão obtida, no capítulo 2, com a Lei de Coulomb. No entanto, verifica-se que é mais fácil obter a expressão para o campo elétrico utilizando a Lei de Gauss. 3.3.3 Campo elétrico devido a uma distribuição superficial infinita de cargas Vamos considerar uma distribuição superficial de cargas, com densidade superficial de cargas constante igual a ρs C/m2, localizada no plano xy, e um ponto P P x y z ρ φ E Distribuição linear de cargas de comprimento infinito e densidade de cargas constante âρ E Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 113 localizado sobre o eixo z onde se deseja obter uma expressão para o campo elétrico de vido à distribuição superficial de carga. Esta situação está ilustrada na Figura 3.16. Figura 3.16 - Distribuição superficial de cargas sobre o plano xy Para determinar uma superfície Gaussiana adequada, devemos inicialmente conhecer o comportamento do campo elétrico devido à distribuição superficial de cargas. Para isto, considere os dois elementos diferenciais de carga, simétricos em relação ao eixo x, mostrados na Figura 3.17. Observa-se na Figura 3.17, que devido ao fato dos dois elementos diferenciais de cargas estarem a uma mesma distância do ponto P(0,0,z), o elemento diferencial de campo elétrico resultante possui componente somente na direção do eixo y. Conclui-se então que uma distribuição superficial de cargas produz um campo elétrico que é perpendicular à distribuição. Fig. 3.17 - Comportamento do campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas y z x P(0,0,z) Placa infinita carregada eletricamente com uma densidade superficial de cargas constante igual a ρs C/m2 dE R y x P(0,0,z) Elemento diferencial de cargas dQ dy’ Elemento diferencial de cargas dQ dy’ dE R Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 114 Para a distribuição superficial de cargas, verifica-se que uma superfície cilíndrica do tipo mostrado na Figura 3.18, é uma superfície Gaussiana. Figura 3.18 - Superfície Gaussiana para uma distribuição superficial de cargas A Figura 3.19 mostra as superfícies S1, S2 e S3 que constituem a superfície Gaussiana. Observe que na superfície S2 o campo elétrico é constante e paralelo ao vetor ds2 enquanto que na superfície S1 o campo elétrico e o vetor ds21 são perpendiculares. Na superfície S3 o campo elétrico é constante e paralelo ao vetor ds3. Figura 3.19 - Campo elétrico e elementos diferenciais de superfície na gaussiana de uma distribuição superficial de cargas Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρs C/m2 Área A, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = A ρs E E E E S3 Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρs C/m2 Área A, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = A ρs ds1 ds2 ds3 S2 S1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 115 Aplicando Lei de Gauss na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.19 têm-se: ∫ ∫ ∫ = + ε + ε ε 3 2 1 S 3 S 2 S 1 Q . s . s . s E d E d E d 0 0 0 (3.58) Uma vez que, na Figura 3.19, o campo elétrico E é perpendicular ao vetor ds1, o produto escalar E.ds1 é nulo fazendo com que a equação 3.58 torne-se: Q . s s . 3 2 S 3 S 2 = + ε ε ∫ ∫ E d E d 0 0 (3.59) Devido ao fato de que, na Figura 3.19, o vetor E ser paralelo aos vetores ds2 e ds3, e considerando que E é constante nas superfícies S2 e S3, a equação 3.59 torna-se: ∫ ∫ = + ε ε 2 3 S S 3 2 Q E ds ds E 0 0 (3.60) Na equação 3.60 ds2 e ds3 são os elementos diferenciais de superfície das tampas inferior e superior do cilindro mostrado utilizado como superfície Gaussiana. A área destas tampas, conforme mostrado na Figura 19, possui valor A. Assim a equação 3.60 torna-se: Q E A E A = + ε ε 0 0 (3.61) Da equação 3.61 resulta: A 2 Q E ε0 = (3.62) A carga Q, na equação 3.62, é carga envolvida pela superfície Gaussiana que corresponde à carga distribuída na área resultante da intersecção do plano de cargas com a superfície Gaussiana. Conforme mostra a Figura 3.19, a carga Q pode ser escrita como sendo: A Q = ρs (3.63) Substituindo a equação 3.63 na equação 3.62 obtém-se: ε0 ρ = 2 E s (3.64) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 116 Uma vez que o campo devido a uma distribuição superficial de cargas, conforme mostrado na Figura 3.16, é perpendicular à distribuição, conclui-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição superficial de cargas com densidade de cargas constante e localizada no plano xy é escrito como sendo:        < − πε ρ > πε ρ = 0 para z ; ) ( 2 0 para z ; 2 0 s 0 s z z â â E (3.65) A equação 3.65 mostra que o resultado obtido com a Lei de Gauss é idêntico ao resultado obtido com a Lei de Coulomb. No entanto a aplicação da Lei de Gauss é mais simples que a aplicação da Lei de Coulomb. 3.4 Aplicação da Lei de Gauss em distribuições assimétricas de cargas Considere agora um sistema de cargas elétricas sem simetria, em que não seja possível definir uma superfície Gaussiana. Para este sistema, o fluxo através da superfície fechada não pode ser calculado. Para contornar a dificuldade resultante da assimetria da distribuição de cargas, deve-se escolher uma superfície s, fechada, muito pequena cujo volume seja infinitesimal e aplicar a lei de Gauss. Teremos então: Q s . s = ∫ D d (3.66) Na equação 3.66 Q é a carga envolvida pela superfície fechada s e o vetor D é a densidade de fluxo que é escrita como sendo: E D = ε0 (3.67) Dividindo os dois lados da equação 3.66 pelo volume ∆vol da superfície fechada s obtém-se: vol Q vol s . s = ∆ ∆ ∫ d D (3.68) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 117 Uma vez que o volume da superfície fechada tende a zero, a superfície s tende a um ponto e a equação 3.68 deve ser escrita na forma: vol Q lim vol s . lim 0 vol s 0 vol ∆ = ∆ → ∆ ∆ → ∫ d D (3.69) O lado esquerdo da equação 3.69 corresponde ao divergente da densidade de fluxo D no ponto, enquanto que o lado direito corresponde à densidade volumétrica de cargas neste ponto. Assim, a equação 3.69 passa a ser escrita como sendo: v . ∇ D = ρ (3.69) A equação 3.69 é denominada forma diferencial da lei de Gauss e é a primeira das quatro equações de Maxwell. Considere agora uma superfície genérica s fechada, conforme mostra a Figura 3.20, que possua uma densidade volumétrica de cargas igual a ρv C/m3. Figura 3.20 - Superfície fechada s com uma densidade volumétrica de cargas ρv C/m3 Aplicando a Lei de Coulomb na superfície fechada mostrada na Figura 3.20, obtém-se: Q s . s = ∫ D d (3.70) A carga total Q, envolvida pela superfície fechada s mostrada na Figura 3.20 é escrita como sendo: ∫ρ = vol v dvol Q (3.71) Na equação 3.71 vol é o volume da superfície fechada s. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 118 Igualando as equações 3.70 e 3.71: ∫ ∫ ρ = vol v s dvol D.ds (3.72) Substituindo a expressão de ρv, mostrada na equação 3.69, na equação 3.72 obtém-se: ∫ ∫ ∇ = vol s dvol . . s D D d (3.73) A equação 3.73 é o teorema da divergência. Esta equação mostra que o fluxo que atravessa uma superfície fechada s (lado esquerdo da equação) é igual à soma do fluxo que atravessa todos os pontos do volume definido pela superfície s (lado direito da equação). Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 119 Capítulo 4 Energia e Potencial 4.1 Energia necessária para mover uma carga pontual em um campo elétrico Considere uma carga pontual positiva em um ponto A de uma região do espaço em que há um campo elétrico E. Sabe-se que a carga Q ficará sujeita a uma força elétrica Fe que estará na mesma direção do campo elétrico E, conforme mostra a Figura 4.1. Fig. 4.1 - Carga Q em um campo elétrico E Caso não existam outras forças agindo na carga, ela se moverá na direção do campo elétrico, do ponto A em direção ao ponto B, no segmento de reta mostrado na Figura 4.2. Figura 4.2 - Carga movendo-se na direção do campo elétrico Observe, na Figura 4.2, que para mover a carga Q na direção do campo elétrico não há a necessidade de dispêndio de energia por parte de uma fonte externa, pois o movimento é provocado pela ação da força elétrica sobre a carga, força esta cuja origem é atribuída ao campo elétrico. Diz-se então que o campo elétrico realiza trabalho e não há dispêndio de energia por parte de uma fonte externa. E F Q Ponto A E A B Direção do movimento da carga Q Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 120 Considere agora que a carga Q é movida em direção contrária ao campo, ou seja, do ponto A até o ponto B ao longo do segmento de reta mostrado na Figura 4.3. Figura 4.3 - Carga movendo-se na direção contrária à direção do campo elétrico Para que a carga Q execute o movimento mostrado na Figura 4.3 é necessário o dispêndio de energia de uma fonte externa (realização de trabalho), que exige a presença de uma força externa Fext de mesma intensidade, mas com direção contrária à direção da força elétrica Fe conforme mostra a Figura 4.4. Figura 4.4 - Carga movendo-se, devido à ação da força externa Fext, na direção contrária à direção do campo elétrico A força elétrica aplicada na carga Q, de acordo com a Lei de Coulomb, é escrita como sendo: E Fe = Q (4.1) A força externa, necessária para mover a carga na direção contrária à direção do campo elétrico é escrita como sendo: e ext F F = − (4.2) E B A Direção do movimento da carga Q E B A Direção do movimento da carga Q Fe Fext Carga Q Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 121 Substituindo a equação 4.1 na equação 4.2 obtém-se: E Fext = −Q (4.3) Uma vez conhecida a força externa, é possível obter o trabalho que esta força realiza quando a carga Q é movida, em direção contrária à direção do campo elétrico conforme mostra a Figura 4.4, do ponto A até o ponto B. Este trabalho é dado por: ∫ = final início . W Fext dL (4.4) Substituindo a equação 4.3 na equação 4.4: ∫ − = final início . Q W E dL (4.5) Na equação 4.5 W é o trabalho necessário para mover a carga de um ponto A até um ponto B, sendo que estes pontos são genéricos. A associação do sinal do trabalho (positivo ou negativo) com o agente que realiza o trabalho (campo elétrico ou fonte externa de energia) pode ser realizada a partir da resolução dos exemplos 4.1 e 4.2. Exemplo 4.1) Considere um campo elétrico constante E0 na direção do eixo x, e uma carga positiva Q0 que é movida de x1 = 2 até x2 = 5 sobre um segmento de reta. Determine o trabalho necessário para mover a carga. (Resposta: W = -3Q0E0) Exemplo 4.2) Repita o exemplo 4.1, considerando agora que a carga é movida de de x1 = 5 até x2 = 2. (Resposta: Resposta: W = 3Q0E0) Exemplo 4.3) Dado o campo elétrico E = zâx – 3y2ây + xâz V/m, determine o trabalho realizado para mover uma carga de 7 µC ao longo de um caminho incremental de 1 mm de comprimento na direção do vetor a = 2âx – 6ây - 3âz , localizado no ponto A(1,2,3). Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 122 Exemplo 4.4) Dado o campo elétrico E = y âx + x ây + 2 âz V/m, determine o trabalho realizado para mover uma carga de 2 C do ponto B(1,0,1) até o ponto A(0,8;0,6;1) ao longo dos seguintes caminhos: a) x2 + y2 = 1 e z = 1; b) ao longo de uma reta que passa pelos pontos A e B. Exemplo 4.5) Determine o trabalho realizado para mover uma carga de prova Q, do ponto A(ρ1, φ1, z1) até o ponto B(ρ2, φ2, z2), no campo de uma distribuição linear de cargas localizada sobre o eixo z. Exemplo 4.6) Determine o trabalho realizado para mover uma carga de prova Q em um campo elétrico resultante de uma distribuição superficial de cargas localizada no plano z=0, no caminho fechado mostrado em seguida. Os resultados obtidos nos exemplos 4.1 e 4.2 mostram que quando a carga é movida na direção do campo o trabalho é negativo e que quando a carga é movida em direção contrária à direção do campo o trabalho é positivo. Portanto conclui-se que quando o campo realiza trabalho, a equação 4.5 fornece um resultado negativo e quando o trabalho é realizado por uma fonte externa o resultado obtido é positivo. Os resultados do exemplo 4.4 mostram que o trabalho independe do caminho seguido pela carga. Os resultados do exemplo 4.5 mostram que quando o movimento da carga ocorre em uma direção perpendicular ao campo elétrico, não há a realização de trabalho. Os resultados obtidos nos exemplos 4.5 e 4.6 mostram que o trabalho para mover uma carga em um caminho fechado, em um campo elétrico, não há a realização de trabalho. Uma vez que o trabalho independe do caminho, conclui-se que o campo elétrico é um campo conservativo. x y z B(3,0,5) A(1,-1,2) C(7,4,3) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 123 4.2 Diferença de potencial elétrico Considere uma carga Q, em uma região do espaço em que há um campo elétrico E, que é movida do ponto B até o ponto A no caminho mostrado na Figura 4.5. Figura 4.5 - Carga Q movida do ponto B até o ponto A O trabalho para mover a carga Q, no caminho definido na Figura 4.5, é escrito como sendo: ∫ − = A B . Q W E dL (4.6) Define-se diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B, VAB, ao trabalho realizado para movimentar uma carga unitária (Q=1 C) do ponto B até o ponto A, ou seja: − ∫ = A B AB . V E dL (4.7) Observe que, a partir das equações 4.6 e 4.7, é possível escrever: Q W VAB = (4.8) A diferença de potencial elétrico é medida em volts, sendo que: Coulomb x metro Newton Coulomb Joule 1 volt = = (4.9) x y z B A E(x,y,z) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 124 Com base na definição, verifica-se que a diferença de potencial elétrico é uma grandeza escalar relacionada a dois pontos de uma região do espaço em que há um campo elétrico E que é uma grandeza vetorial. Uma vez conhecida a diferença de potencial elétrico VAB entre os pontos A e B de um campo elétrico é possível, a partir da equação 4.8, determinar a energia W necessária para mover uma carga Q entre os pontos B e A sem que seja necessário conhecer o campo elétrico. Exemplo 4.7) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que existe um campo elétrico devido a uma carga pontual Q. Exemplo 4.8) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que existe um campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas, com densidade l de cargas constante ρL C/m, localizada no eixo z. Exemplo 4.9) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que existe um campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas, com densidade superficial de cargas constante ρS C/m2 localizada no plano z=0. 4.3 Potencial elétrico 4.3.1 Potencial elétrico devido a uma carga pontual Considere o caminho definido pelos pontos A e B, em uma região do espaço em que há um campo elétrico E devido a uma carga pontual Q, conforme mostra a Figura 4.6. Figura 4.6 - Campo elétrico devido a uma carga pontual e caminho definido entre os pontos A e B R A(RA, ϴA, ФA) B(RB, ϴB, ФB) E Carga pontual Q dL Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 125 O campo elétrico E devido à carga pontual mostrada na Figura 4.6 é dado por: r 0R2 4 Q â E = πε (4.10) Na equação 4.10 R é o módulo do vetor R. Na Figura 4.6 a diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é escrita como sendo: − ∫ = A B AB . V E dL (4.11) Na equação 4.11 dL é o elemento diferencial de comprimento, em coordenadas esféricas, escrito como sendo: φ θ θ φ + θ + = â â â dL R R sen d R d dR (4.12) Substituindo as equações 4.10 e 4.12 na equação 4.11 obtém-se: ( ) ∫ φ θ θ φ + θ + πε − = A B 2 0 AB R sen d R d dR R 4 Q V â â â â R R . . . . (4.13) Desenvolvendo a equação 4.13: ∫ − πε = A B 2 2 0 AB dR R 1 R 4 Q V (4.14) Da equação 4.14 obtém-se:       − πε = B A 0 AB R 1 R 1 4 Q V (4.15) A equação 4.15 pode ser escrita como sendo: B A AB V V V − = (4.16) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 126 Na equação 4.16 os termos VA e VB são denominados potencial elétrico nos pontos A e B, respectivamente. Verifica-se, a partir da equação 4.15 que VA e VB são escritos como sendo: A 0 A R 1 4 Q V = πε (4.17) B 0 B R 1 4 Q V = πε (4.18) Observe que o potencial elétrico é uma grandeza escalar que está associada aos pontos de uma região do espaço em que há um campo elétrico. Mas, qual é o significado desta grandeza? Para entender o significado do potencial elétrico, considere uma carga pontual Q e os pontos A e P situados a distâncias RA e RP da carga Q, respectivamente, conforme mostra a Figura 4.7. Figura 4.7 - Potencial elétrico nos pontos A e P A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e P pode ser escrita em função dos potenciais elétricos nos pontos A e P, na forma: P A AP V V V − = (4.19) Sendo: P 0 P R 1 4 Q V = πε (4.20) Considerando que o ponto P está bem distante da carga pontual Q é possível fazer RP→∞ e, consequentemente, o potencial elétrico no ponto P é nulo e a equação 4.19 torna-se: A P Carga pontual Q RA RP Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 127 A AP V V = (4.21) A equação 4.21 mostra que o potencial elétrico VA no ponto A corresponde à energia necessária para levar uma carga unitária de um ponto onde o potencial elétrico é nulo (RP→∞) até o ponto A que está a uma distância RA em relação à carga pontual Q. De maneira genérica, podemos definir a função potencial V(r) elétrico ou potencial elétrico como sendo o trabalho para mover uma carga unitária, em uma região em que há um campo elétrico devido a uma carga pontual Q, do infinito até uma distância r da carga pontual. O potencial elétrico é um campo escalar que está relacionado a um campo vetorial que é o campo elétrico. O potencial elétrico V(r) é escrito como sendo: r 1 4 Q )r( V = πε0 (4.22) Observe que todos os pontos que estão a uma mesma distância em relação à carga pontual Q possuem o mesmo potencial elétrico e diz-se que a superfície constituída pelos pontos que estão a um mesmo potencial é denominada superfície equipotencial. Para o caso do campo devido a uma carga pontual, as superfícies equipotenciais são superfícies esféricas cujo centro é o ponto onde está localizada a carga pontual. A Figura 4.8 mostra as superfícies equipotenciais, projetadas no plano zy, de uma carga pontual localizada na origem. Em um plano, estas superfícies equipotenciais são circunferências concêntricas cujo centro está na origem. Figura 4.8 - Superfícies equipotenciais para o campo elétrico de uma carga pontual x y z Superfície equipotencial com potencial V2 Superfície equipotencial com potencial V1 E1 E2 Q R1 R2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 128 Na Figura 4.8 R1 e R2 são os raios das superfícies equipotenciais de potenciais elétricos V1 e V2, respectivamente. Com base na equação 4.20 conclui-se que o potencial elétrico V1 é maior que o potencial elétrico V2. Observe que o campo elétrico, por ser radial, é perpendicular a qualquer superfície equipotencial. A Figura 4.9 mostra uma superfície equipotencial para o campo elétrico devido a uma carga pontual Q. Fonte: http://clicprovas.com/esfera/ Figura 4.9 - Superfície equipotencial para o campo elétrico de uma carga pontual Considere, na Figura 4.9, dois pontos A e B distintos sobre a superfície equipotencial e um caminho definido sobre a superfície equipotencial. Neste caminho, o raio R é constante e, consequentemente, dR é nulo. Assim, o elemento de comprimento dL é escrito como sendo: φ θ θ φ + θ = â â dL R sen d R d (4.23) O campo elétrico E devido á carga pontual Q é dado por: r 0R2 4 Q â E = πε (4.24) O trabalho realizado para mover a carga Q0 entre os pontos B e A é escrito como sendo: ∫ − = A B 0 . Q W E dL (4.25) Substituindo as equações 4.23 e 4.24 na equação 4.25 obtém-se: Q E Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 129 ) R sen d (. R d R 4 Q W r A B 2 0 φ θ θ φ + θ πε = − ∫ â â â (4.26) Desenvolvendo a equação 4.23, obtém-se: W = 0 (4.27) A equação 4.27 mostra que quando uma carga é movida sobre uma superfície equipotencial o trabalho W para mover esta carga é nulo. Este fato acontece porque o campo elétrico é perpendicular à superfície equipotencial. 4.3.2 Potencial elétrico devido a um sistema discreto de cargas Considere uma carga pontual Q1 e um ponto P conforme mostra a Figura 4.10. Figura 4.10 - Potencial elétrico devido a uma carga pontual O potencial elétrico no ponto P, que corresponde à energia necessária para trazer uma carga unitária do infinito até o ponto P considerando o campo elétrico resultante da carga Q1, é escrito como sendo: r- 1r r 1 4 Q ( ) V 0 1 = πε (4.28) Considere que uma carga Q2 é adicionada ao sistema mostrado na Figura 4.10, conforme mostra a Figura 4.11. r Q1 P r1 r - r1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 130 Figura 4.11 - Potencial elétrico devido a duas cargas pontuais O potencial elétrico no ponto P, que corresponde à energia necessária para trazer uma carga unitária do infinito até o ponto P, deve levar em conta o campo resultante das cargas Q1 e Q2. Portanto o potencial elétrico no ponto P torna-se: 2 1 r -r r -r r 1 4 Q 1 4 Q ( ) V 0 2 0 1 + πε = πε (4.28) Adicionando uma terceira carga ao sistema, teremos o sistema mostrado na Figura 4.12. Figura 4.12 - Potencial elétrico devido a três cargas pontuais O potencial elétrico no ponto P, mostrado na Figura 4.12, corresponde à energia necessária para mover uma carga unitária do infinito até o ponto P, levando em conta o campo elétrico resultante das cargas Q1, Q2 e Q3. O potencial elétrico no ponto P será então escrito como sendo: r Q1 P r1 r - r1 Q2 r2 r – r2 r Q1 P r1 r - r1 Q2 r2 r – r2 Q3 r – r3 r3 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 131 3 2 1 r-r r-r r-r r 1 4 Q 1 4 Q 1 4 Q ( ) V 0 3 0 2 0 1 + πε + πε = πε (4.29) Com base no desenvolvimento que foi feito pra três cargas pontuais, conclui-se que o potencial elétrico em um ponto P devido a n cargas pontuais é escrito como sendo: n 3 2 1 r -r r -r r -r r -r r 1 4 Q 1 4 Q 1 4 Q 1 4 Q ( ) V 0 n 0 3 0 2 0 1 + πε + + πε + πε = πε L (4.30) A equação 4.30 pode ser escrita na forma de um somatório, ou seja: ∑ = πε = n m 1 0 m 1 4 Q ( ) V r-rm r (4.31) A equação 4.31 mostra que à medida que aumenta a quantidade de cargas, há um aumento do potencial elétrico em um ponto P qualquer. Este fato ocorre pelo fato de que o potencial elétrico equivale à energia necessária para levar uma carga unitária do infinito até o ponto P, levando em conta o campo elétrico presente. Uma vez que o aumento da quantidade de cargas faz com que o campo elétrico também aumente, há um aumento na energia necessária para mover a carga neste campo e, consequentemente, há um aumento no potencial elétrico. 