P2 - Eletromagnetismo 2021-2

Trabalho para mover Q0 de P para B: WPB: = -Q0 ∫E . dl A expressão de WPB e WPA são iguais, basta então trocar os limites de integração na expressão de WPA Teremos então: WPB = -Q0 [20/3 y ] |yB - Q0 [10/3 y ] |yB - 40 y ] |yP + 2Q0 Z |ZB yP yP yP yP ZP yB = -3 ; yP = 0 ZB = 77 ; ZP = 32 WPB = -Q0 [20/3 (-3)^3 - 0^3]-Q0 [10/3 ((-3)^3 - 0^3)+ Q0 40 (-3-0)] + 2Q0 (77 - 32) => WPB = -Q0 [20/3 (-27 - 0) - Q0 [10/3 (-27-0)] - 120 Q0 + 90 Q0 WPB = 540Q0/3 + 270Q0/3 - 120Q0 + 90Q0 WPB = 810Q0/3 - 30Q0 = WPB = 270Q0 - 30Q0 => WPB = 240Q0 Joules WPA = -80Q0 => WPA <0 WPB = 240Q0 => WPB >0 WPA <0 => de P para A é o campo elétrico que realiza trabalho WPB >0 => de P para B é necessário a atuação de uma Força externa Como é dito que a carga deve se mover livremente, não há força externa agindo sobre a mesma. Portanto a carga irá mover-se do ponto P para o ponto A sob a ação do campo elétrico. Questão 3: z Q1 superficial (0,0,10a) Q2 superficial 2a x e como plano xy é o plano condutor, utiliza-se o método das imagens. o sistema 1 plano equipotencial xy x sistema 2 (0,0,10a) (0,0,-10a) W_{PA} = - \frac{160}{3} Q_0 - \frac{80}{3} Q_0 = W_{PA} = - \frac{240}{3} Q_0 = W_{PA} = - 80 Q_0 \ \ Joules Conclui-se então que a superfície esférica de raio R₀ é uma superfície equipotencial. ρv = ρ₀