4.3.3 Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas A Figura 4.13 mostra uma distribuição volumétrica de cargas e um ponto P, localizado a uma distância r da origem, onde se deseja determinar o potencial elétrico devido a esta distribuição de cargas. Figura 4.13 - Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas r P x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 132 Para calcular o potencial elétrico no ponto P, vamos dividir o volume mostrado na Figura 4.13 em n elementos de volume ∆v conforme mostra a Figura 4.14. Figura 4.14 - Divisão do volume em n elementos de volume Na Figura 4.14, ∆vi corresponde ao volume do i-ésimo elemento de volume. Considerando que a distribuição de cargas possui uma densidade volumétrica de cargas ρv(r), onde r define a posição do elemento de volume em relação à origem, a carga de cada um dos elementos de volume mostrados na Figura 4.14 será escrita como sendo: 1 V 1 ( ) v Q ∆ = ρ 1r (4.32) 2 V 2 ( ) v Q ∆ = ρ 2r (4.33) n V n ) v ( Q ∆ = ρ nr (4.34) Considerando que cada elemento de volume possa ser considerado uma carga pontual, o potencial elétrico no ponto P será dado por: n 2 1 r-r r-r r-r r 1 4 Q 1 4 Q 1 4 Q ( ) V 0 n 0 2 0 1 + πε + + πε = πε L (4.35) Substituindo as equações 4.32 - 4.34 na equação 4.35 obtém-se: n n 2 2 1 1 r-r r r-r r r-r r r 0 n V 0 2 V 0 1 V 4 ) v ( 4 ( ) v 4 ( ) v V( ) πε ∆ + ρ + πε ∆ + ρ πε ∆ = ρ L (4.36) r2 rn r ∆v1 ∆v2 ∆vn r1 r - r1 r - r2 P r - rn x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 133 Fazendo o volume de cada elemento de volume tender a zero, cada elemento tenderá a ser um ponto na distribuição volumétrica de cargas, conforme mostra a Figura 4.15. Figura 4.15 - Divisão do volume em n elementos de volume com ∆v→0 A densidade volumétrica de cargas do elemento diferencial de volume dv’ mostrado na Figura 4.15 é escrita como sendo: dv' dQ ) V ( = ρ r' (4.37) Da equação 4.37 obtém-se: ( ) dv' dQ =ρV r' (4.38) O elemento diferencial de potencial elétrico no ponto P, devido ao elemento diferencial de carga contido no volume dv’ é escrito como sendo: r-r' r' r 0 V 4 ( )dv' dV( ) πε = ρ (4.39) Integrando a equação 4.39 em todo o volume da distribuição de cargas, obtém-se o potencial elétrico no ponto P devido a esta distribuição. Deste modo, obtém-se: ∫ πε ρ = vol 0 V 4 )dv' ( V( ) r -r' r' r (4.40) P x y z r r’ r - r’ Elemento diferencial de volume dv’ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 134 Com base na lei de Coulomb verifica-se que o campo elétrico no ponto P, devido à distribuição volumétrica de cargas mostrada na Figura 4.15, é escrito como sendo: r-r' -r' r -r' r r' E r ∫ πε ρ = vol 2 0 V 4 )dv' ( ( ) (4.41) Comparando o campo potencial elétrico e o campo elétrico de uma distribuição volumétrica de cargas, chega-se às seguintes conclusões: i) O campo elétrico e o campo potencial elétrico são características da distribuição de carga; ii) O campo elétrico é uma grandeza vetorial enquanto que o campo potencial elétrico é uma grandeza escalar; iii) O campo elétrico é mais difícil de ser obtido, pois requer uma integração de volume (caso de uma distribuição volumétrica de cargas) em cada uma das direções do espaço, enquanto que o campo potencial elétrico requer somente uma integração devido ao fato de ser uma grandeza escalar. Exemplo 4.10) Determine o potencial elétrico em um ponto P(0,0,z) devido a uma distribuição linear de cargas na forma de um anel de raio R, localizado no plano z =0. Exemplo 4.11) Determine o potencial elétrico em um ponto P(0,0,z) devido a uma distribuição superficial de cargas em um disco de raio R localizado no plano z =0. 4.4 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico Sabe-se que um campo vetorial conservativo pode ser escrito como sendo o gradiente de um campo escalar denominado função potencial. No caso do campo elétrico, a função potencial é o potencial elétrico. Portanto, uma vez obtido o potencial elétrico é possível obter o campo elétrico a partir da seguinte relação: E = −∇V (4.42) A equação 4.42 mostra que se a função potencial elétrico for conhecida, é possível obter o campo elétrico a partir de uma simples diferenciação desta função. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 135 As equações 4.40 e 4.41 mostram que o campo elétrico é mais difícil de ser obtido, pois requer uma integração de volume (caso de uma distribuição volumétrica de cargas) em cada uma das direções do espaço, enquanto que o campo potencial elétrico requer somente uma integração devido ao fato de ser uma grandeza escalar. Uma vez obtido o potencial elétrico, é possível obter o campo elétrico por meio de uma simples diferenciação. O cálculo do campo a partir do gradiente do potencial é o terceiro método, estudado nesta disciplina, de obter o campo elétrico de uma distribuição de cargas. Os outros métodos estudados foram a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss. Exemplo 4.12) Determine o campo elétrico, a partir do potencial elétrico, em um ponto P(0,0,z) devido a uma distribuição linear de cargas na forma de um anel de raio R, localizado no plano z =0. Exemplo 4.13) Determine o campo elétrico, a partir do potencial elétrico, em um ponto P(0,0,z) devido a uma distribuição superficial de cargas em um disco de raio R localizado no plano z =0. Exemplo 4.14) Determine o potencial elétrico e o campo elétrico, em um ponto P(r, θ,ϕ), devido a um dipolo. 4.5 Energia armazenada em um campo eletrostático Considere uma região do espaço em que, inicialmente, não há cargas elétricas. Nestas condições uma carga Q1 é levada do infinito até um ponto P1 no caminho mostrado na Figura 4.16. Fig. 4.16 - Movimento de Q1 do infinito até o ponto P1 P1 x y z ∞ Q1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 136 Uma vez que não há outras cargas, a movimentação da carga Q1 até o ponto P1 não exige dispêndio de energia. Portanto o trabalho W1 necessário para mover Q1 do infinito até o ponto P1 é escrito como sendo: W1 = 0 (4.48) A carga Q1, fixada no ponto P1, irá produzir um campo elétrico E escrito como sendo: r 0R2 4 Q â E = πε (4.49) A Figura 4.17 mostra o campo elétrico E, devido à carga Q1, em um ponto P2. Fig. 4.17 - Campo elétrico em P2, devido a Q1 Agora uma carga Q2 é levada do infinito até um ponto P2, próximo ao ponto P1, conforme mostra a Figura 4.18. Fig. 4.18 - Movimento de Q2 do infinito até o ponto P2 considerando a presença de Q1 Observe que o trabalho para mover Q2 até o ponto P2 não é nulo, pois existe o campo elétrico devido à presença de Q1 no ponto P1. A energia necessária para mover Q2 do infinito até o ponto P2 é dada por: x y z P1 P2 Q1 R12 E x y z ∞ Q1 Q2 P1 P2 R12 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 137 ∫ ∞ − = 2 P 2 2 . Q W E dL (4.50) Substituindo a equação 4.49 na equação 4.50, e fazendo as demais operações, obtém-se: 12 0 1 2 2 R 4 Q Q W πε = (4.51) As cargas Q1 e Q2 irão produzir um campo elétrico, em um ponto P3, conforme mostra a Figura 4.19. Fig. 4.19 - Campo elétrico em P3, devido a Q1 e a Q2 Na Figura 4.19 o campo elétrico em P3 é escrito sob a forma: r23 2 23 0 2 r13 2 13 0 1 R 4 Q R 4 Q â â E πε + = πε (4.52) Agora uma carga Q3 é levada do infinito até um ponto P3, próximo aos pontos P1 e P2, conforme mostra a Figura 4.20. Fig. 4.20 - Movimento de Q3 até o ponto P3 considerando a presença de Q1 e de Q2 x y z E P3 P1 P2 Q1 Q2 R13 R23 x y z ∞ R13 R23 Q3 P3 P1 P2 Q1 Q2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 138 Observe que o trabalho para mover Q3 até o ponto P2 deve levar em conta o campo elétrico devido às cargas Q1 e Q2. A energia necessária para mover Q3 do infinito até o ponto P3 é dada por: ∫ ∞ − = 3 P 3 3 . Q W E dL (4.53) Substituindo a equação 4.70 na equação 4.71, e fazendo as demais operações, obtém-se: 23 0 2 3 13 0 1 3 3 R 4 Q Q R 4 Q Q W πε + πε = (4.54) A energia total necessária para montar o sistema de três cargas é escrita como sendo: 3 2 1 W W W W + + = (4.55) Substituindo as equações 4.48, 4.50 e 4.51 na equação 4.55 verifica-se que a energia necessária para montar o sistema de cargas é dada por: 23 0 2 3 13 0 1 3 12 0 1 2 R 4 Q Q R 4 Q Q R 4 Q Q 0 W πε + πε + πε + = (4.56) Para montar o sistema de cargas, considerou que a primeira carga a ser introduzida no sistema foi a cargas Q1, sendo seguida pelas cargas Q2 e Q3 (sequência Q1, Q2, Q3). Outras ordens de chegada das cargas poderiam ter sido adotadas. Por exemplo, poderia ter sido considerado que a primeira carga a ser colocada no sistema tivesse sido a carga Q3, seguida pelas cargas Q2 e Q1 (sequência Q3, Q2, Q1). No entanto, independentemente da sequência para a chegada das cargas, a energia necessária para montar o sistema é a mesma energia W. Vamos então analisar a energia necessária para constituir o sistema de três cargas, considerando que a sequência de chegada das cargas seja Q3, Q2, Q1. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 139 A primeira carga a fazer parte do sistema será a carga Q3, que será levada do infinito até o ponto P3 considerando que não há outras cargas no sistema, conforme mostra a Figura 4.21. Fig. 4.21 - Movimento de Q3 do infinito até o ponto P3 Uma vez que não há outras cargas presentes o campo elétrico inicial do sistema é nulo, ou seja: 0 ' W 3 = (4.57) A próxima carga a ser levada ao sistema é a carga Q2. Esta carga será levada do infinito até o ponto P2, conforme mostra a Figura 4.22. Fig. 4.22 - Movimento de Q2 do infinito até o ponto P2 considerando a presença de Q3 A movimentação de Q2 do infinito até o ponto P2 requer energia, pois há no sistema o campo elétrico devido à presença de Q3. A energia necessária para levar Q2 do infinito até o ponto P2 é escrita como sendo: P3 x y z ∞ Q3 x y z ∞ Q3 Q2 P3 P2 R32 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 140 32 0 3 2 2 R 4 Q Q W' πε = (4.58) Em seguida a carga Q1 será levada do infinito até o ponto P1, conforme mostra a Figura 4.23. Fig. 4.23 - Movimento de Q1 até o ponto P1 considerando a presença de Q3 e de Q2 A energia necessária para mover Q1 do infinito até o ponto P1, considerando a presença de Q3 e de Q2 é dada por: 21 0 2 1 31 0 3 1 1 R 4 Q Q R 4 Q Q W' πε + πε = (4.59) A energia total necessária para montar o sistema na sequência Q3, Q2, Q1 será: 1 2 3 W W W W' + + = (4.60) Substituindo as equações 4.57, 4.58 e 4.59 na equação 4.60, verifica-se que a energia necessária para montar o sistema de cargas, na sequência Q3, Q2, Q1, é dada por: 21 0 2 1 31 0 3 1 32 0 3 2 R 4 Q Q R 4 Q Q R 4 Q Q 0 W πε + πε + πε + = (4.61) A energia necessária para montar o sistema de três cargas é a mesma, independentemente da sequência das cargas. Assim a soma das equações 4.56 e 4.61 resultam em: x y z ∞ R31 R21 Q1 P1 P3 P2 Q3 Q2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 141       πε + πε  +      πε + πε  +      πε + πε = 13 0 1 23 0 2 3 12 0 1 32 0 3 2 21 0 2 31 0 3 1 R 4 Q R 4 Q Q R 4 Q R 4 Q Q R 4 Q R 4 Q Q W 2 (4.62) Com base no conceito de potencial elétrico, verifica-se que o termo que multiplica Q1, na equação 4.62, corresponde ao potencial no ponto P1 devido à presença das cargas Q3 e Q2. De mesmo modo verifica-se que o termo que multiplica Q2 corresponde ao potencial elétrico no ponto P2 resultante da ação das cargas Q1 e Q3, e que o termo que multiplica Q3 corresponde ao potencial elétrico no ponto P3 devido à presença das cargas Q2 e Q1. Denominando os potenciais mencionados anteriormente de V1, V2 e V3, teremos: 21 0 2 31 0 3 1 R 4 Q R 4 Q V πε + πε = (4.63) 12 0 1 32 0 3 2 R 4 Q R 4 Q V πε + πε = (4.64) 13 0 1 23 0 2 3 R 4 Q R 4 Q V πε + πε = (4.65) Substituindo as equações 4.63-4.65 na equação 4.62, e fazendo as demais operações, obtém-se: ( 3 ) 3 2 2 1 1 Q V Q V 2 Q V 1 W + + = (4.66) A equação 4.66 mostra a energia necessária para montar um sistema de três cargas. Diz-se que esta energia está armazenada no campo elétrico resultante destas cargas. Então, a energia armazenada em um sistema de N cargas é escrita como sendo: ∑ = = N i 1 QiVi 2 1 W (4.67) Na equação 4.67 Vi corresponde ao potencial elétrico no ponto Pi considerando todas as cargas, com exceção da i-ésima carga. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 142 Se considerarmos uma distribuição volumétrica de cargas, a carga contida em um elemento diferencial de volume será: dvol dQ = ρv (4.68) Substituindo a equação 4.68 na equação 4.67: ∑ = ρ = N i 1 i i v dvol V 2 1 W (4.69) Na equação 4.69 Vi é o potencial no local onde se encontra o i-ésimo elemento de carga. Se este elemento de cargas for infinitamente pequeno, a equação 4.69 torna-se: Vdvol 2 1 W vol ∫ρv = (4.70) A equação 4.70 representa a energia armazenada em um campo elétrico resultante de uma distribuição volumétrica de cargas. Observe que o integrando é diferente de zero somente nos pontos em que houver densidade de cargas (ρv≠0). Portanto o domínio de integração corresponde à região do espaço em que existe densidade de cargas. Na equação 4.70 a energia armazenada no campo elétrico foi expressa em função do potencial elétrico e da densidade volumétrica de cargas. No entanto esta energia pode ser expressa em função do campo elétrico. Para isto considere a primeira equação de Maxwell, ou seja: v . ρ ∇ D = (4.71) Substituindo a equação 4.71 na equação 4.70 obtém-se: ( ) ∫ ∇ = vol Vdvol . 2 1 W D (4.72) Das propriedades do cálculo vetorial têm-se: V) (. ) . V( ) (. V ∇ + ∇ = ∇ D D D (4.73) Da equação 4.73 obtém-se: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 143 V) (. ) (. V ) V( . ∇ − = ∇ ∇ D D D (4.74) Substituindo a equação 4.74 na equação 4.72 têm-se: ∫ ∫ ∇ − ∇ = vol vol V)dvol (. 2 1 )dvol (. V 2 1 W D D (4.75) Com base no teorema da divergência, é possível escrever: ∫ ∫ = ∇ s vol . V )dvol (. V D ds D (4.76) Substituindo a equação 4.76 na equação 4.75 têm-se: ∫ ∫ ∇ − = vol s V)dvol (. 2 1 . s V 2 1 W D D d (4.77) Sabe-se que o potencial elétrico e o campo elétrico possuem a seguinte relação: E = − ∇V (4.78) A densidade de fluxo elétrico D pode ser escrita como sendo: E D = ε (4.79) Substituindo as equações 4.78 e 4.79 na equação 4.77 obtém-se: ∫ ∫ ε + ε = vol s dvol . 2 1 . s V 2 1 W E E E d (4.80) Desenvolvendo o produto escalar E.E a equação 4.80 torna-se: ∫ ∫ ε + ε = vol 2 s dvol 2 1 . s V 2 1 W E E d (4.81) Verifica-se que a integral de superfície, que corresponde ao fluxo de VE através da superfície S, mostrada na equação 4.81 é nula em qualquer situação. Este fato será comprovado a partir de dois exemplos que serão mostrados em seguida. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 144 Exemplo 4.15) Calcule a energia armazenada no campo elétrico de uma distribuição superficial de cargas constante ρs C/m2 no formato de uma superfície esférica de raio R0. Exemplo 4.16) Calcule a energia armazenada no campo elétrico produzido pelas cargas +Q e -Q distribuídas nas superfícies esféricas concêntricas mostradas em seguida. Figura para o exemplo 4.16 Os exemplos 4.15 e 4.16 mostram que a integral de superfície da equação 4.81 é sempre nula. Assim a energia armazenada no campo elétrico, resultante de uma distribuição de cargas, é escrito como sendo: ∫ε = vol 2 dvol 2 1 W E (4.82) Na equação 4.82 |E| é o módulo do campo elétrico E. Esta equação mostra a energia armazenada em um campo elétrico, considerando o volume em que este campo elétrico E se manifesta. Exemplo 4.17) Determine a energia armazenada no campo elétrico de um cabo coaxial de comprimento L. Exemplo 4.18) Considere uma nuvem, cujo formato pode ser considerado uma esfera de raio a = 1 km, com uma distribuição volumétrica de cargas igual a 10 ηC/m3. Determine a energia associada a esta nuvem (energia armazenada no campo elétrico da nuvem). R1 R2 Superfície esférica com carga distribuída -Q Superfície esférica com carga distribuída +Q Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 145 Capítulo 5 Condutores, Dielétricos e Capacitâncias 5.1 Introdução Para que uma carga elétrica se mova é necessário que uma força atue sobre ela. Esta força pode ser de origem mecânica (por exemplo, o movimento de partículas carregadas, no interior de uma nuvem, devido à ação do vento), elétrica (devido a um campo elétrico) ou térmica (efeito termoiônico, que é a emissão de elétrons pela superfície de um metal aquecido). O movimento de cargas também pode ocorrer por meio da liberação de cargas dos átomos (devido às colisões que ocorrem no interior do átomo). O movimento de cargas elétricas (elétrons, prótons ou íons) constitui um fluxo, ou corrente, que depende do tipo de mecanismo que deu origem ao movimento das cargas. Dentre os diversos tipos de corrente, podemos citar a corrente de convecção e a corrente de condução sendo que a principal diferença entre estes dois tipos é que a corrente de convecção não necessita de um campo elétrico para ser estabelecida enquanto que a corrente de condução existe somente na presença de um campo elétrico. 5.2 Corrente e vetor densidade de corrente Considere um elemento diferencial de volume ∆vol, com comprimento ∆x e seção transversal ∆S, que se move com uma velocidade constante V, ao longo de um corpo cilíndrico conforme mostra a Fig. 5.1. Fig. 5.1 - Movimento de um elemento de volume V Seção transversal com área ∆s ∆L Elemento de volume ∆vol Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 146 Considere que o volume ∆vol possua N partículas por unidade de volume e que estas partículas possuam uma carga elétrica q. Assim, a carga total no interior do volume ∆vol é escrita como sendo: Nq vol Q ∆ = ∆ (5.1) Considerando que todas as partículas contidas no volume ∆vol movem-se com velocidade constante V, e que este volume atravessa a superfície ∆S em um intervalo de tempo ∆t é possível escrever: t x ∆ ∆ = V (5.2) O volume ∆vol é dado por: S x vol = ∆ ∆ ∆ (5.3) Substituindo a equação 5.2 na equação 5.3: t S vol ∆ = ∆ ∆ V (5.4) Substituindo a equação 5.4 na equação 5.1: t N q S Q ∆ ∆ = ∆ V (5.5) Dividindo os dois lados da equação 5.5 por ∆t obtém-se: N q S V t Q ∆ = ∆ ∆ (5.6) Na equação 5.6 o termo Nq corresponde à densidade volumétrica de cargas ρv que está atravessando a superfície ∆S. Assim, a equação 5.6 passa a ser escrita na forma: S V t Q = ρv ∆ ∆ ∆ (5.7) A equação 5.7 mostra a quantidade de cargas, por unidade de tempo, que atravessa a superfície ∆S. A esta relação dá-se o nome de corrente elétrica, cuja unidade Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 147 é Coulombs/segundo (C/s) mais conhecida como ampére (A). Portanto a corrente elétrica I pode ser escrita de duas formas, conforme mostram as equações 5.8 e 5.9.: t Q I ∆ = ∆ (5.8) S I v ∆ = ρ V (5.9) A equação 5.9 foi obtida para o caso particular em que as partículas movem-se em uma direção perpendicular à superfície ∆S. Vamos agora definir a densidade de corrente considerando que a direção do movimento das partículas e a superfície ∆S não são perpendiculares. Para isto, considere a Fig. 5.2 onde a velocidade V do elemento de volume e a área ∆S1 não são paralelas. Fig. 5.2 - Movimento de cargas de um elemento de volume considerando que a velocidade e a superfície não são paralelas A Figura 5.2 pode ser desenhada de forma bidimensional conforme mostra a Figura 5.3. Figura 5.3 - Vista bidimensional do elemento de volume em que a velocidade e a superfície não são paralelas Conforme mostrado na equação 5.9, a corrente I através do elemento de superfície ∆S é escrita como sendo: S I v ∆ = ρ V (5.10) V ∆S1 ân ∆x θ v área ∆S1 área ∆S ân v θ Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 148 Da Figura 5.3 é possível verificar que a área ∆S é a projeção da área ∆S1. Deste modo, é possível escrever: θ ∆ = ∆ S cos S 1 (5.11) Substituindo a equação 5.11 na equação 5.10 obtém-se: θ ∆ = ρ S cos I 1 v V (5.12) Na equação 5.12 o termo |V|∆S1cosθ corresponde ao produto escalar entre V e ∆S1ân. Portanto a equação 5.12 torna-se: ân V 1 v S I ⋅ ∆ = ρ (5.13) Os termos ρv e V é uma característica das partículas que estão se movendo e estas duas variáveis definem a densidade de corrente, que é um vetor escrito como sendo: V J = ρv (5.14) Verifica-se, na equação 5.14, que a unidade da densidade de corrente J é o ampere/m2 (A/m2). Portanto, a corrente I pode ser escrita como sendo: ân J S1 I ⋅ ∆ = (5.15) A equação 5.15 mostra que a corrente corresponde ao produto escalar dos vetores densidade de corrente J e elemento de superfície ∆S1ân. Vamos considerar agora a situação em que o elemento de volume ∆vol atravessa uma superfície irregular, conforme mostra a Figura 5.4. Figura 5.4 - Elemento de volume atravessando uma superfície irregular superfície irregular com área S ∆L volume ∆vol V Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 149 Uma vez que a superfície da seção transversal é irregular, vamos considerar um pequeno elemento de superfície ∆Siâni na seção transversal, conforme mostrado na Figura 5.5. Figura 5.5 - Pequeno elemento de superfície ∆Siâni na superfície irregular Na Figura 6 âni é um vetor unitário que é perpendicular à superfície ∆si. Considerando que a superfície irregular, mostrada na Figura 5.9, foi dividida em n pequenas superfícies com área ∆si, é possível aplicar a equação 5.15 para obter a corrente em cada uma das superfícies ∆si. Assim, pode-se dizer que a corrente através da superfície irregular pode ser escrito, de maneira aproximada, como sendo: ∑ = ⋅ ∆ ≅ n i 1 i ) ( s I âni J (5.16) Fazendo ∆si tender a zero na Figura 5.9, a equação 5.16 torna-se: ∑ ∞ = ⋅ ∆ = i 1 i ) ( s I âni J (5.17) A equação 5.17 pode ser escrita como sendo: ∫ = S ⋅ ) (ds I ân J (5.18) O vetor dsi ân pode ser escrito como ds. Neste caso, o vetor ds representa um vetor que é perpendicular à superfície S em todos os pontos desta superfície. Deste modo a equação 5.18 torna-se: ∫ = S ⋅ (d ) I s J (5.19) ∆si V θi V âni ∆vol Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 150 A equação 5.19 mostra que a corrente elétrica corresponde ao fluxo da densidade de corrente através de uma superfície genérica S. 5.3 Corrente elétrica em materiais condutores e Lei de Ohm Um material dito condutor é caracterizado pelo fato de que a camada de valência (ultima camada com elétrons) de seus átomos estarem a uma distância relativamente grande do núcleo. Em razão da grande distância entre essa última camada e o núcleo, os elétrons ficam fracamente ligados com o núcleo, podendo, dessa forma, abandonar o átomo em virtude das forças que ocorrem no interior dos átomos. Esses elétrons que abandonam o átomo são chamados de “elétrons livres”. Os metais no geral são bons condutores de eletricidade, pois eles possuem elétrons livres. Na ausência de um campo elétrico externo, as cargas livres em um condutor metálico estão em um estado de movimento (caótico) aleatório, por causa de sua energia térmica. Esse é o chamado movimento térmico de cargas. A velocidade correspondente é a velocidade térmica que, em temperatura ambiente, é da ordem de 105 m/s. Em função da natureza aleatória, não há nenhum movimento líquido macroscópico em qualquer direção dada, isto é, a resultante vetorial média macroscópica de velocidades térmicas de cargas individuais, em qualquer ponto do condutor, é zero. Para existir uma corrente elétrica (definida como um fluxo macroscópico líquido de cargas livres) as cargas devem ter uma velocidade média macroscópica diferente de zero em alguma direção. Esta velocidade pode ser alcançada com a aplicação de um campo elétrico externo em um condutor. Vamos analisar incialmente a situação em que um condutor isolado, eletricamente neutro, é submetido a um campo elétrico externo Eext,. Vamos considerar, inicialmente, o condutor em um meio em que não há nenhum campo elétrico, conforme mostra a Figura 5.6. Fig. 5.6 - Material condutor em um meio sem campo elétrico externo A partir do momento em que o material é submetido ao campo elétrico externo Eext tem início um movimento de elétrons livres para o lado esquerdo, deixando um condutor Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 151 déficit de elétrons no outro lado do condutor, que corresponde a um movimento de cargas negativas em direção ao lado direito do condutor conforme mostra a Figura 5.7(a). O acúmulo de cargas positivas e negativas nas extremidades direita e esquerda, respectivamente, dá origem a outro campo elétrico interno ao material, denominado Eint, conforme mostra a Figura 5.7(b). Fig. 5.7 - Movimentação de cargas (a) e estabelecimento do campo Eint (b) no interior do condutor, durante um período transitório À medida que aumenta a concentração de cargas nos extremos do condutor, o campo Eint também aumenta. A movimentação de elétrons livres é interrompida no instante em que os campos Eext e Eint se anulam. A partir deste instante, o campo elétrico no interior do condutor é nulo e não há mais movimentação de cargas no interior do condutor. Esta situação é descrita na Figura 5.8. Fig. 5.8 - Condutor isolado, em um campo elétrico externo, após o período transitório Conclui-se que quando um condutor isolado é colocado na presença de um campo elétrico externo os elétrons livres se posicionam de modo a anular o campo elétrico no interior do material. O deslocamento de elétrons livre, neste processo de anulação do campo no interior do condutor, constitui uma corrente elétrica; porém, trata-se de uma corrente transitória, de curta duração. Vamos analisar agora a situação em que os terminais do condutor são conectados a uma pilha elétrica, ou bateria, formando um circuito fechado conforme mostra a Figura 5.9. - Eext - - - - + + + + + (a) - Eext - + + + - - - + + Eint (b) - - + + + - - + E = 0 - - + + Eext Eext Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 152 Fig. 5.9 - Circuito fechado O princípio de funcionamento de uma bateria baseia-se na ocorrência de uma reação química que fornece a energia para criar a corrente elétrica em seu interior. Essa reação cria uma força que empurra as cargas positivas para o polo positivo e puxa as cargas negativas para o polo negativo. Esta força de origem química provoca uma separação de cargas que cessa somente quando seu valor é igualado à força de repulsão (de origem elétrica) originada pelas cargas que já estão nos polos. Após o término do processo de separação de cargas é estabelecida uma diferença de potencial entre os polos positivo e negativo da bateria. Se a chave for fechada, será estabelecido um campo elétrico E no interior do condutor, conforme mostra a Figura 5.10. Fig. 5.10 - Circuito fechado Após o fechamento da chave, o campo elétrico no interior do condutor faz com que seus elétrons livres movam-se em sentido contrário ao campo E. Cada elétron livre que sai do terminal negativo da pilha é imediatamente reposto pela força de origem química. Assim, o movimento de elétrons livre no interior do condutor (do polo negativo para o polo positivo) ocorre devido ao campo elétrico E enquanto que o movimento de elétrons no interior da pilha (do polo positivo para o polo negativo) - + Pilha Condutor chave - Pilha Reposição de elétron no condutor - + E - Elétron saindo do condutor - - - - - - Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 153 ocorre devido à força de origem química. A corrente elétrica causada por uma pilha é denominada corrente contínua ou corrente constante. É importante observar que quando um elétron livre deixa o condutor pelo lado esquerdo, ele é imediatamente reposto pelo polo negativo da pilha de modo que a quantidade total de elétrons do material não é alterada. Consequentemente a densidade volumétrica de cargas no interior permanece constante. Um elétron livre do material condutor mostrado na Figura 5.10 está submetido a uma força elétrica, devido ao campo E, dada por: E F = − e (5.20) Na equação 5.20 e é a carga elétrica do elétron livre. Se o elétron livre estivesse no vácuo, sua velocidade aumentaria indefinidamente devido à atuação da força F. No entanto em um meio material (material condutor) o elétron alcança uma velocidade máxima, denominada drift, que é limitada pelas colisões do elétron com a estrutura cristalina do condutor. A velocidade de drift é proporcional ao valor do campo elétrico E sendo escrita como sendo: E v e d = − µ (5.21) Na equação 5.21 µe é a mobilidade do elétron no material condutor. A mobilidade é expressa em m2/(volt.s) (metro quadrado por volt por segundo). Valores típicos da mobilidade são 0,0012 para o alumínio, 0,0032 para o cobre e 0,0056 para a prata. A densidade de corrente J para este material condutor, de acordo com a equação 5.14, é escrita como sendo: e vd J = ρ (5.22) Na equação 5.22 ρe corresponde à densidade volumétrica de elétrons livre do material condutor. Substituindo a equação 5.21 na equação 5.22 obtém-se: E J = − ρe µe (5.23) A equação 5.23 pode ser escrita na forma: E J = σ (5.24) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 154 Na equação 5.24 σ, que corresponde ao produto -ρeµe, é um parâmetro macroscópico do meio denominado condutividade do material expresso em siemens/metro (S/m) ou mhos/metro. Valores típicos para a condutividade do alumínio, do cobre e da prata são 3,82 x 107, 5,8 x 107 e 6,17 x 107, respectivamente. A equação 5.24 corresponde à forma pontual ou local da Lei de Ohm. Exemplo 5.1: Um fio de cobre de comprimento L = 1 km e raio a = 3 mm transporta uma corrente contínua I = 10 A que está uniformemente distribuída em todo o corte transversal do fio. Determine o tempo necessário para que um elétron livre percorra toda a extensão deste fio. Exemplo 5.2: Uma bateria é conectada aos terminais de um condutor cilíndrico de comprimento L e área de seção transversal S. Sabendo que a bateria faz com que o condutor seja submetido a um campo elétrico uniforme E0 no sentido do comprimento do condutor, determine (a) a diferença de potencial VAB entre as extremidades do condutor, (b) a corrente I no condutor e (c) a relação VAB/I. 5.4 Equação da continuidade A carga elétrica é indestrutível, e não pode ser perdida ou criada. Ela pode se mover de um lado para outro, mas nunca aparece do nada ou desaparece. Este é o princípio da conservação da carga, que é um dos princípios fundamentais do eletromagnetismo e é expresso matematicamente por meio da equação da continuidade. A Figura 5.10 mostra um corpo isolado carregado eletricamente com uma densidade volumétrica de cargas ρv. Figura 5.10 - Corpo isolado carregado eletricamente Uma vez que o corpo mostrado na Figura 5.10 está isolado, cargas elétricas não entram e não saem deste corpo. Assim, a carga total do corpo se manterá indefinidamente. Este é um exemplo trivial do princípio da conservação da carga elétrica. ρv Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 155 Considere agora que o corpo mostrado na Figura 5.10 é conectado a outro corpo, por meio de um fio, de modo que cargas elétricas fluam para este corpo (não mostrado na figura). O movimento de cargas resulta em uma corrente elétrica I, conforme mostra a Figura 5.11. Figura 5.11 - Corpo carregado eletricamente conectado a outro corpo A corrente I que flui para fora do corpo faz com que sua densidade volumétrica de cargas diminua. Considerando que a carga do corpo diminua de uma quantidade dQ em um intervalo de tempo dt, a corrente I pode ser escrita como sendo: dt dQ I =− (5.20) A carga total do corpo pode ser expressa em função de sua densidade volumétrica de cargas ρv como sendo: dvol Q vol = ∫ρv (5.21) Substituindo a equação 5.21 na equação 5.20 obtém-se: dvol dt d I dvol dt d I vol v vol v ∫ ∫       − ρ = =>         ρ =− (5.22) Expressando a corrente I em função da densidade de corrente J obtém-se: ∫ ⋅ = s I J ds (5.23) A partir das equações 5.22 e 5.23 obtém-se: dvol dt d vol v s ∫ ∫       − ρ J⋅ds = (5.24) ρv ds I Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 156 A equação 5.24 é a equação da continuidade na forma integral. Esta equação garante que o fluxo externo do vetor densidade de corrente através de qualquer superfície fechada é igual ao negativo da variação de cargas no interior da superfície. A partir do teorema da divergência, é possível escrever: ( )dvol vol s ∫ ∫ ∇⋅ = ⋅ J J ds (5.25) Substituindo a equação 5.25 na equação 5.24: ( ) dvol dt d dvol vol v vol ∫ ∫       − ρ = ⋅ ∇ J (5.26) Que resulta em: dt d v = − ρ ⋅ ∇ J (5.26) A equação 5.26 é a equação da continuidade na forma pontual. O lado esquerdo desta equação corresponde ao fluxo de J, que corresponde à corrente elétrica, em um ponto do corpo. Portanto, a equação da continuidade diz que caso ocorra uma variação na densidade volumétrica de cargas em um ponto qualquer do corpo, esta variação de cargas corresponderá a uma corrente neste ponto. Em outras palavras, a única maneira possível de ocorrer variação na densidade de cargas do corpo é se cargas elétricas entrarem ou saírem do corpo. Para correntes contínuas, do tipo mostrado na Figura 5.9, em que toda carga que sai do condutor é reposta pela bateria, a densidade de cargas é invariante no tempo, ou seja: 0 dt d v = ρ (5.27) Substituindo a equação 5.27 na equação 5.24, verifica-se que para correntes contínuas a equação da continuidade na forma integral torna-se: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 157 0 s = ⋅ ∫ J ds (5.28) Para escrever a equação da continuidade na forma pontual, para correntes contínuas, deve-se substituir a equação 5.27 na equação 5.26 obtendo-se então: = 0 ⋅ ∇ J (5.29) A equação 5.29 mostra que em qualquer ponto, de um volume percorrido por uma corrente contínua, a corrente elétrica é nula (ou solenoidal). Isto significa que não existem fontes ou sumidouros de corrente e que o fluxo devido a correntes contínuas é fechado. Considere então uma junção em que uma corrente contínua é carregada para dentro e para fora por meio de N condutores conforme mostra a Figura 5.12. Figura 5.12 - Corrente contínua entrando e saindo de uma junção A equação 5.28 garante que a soma algébrica de todas as correntes que entram e saem do corpo mostrado na Fig. 512 é nula, ou seja: 0 I N k 1 ∑ k = = (5.30) A equação 5.30 equivale à lei de Kirchhoff para as correntes. Exemplo 5.3: Considere um ponto P de um corpo condutor homogêneo com condutividade σ e permissividade ε em que, no instante t = 0, é inserida um densidade volumétrica de cargas constante ρv = ρ0 C/m3. Determine uma função que expresse a densidade volumétrica de cargas em função do tempo no ponto P do condutor. I1 I2 IN Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 158 5.5 Propriedade dos materiais condutores e condições de contorno A Figura 5.13 mostra um material condutor eletricamente neutro. Figura 5.13 - Material condutor eletricamente neutro Considere que em um determinado instante cargas negativas (elétrons) sejam inseridas no interior do condutor conforme mostra a Fig. 5.14. Figura 5.14 - Cargas inseridas no interior do condutor Os elétrons inseridos no interior do material irão afastar-se uns em relação aos outros (devido à força elétrica repulsiva entre eles) até que alcancem a superfície do material. A partir deste instante, o movimento das cargas que foram inseridas é interrompido, pois o material condutor está envolvido por um meio isolante que não permite a movimentação das cargas. Assim, após o término do movimento das cargas inseridas não haverá mais cargas no interior do material condutor e as cargas terão o arranjo mostrado na Figura 5.15. Figura 5.15 - Cargas distribuídas na superfície do condutor Após o período transitório, em que as cargas movimentam-se em direção à superfície do condutor, conclui-se que: material condutor - - - cargas inseridas - - - - cargas inseridas distribuem-se na superfície do condutor - - - - - - - - - - - - - - - Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 159 a) O condutor adquire uma distribuição superficial de cargas, sendo que não haverá cargas no interior do condutor; b) Uma vez que não há cargas no interior do condutor, a Lei de Gauss garante que o campo elétrico nesta região é nulo. A distribuição superficial de cargas mostrada na Figura 5.15 resultará então em um campo elétrico externo ao condutor. Este campo elétrico pode, em qualquer ponto da superfície, ser decomposto em suas componentes normal e tangencial ao condutor conforme mostra a Figura 5.16. Figura 5.16 - Campo elétrico em um ponto genérico da superfície do condutor Na Figura 5.16 E é o campo elétrico em um ponto P genérico na superfície do condutor enquanto que Et e En são as componentes tangencial e normal, respectivamente, ao condutor no ponto P. Analogamente ao campo elétrico, a densidade de fluxo elétrico D no ponto P também pode ser decomposta em suas componentes normal Dn e tangencial Dt. Uma vez que as cargas estão imóveis na superfície do condutor, conclui-se que a componente tangencial do campo elétrico é nula, pois em caso contrário as cargas estariam movendo-se na superfície do condutor. Conclui-se então que o campo elétrico, assim como a densidade de fluxo elétrico, terá apenas a componente normal ao condutor fazendo com que, em condições eletrostáticas, o campo elétrico seja sempre perpendicular à superfície do condutor conforme mostra a Figura 5.17. Figura 5.17 - Campo elétrico na superfície do condutor condutor E En Et E1 P1 E2 P2 P3 P4 P5 Pn En E5 E4 E3 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 160 Então, o campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico na superfície do condutor são escritos como sendo: E = Eân (5.31) D = Dân (5.32) Uma consequência de o campo elétrico ser sempre perpendicular à superfície do condutor eletricamente carregado é que a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer sobre tal superfície é nula. Para verificar tal afirmação, vamos calcular a diferença de potencial entre os pontos P1 e P5 que estão na superfície do condutor mostrado na Figura 5.17. Esta diferença de potencial é escrita como sendo: 5 1 P P 15 V V V 1 5 − = = − ∫ E.dL (5.33) Sabe-se que o campo elétrico é perpendicular à superfície. Uma vez que o caminho foi definido sobre a superfície, os vetores E e dL são perpendiculares e a diferença de potencial entre os pontos P1 e P5 é nula. Portanto, conclui-se que os pontos P1 e P5 estão no mesmo potencial, e que a superfície do material condutor é uma superfície equipotencial (veja definição de superfície equipotencial no capítulo 4). Para encontrar D e E em um ponto qualquer na superfície do condutor, considere um pequeno elemento da superfície condutora e uma pequena superfície Gaussiana de formato cilíndrico conforme mostra a Figura 5.18. Figura 5.18 - Superfície Gaussiana na superfície do condutor Sabe-se que as cargas estão distribuídas na superfície do condutor. Considerando que a Gaussiana mostrada na Figura 5.18 é bastante pequena, é possível afirmar que a Superfície externa do condutor Superfície interna do condutor Cargas superficial envolvida pela Gaussiana D ds1 ds2 D = 0 Superfície Gaussiana Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 161 carga envolvida pela Gaussiana possui uma densidade superficial ρs constante. Assim, a carga envolvida pela Gaussiana é escrita como sendo: S Q = ρs ∆ (5.34) Na equação 5.34 ∆S é a área da superfície do condutor envolvida pela Gaussiana. Aplicando a lei de Gauss na Figura 5.18, podemos escrever: Q s = ⋅ ∫ D ds (5.35) Substituindo a equação 5.34 na equação 5.35 e sabendo que o vetor D no interior do condutor é nulo, a equação 5.35 torna-se: S ds s s1 = ρ ∆ ∫ D (5.36) Sabendo que o vetor D é constante na superfície S1, a equação 5.36 torna-se: s s S S = ρ ⇒ ∆ = ρ ∆ D D (5.37) A equação 5.37 mostra que o módulo do vetor densidade de fluxo em um ponto qualquer da superfície do condutor é igual à densidade superficial de cargas neste ponto. Substituindo a equação 5.37 na equação 5.32 verifica-se que a densidade de fluxo D em um ponto qualquer da superfície condutora é escrita como sendo: ân D = ρs (5.38) Sabe-se que o campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico obedecem a seguinte relação: E D = ε (5.39) Substituindo a equação 5.39 na equação 5.38 conclui-se que o campo elétrico em um ponto qualquer da superfície de um material condutor eletricamente carregado é dado por: Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 162 ân E ε ρ = s (5.40) Na equação 5.40 ε é a permissividade do meio que envolve o condutor e ρs é a densidade de cargas na superfície do condutor. Resumindo, conclui-se que para um condutor eletricamente carregado valem as seguintes condições de contorno: i) As cargas estão na superfície do condutor (o condutor possui uma distribuição superficial de cargas); ii) O campo elétrico no interior do condutor é nulo; iii) O campo elétrico é perpendicular à superfície do condutor 5.6 Método das imagens Vamos considerar uma região do espaço que contenha uma única carga pontual Q conforme mostra a Figura 5.19. Figura 5.19 - Campo elétrico de uma carga pontual Na Figura 5.19 E é o campo elétrico da carga pontual Q, que pode ser obtido por meio da lei de Coulomb ou da lei de Gauss. Vamos considerar agora que nas proximidades da carga positiva Q exista um plano condutor perfeitamente aterrado conforme mostra a Figura 5.20. Figura 5.20 - Carga pontual próxima a uma superfície condutora P(x,y,z) Q E Carga Q Plano condutor x y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 163 Na Figura 5.20, a carga Q irá induzir uma carga -Q na superfície condutora, fazendo com que esta superfície adquira uma densidade superficial de cargas. A densidade superficial de cargas em um ponto sobre a superfície é função da distância deste ponto em relação à origem do sistema de coordenadas também localizado na superfície condutora. Uma análise quantitativa nos permite concluir que a densidade de cargas na superfície condutora diminui à medida que nos afastamos da origem. Assim, pontos da superfície próximos à origem terão densidade superficial de cargas maior que pontos mais afastados conforme mostra a Figura 5.21. Figura 5.21 - Distribuição da carga induzida na superfície condutora Na Figura 5.21 as regiões mais escuras da superfície (regiões mais próximas da origem) possuem densidade de carga maior que as regiões mais claras (regiões mais afastadas da origem). A presença do plano condutor irá fazer com que o campo elétrico devido ao sistema constituído pela carga pontual e pela superfície condutora seja diferente do campo elétrico devido somente à carga pontual que foi mostrado na Figura 5.19. Sabendo que o campo elétrico em uma superfície condutora é perpendicular a esta superfície, conclui-se que o campo elétrico devido à carga pontual e ao plano condutor terá o aspecto mostrado na Figura 5.22. x y Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 164 Fonte: http://trabcampoeletrico.blogspot.com.br/p/linhas-de-forca.html Figura 5.22 - Campo elétrico devido ao sistema constituído pela carga pontual e pelo plano condutor O campo elétrico mostrado na Figura 5.22 não pode ser calculado por meio dos métodos já estudados (leis de Coulomb e de Gauss e método do potencial) devido ao fato de que não conhecemos quantitativamente a distribuição de cargas do plano condutor. No entanto, este campo pode ser obtido por meio da aplicação do método das imagens. Antes que seja mostrado o método das imagens, será feita uma análise do campo elétrico devido ao sistema de duas cargas pontuais +Q e -Q mostradas na Figura 5.23. Na Figura 5.23 as cargas +Q e -Q estão localizadas a uma mesma distância em relação ao plano xy. Os vetores R1 e R2 definem as distâncias das cargas +Q e –Q, respectivamente, em relação a um ponto P genérico localizado no plano xy Figura 5.23 - Sistema de cargas +Q e -Q em posições simétricas em relação ao plano xy z y Plano condutor com carga distribuída -Q Campo elétrico P(x,y,0) z (0,0,d) Carga Q x y (0,0,-d) Carga -Q R2 R1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 165 O potencial elétrico no ponto P(x,y,0) é escrito como sendo: 2 1 R R 0 0 p 4 Q 4 Q V − πε πε = (5.41) Os vetores R1 e R2 possuem o mesmo módulo. Assim, o potencial elétrico em qualquer ponto localizado no plano xy é nulo, ou seja, o plano xy é uma superfície equipotencial cujo potencial é zero. Uma vez que o plano xy é uma superfície equipotencial, o campo elétrico é perpendicular a este plano. Conclui-se então que o campo elétrico devido às cargas +Q e -Q terá o aspecto mostrado na Figura 5.24. Observe que o campo elétrico, acima do plano xy, do sistema de cargas +Q e -Q mostrado na Figura 5.25 é idêntico ao campo elétrico do sistema constituído por uma carga pontual +Q e um plano condutor mostrado na Figura 5.22. Esta é a ideia básica do método das imagens. Fonte: http://trabcampoeletrico.blogspot.com.br/p/linhas-de-forca.html Figura 5.24 - Campo elétrico para o sistema de cargas +Q e -Q em posições simétricas em relação ao plano xy Superfície equipotencial com V = 0 y z Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 166 De acordo com o método das imagens, o campo elétrico de uma carga pontual que está a uma distância d de um plano condutor infinito e com potencial nulo é idêntico ao sistema constituído por duas cargas pontuais +Q e -Q separadas por uma distância 2d e dispostas de maneira simétrica em relação ao plano xy. O método das imagens pode ser aplicado no caso de cargas pontuais ou de qualquer distribuição de cargas. A Figura 5.25 ilustra o método das imagens. Figura 5.25 - Método das imagens Exemplo 5.4: Considere uma carga pontual +Q fixa no ponto (0,0,h) e um plano condutor localizado no plano z=0. a) Determine o campo elétrico na superfície do plano condutor; b) Determine a densidade de cargas induzida no plano condutor; c) Calcule a carga induzida no plano condutor. Exemplo 5.5: Considere uma distribuição linear de cargas igual a ρL C/m paralela ao eixo x e que passa pelo ponto (0,0,h) e um plano condutor localizado no plano z =0. a) Determine o campo elétrico em um ponto P(x,y,z) genérico; b) Determine a densidade de cargas induzida no plano condutor; c) Determine a diferença de potencial VAB entre os pontos A(1,2,0) e B(-2, 3,0); d) Determine a diferença de potencial VAB entre os pontos A(0,0,h/4) e B(0, 0,3h/4); 5.7 Propriedade dos materiais dielétricos e condições de contorno Em um material dielétrico (ou isolante) os elétrons estão fortemente presos ao núcleo atômico devido à força elétrica entre tais elétrons e os prótons, sendo que não existem elétrons livres nestes materiais. No entanto, se um campo elétrico for aplicado a Plano condutor infinito com potencial nulo y z +Q d Plano equipotencial com potencial nulo y z +Q d d -Q Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 167 um dielétrico, haverá uma tendência a afastar os elétrons de seus núcleos em virtude da força externa originada pelo campo elétrico. À medida que o campo elétrico externo aumenta, a força externa que age em cada elétron aumenta na mesma proporção e, eventualmente, pode-se chegar ao ponto em que a força externa seja maior do que a força de atração que existe entre o elétron e seu núcleo atômico. Quando ocorre esta situação, os elétrons tornam-se elétrons livres, e o dielétrico torna-se um condutor. Esse processo pode ocorrer em qualquer dielétrico, e a intensidade do campo elétrico que o transforma em condutor depende da estrutura de cada material. O valor mínimo do campo elétrico que deve ser aplicado a um isolante para transformá-lo em condutor é denominado rigidez dielétrica, e cada material possui seu valor característico de rigidez dielétrica. Outra característica importante dos dielétricos é a sua capacidade de armazenar energia eletrostática. Tal propriedade é observada quando um material dielétrico é introduzido entre meios condutores, formando um dispositivo denominado capacitor. A Figura 5.26 mostra a representação de um átomo de um material dielétrico em uma região do espaço em que não há um campo elétrico externo. Nesta representação, o átomo é representado por um núcleo que contém cargas positivas e por elétrons que orbitam o núcleo. Os elétrons estão fortemente acoplados ao núcleo por meio de forças elétricas, sendo que não existem elétrons livres neste átomo. O átomo é eletricamente neutro. Figura 5.26 - Átomo de material dielétrico Vamos considerar que o átomo mostrado na Figura 5.26 seja colocado em uma região do espaço em que existe um campo elétrico externo Eext. Nestas condições, diz- se que o átomo foi polarizado. Uma vez que os elétrons do átomo não são elétrons livres, eles não serão deslocados para a superfície do material dielétrico (fato este que ocorre com um material condutor na presença de um campo elétrico externo). No entanto, estes elétrons irão sofrer um pequeno deslocamento no sentido contrário ao campo elétrico externo, conforme mostra a Figura 5.27. elétron núcleo - + - - - - - - - - - - - - - Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 168 Figura 5.27 - Polarização das cargas de um átomo de material dielétrico O átomo ou molécula de um material dielétrico polarizado devido à presença de um campo elétrico externo pode ser representado por um dipolo, conforme mostra a Figura 5.28. Figura 5.28 - Átomo de material dielétrico polarizado representado por um dipolo Portanto um material dielétrico, quando polarizado, pode ser representado por dipolos alinhados com o campo externo conforme mostra a Figura 5.29. Figura 5.29 - Material dielétrico na presença de um campo elétrico externo A Figura 5.29 mostra que a polarização do dielétrico faz com que os campos de seus átomos resultem em um campo elétrico na mesma direção, mas em sentido oposto ao campo elétrico externo. Assim o campo elétrico no interior de um dielétrico polarizado é menor que o campo externo que causou a polarização do material. Portanto um dielétrico, quando polarizado por um campo elétrico externo, torna- se uma fonte de seu próprio campo elétrico e o campo elétrico total em um ponto Material dielétrico Eext - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + núcleo Eext elétron - + - - - - - - - - - - - - Átomo ou molécula do dielétrico Eext + - Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 169 qualquer do espaço (dentro ou fora do dielétrico) é uma soma do campo externo e do campo devido à polarização dielétrica (campo elétrico secundário). As características de um material dielétrico, descritas anteriormente, levam à seguinte relação entre a densidade de fluxo elétrico e o campo elétrico no interior do material polarizado: E D ) ( e 0 0 = ε + ε χ (5.42) Na equação 5.42 D e E são, respectivamente, a densidade de fluxo e o campo elétrico no interior do dielétrico polarizado, ε0 é a permissividade do vácuo e χe é denominada suscetibilidade elétrica do material. Esta equação é mais encontrada na forma: E D = ε (5.43) O termo ε é a permissividade do material e pode ser escrita como sendo: ε = εr ε0 (5.44) Na equação 5.44 εr é a permissividade relativa do material dielétrico. Esta grandeza mostra o quanto a permissividade de um material é maior que a permissividade do vácuo (cujo valor de εr é unitário). O ar possui uma permissividade relativa igual a 1,0005 (εr ≈ 1), para o teflon temos εr = 2,1 e para o titanato de bário a permissividade relativa é igual a 1200. Uma vez descoberto que o campo elétrico no interior de um dielétrico polarizado é menor que o campo externo responsável pela polarização, resta agora obter uma relação entre o campo elétrico em uma situação em que haja dois dielétricos diferentes, ou um dielétrico e um condutor. Para isto, precisamos descobrir as condições de contorno para materiais dielétricos, uma vez que tais condições para materiais condutores na presença de um campo externo já foram estabelecidas no item 5.5 (o campo é nulo no interior do condutor e, externamente, é perpendicular à sua superfície). Considere dois materiais dielétricos distintos polarizados por um campo elétrico externo, cujas superfícies estão em contato. Devido ao fato de que os dielétricos possuem permissividades ε1 e ε2 diferentes, o campo elétrico no interior de cada um dos dielétricos serão diferentes. Vamos definir os campos E1 e E2 como sendo os campos Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 170 elétrico nos dielétricos 1 e 2, respectivamente, próximos a um ponto P situado na fronteira entre os dois materiais. Os campos E1 e E2 serão decompostos, neste ponto P, em suas componentes tangenciais e normais conforme mostra a Figura 5.30. Figura 5.30 - Campo elétrico na fronteira entre dois dielétricos Para analisar o comportamento do campo elétrico na fronteira entre os dielétricos, vamos tomar um elemento infinitesimal da superfície, de tamanho tal que possa ser considerada uma superfície plana, que separa estes materiais. Em seguida vamos definir um caminho fechado que envolva a fronteira e os dois materiais, conforme mostra a Figura 5.31. Figura 5.31 - Caminho fechado envolvendo a fronteira Para um caminho fechado genérico, em uma região do espaço que exista um campo elétrico, podemos escrever: 0 c = ⋅ ∫ E dL (5.45) Aplicando a equação 5.45 no caminho fechado mostrado na Figura 5.31 obtém-se: 0 2 h 2 h w 2 h 2 h w = ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ N1 N2 T2 N2 N1 T1 E E E E E E (5.46) Dielétrico 1 ε1 Dielétrico 2 ε2 Ponto P localizado na superfície de fronteira entre os condutores EN1 ET1 EN2 ET2 fronteira ∆h ∆w EN2 EN1 ET1 ET2 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 171 Como estamos interessados no comportamento do campo elétrico em regiões próximas à fronteira, vamos considerar que ∆h →0. Nestas condições, a equação 5.46 torna-se: 0 w w = ∆ − ∆ T2 T1 E E (5.47) Da equação 5.47 obtém-se: T2 T1 E E = (5.48) Com base na equação 5.48 conclui-se que a componente tangencial do campo elétrico não é alterada quando se passa do material 1 para o material 2. As relações entre a densidade de fluxo e o campo elétrico nos materiais 1 e 2 são dadas por: T1 T1 E D 1ε = (5.49) T2 T2 E D = ε2 (5.50) A partir das equações 5.49 e 5.50 obtém-se: 1ε = T1 T1 D E (5.51) ε2 = T2 T2 D E (5.52) Sabendo que |ET1| e |ET2| são iguais obtém-se, a partir das equações 5.51 e 5.52, a seguinte relação entre as componentes tangenciais das densidades de fluxo nos dois materiais: 2 1 ε ε = T2 T1 D D (5.53) Portanto conclui-se que a componente tangencial da densidade de fluxo é alterada quando se passa do material 1 para o material 2. Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 172 Para obter a relação entre as componentes normais dos campos elétrico nos materiais 1 e 2, vamos envolver um elemento infinitesimal da superfície de contato entre os dielétricos por uma superfície cilíndrica conforme mostra a Figura 5.32. Figura 5.32 - Fluxo através de uma superfície fechada envolvendo a fronteira Da lei de Gauss: Q c = ⋅ ∫ D ds (5.54) Aplicando a lei de Gauss na superfície fechada mostrada na Figura 5.32, verifica- se que a carga envolvida pela superfície gaussiana é nula, pois não há carga resultante (elétrons livres) em materiais dielétricos. Deve-se observar também que estamos interessados no fluxo próximo à fronteira sendo necessário então fazer ∆h →0 e, consequentemente, o fluxo através da superfície lateral do cilindro é nulo. Assim, com base nestas considerações, a equação 5.54 torna-se: 0 s s ∆ = − ∆ N2 N1 D D (5.55) Da equação 5.55 obtém-se: N2 N1 D D = (5.56) Portanto, com base na equação 5.56, conclui-se que a componente normal da densidade de fluxo não sofre alterações quando se muda do material 1 para o material 2. Para obter a relação entre as componentes normais dos campos nos dois materiais, considere as seguintes relações: ∆h DN2 DN1 fronteira ∆s -∆s Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 173 N1 N1 E D 1ε = (5.57) N2 N2 E D = ε2 (5.58) Substituindo as equações 5.57 e 5.58 na equação 5.56 obtém-se: 1 2 ε ε = N2 N1 E E (5.59) Conclui-se então que a componente normal do campo elétrico é alterada quando se passa do material 1 para o material 2. As equações 5.48, 5.53, 5.56 e 5.59 são as condições de contorno para dois materiais dielétricos. Vamos resumir as condições de contorno nos itens i e ii mostrados em seguida. i) Direção tangencial à fronteira entre os dielétricos T2 T1 E E = (5.60) 2 1 ε ε = T2 T1 D D (5.61) ii) Direção normal à fronteira entre os dielétricos N2 N1 D D = (5.62) 1 2 ε ε = N2 N1 E E (5.63) Para uma melhor compreensão do comportamento do campo elétrico e da densidade de fluxo elétrico quando se leva em conta dois dielétricos, vamos considerar dois materiais com permissividades ε1 e ε2= 2ε1. Vamos considerar que conhecemos o campo elétrico no material 1. Consequentemente conhecemos também a densidade de fluxo neste material. Com base nas condições de contorno e nos valores das permissividades dos materiais obtém-se: T2 T1 E E = (5.64) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 174 T1 T2 T2 T1 D D D D 2 2 1 = ⇒ = (5.65) N2 N1 D D = (5.66) N1 N2 N2 N1 E E E E 2 1 2 = ⇒ = (5.67) A Figura 5.33 ilustra o comportamento do campo elétrico e da densidade de fluxo nos dois materiais. A partir das componentes normais e tangencias do campo e da densidade de fluxo é possível obter as resultantes destes vetores nos dois dielétricos, conforme é mostrado na Figura 5.34. Figuras 5.33 - Componentes normais e tangenciais do campo elétrico e da densidade de fluxo na fronteira dos dois materiais Figura 5.34 - Campo elétrico e densidade de fluxo na fronteira dos dois materiais A Figura 5.34 mostra que quando o campo elétrico passa de um meio para outro ocorre uma alteração na sua direção o mesmo ocorre com a densidade de fluxo elétrico Dielétrico 1 ε1 Dielétrico 2 ε2 ET1 EN1 ET2 EN2 Dielétrico 1 ε1 Dielétrico 2 ε2 DT1 DN1 DT2 DN2 Dielétrico 1 ε1 Dielétrico 2 ε2 E1 E2 D2 D1 Dielétrico 2 ε2 Dielétrico 1 ε1 Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 175 Exemplo 5.6: O plano z = 0 é a superfície que separa dois meios dielétricos. A região z < 0 possui permissividade ε1 e a região z > 0 possui permissividade ε2. Considerando que o campo elétrico E = 3ây + 4âz V/m vai do dielétrico 1 para o meio 2, e que ε2 = 2ε1, determine a densidade de fluxo elétrico e o campo elétrico nos meios 1 e 2. Exemplo 5.7: Repita o exemplo 5.6 considerando ε1 = 2ε2 Exemplo 5.8: O plano y = 0 é a superfície que separa dois meios dielétricos. A região y < 0 possui permissividade ε1 e a região y > 0 possui permissividade ε2. Considerando que o campo elétrico E = 3ây + 4âz V/m vai do dielétrico 1 para o meio 2, e que ε2 = 2ε1, determine a densidade de fluxo elétrico e o campo elétrico nos meios 1 e 2. 5.8 Capacitância 5.8.1 - Definição de capacitância Considere dois condutores M1 e M2 carregados eletricamente com carga -q e +q, respectivamente, inseridos em um meio dielétrico cuja permissividade é ε. Este sistema, mostrado na Figura 5.35, constitui um capacitor. Figuras 5.35 - Capacitor No sistema mostrado na Figura 5.35 o campo elétrico comporta-se conforme mostra a Figura 5.36. Fonte: http://slideplayer.es/slide/122303/ Figuras 5.36 - Linhas de força em um capacitor M1 M2 - q + q Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 176 Sabendo, do capítulo 4, que um campo elétrico armazena energia conclui-se que um capacitor é um elemento que armazena energia quando ele se encontra eletricamente carregado e que esta energia é armazenada em seu campo elétrico. Na Figura 5.36, Cada um dos condutores constitui uma superfície equipotencial e a diferença de potencial entre estas superfícies é escrita como sendo: − ∫ = b a V0 E.dL (5.68) Na equação 5.68 E é o campo elétrico estabelecido pelas cargas +q e -q enquanto que a e b são pontos nas superfícies dos corpos M1 e M2, respectivamente. As cargas dos corpos M1 e M2 podem ser escritas em função do campo elétrico E a partir da lei de Gauss. Para o corpo com carga +q a aplicação da lei de Gauss resulta em: ∫ε = s q E.ds (5.69) Na equação 5.69 S é uma superfície fechadas que envolve o condutor M2. Define-se Capacitância C do capacitor à seguinte entre a carga q do condutor e a diferença de potencial entre os dois condutores. Assim, a capacitância do capacitor mostrado na Figura 5.35 é escrita como sendo: V0 q C= (5.70) Substituindo as equações 5.69 e 5.68 na equação 5.70 verifica-se que a capacitância é escrita como sendo: ∫ ∫ − ε = b a s C .dL E .ds E (5.71) Exemplo 5.9: Determine a capacitância de um capacitor constituído de duas placas paralelas de área S separadas por uma distância d. Exemplo 5.10: Determine a capacitância entre duas superfícies esféricas concêntricas de raios a e b (sendo b > a). Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 177 Exemplo 5.11: Determine a capacitância entre duas esferas, de raio a, cujos centros estão separados por uma distância d. Os exemplos 5.9-5.11 mostram que a capacitância depende somente das características geométricas do capacitor e das características do dielétrico (permissividade) que está entre os dois condutores. Exemplo 5.12: Determine a capacitância entre um condutor cilíndrico de raio a, carregado eletricamente com uma carga positiva Q, e um plano condutor ideal (plano z=0). Sabe-se que o condutor cilíndrico é perpendicular ao plano x=0 e seu eixo de simetria passa pelo ponto (0,0,h). 5.8.2 - Influência do meio dielétrico Considere agora um capacitor constituído de duas placas paralelas inseridas no vácuo, inicialmente descarregado, e uma bateria cuja diferença de potencial é V0, conforme mostra a Figura 5.37. Figura 5.37 - Capacitor conectado a uma bateria Quando a chave S é fechada as placas irão carregar-se com cargas +q e -q que darão origem a um campo elétrico E. Uma vez que as placas são superfícies equipotenciais, haverá uma diferença de potencial Vo entre elas. A Figura 5.38 ilustra esta situação. Figura 5.38 - Capacitor carregado + + + + + E V0 Chave S - - - - - V0 Chave S Placa Placa Vácuo (ε0) Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 178 Na Figura 5.38 o capacitor armazena uma energia que corresponde à energia necessária para carregar as duas placas condutoras e esta energia é fornecida pela bateria. Considere agora que um material dielétrico, com permissividade ε1, é inserido entre as placas do capacitor. Nestas condições os dipolos do dielétrico formam um campo elétrico Eint em sentido oposto ao campo E reduzindo o campo elétrico resultante entre as placas, conforme mostra a Figura 5.39. Figura 5.39 - Inserção de um material dielétrico entre os condutores Uma vez que o campo elétrico resultante diminui, a diferença de potencial entre as placas tende a diminuir. No entanto, a diferença de potencial entre as placas é estabelecida pela bateria que mantém uma diferença de potencial constante. Para que isto ocorra, a bateria envia mais cargas para as placas aumentando o campo E e restabelecendo o campo elétrico resultante que havia antes da inserção do material dielétrico. Uma vez que há um aumento na quantidade de cargas presentes nas placas condutoras, ocorre também um aumento na energia necessária para levar estas cargas até os condutores. Assim, conclui-se que há um acréscimo na energia armazenada no capacitor quando ocorre um aumento na permissividade (aumento este conseguido com a inclusão de um material) do meio em que estão as placas condutoras. Exemplo 5.13: Determine a energia armazenada em um capacitor constituído de duas placas paralelas de área S separadas por uma distância d. Exemplo 5.14: Determine a energia armazenada em um capacitor constituído por duas superfícies condutoras esféricas concêntricas de raios a e b (sendo b > a). Dielétrico (ε1) + + + + + E V0 Chave S - - - - - Eint Eletromagnetismo I Sérgio Kurokawa 179 Referências HAYT, W. H. Eletromagnetismo. 3a edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. 403 p. IDA, N. Engineering Electromagnetics. 2a edição. New York: Springer, 2003. 1235 p. KRAUS, J. D; CARVER, K. R. Eletromagnetismo. 2a edição. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1978. 780 p. NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. 1a edição. São Paulo: Pearson, 2012. 587 p. QUEVEDO, C, P.; LODI, C. Q. Ondas Eletromagnéticas. 1a edição. São Paulo: Pearson, 2009. 383 p. SILVA, C. E.; SANTIAGO, A. J.; MACHADO, A. F.; ASSIS, A. S. Eletromagnetismo: Fundamentos e simulações. 1a edição. São Paulo: Pearson, 2014. 492 p. YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo. 12a edição. São Paulo: Pearson, 2013. 423 p.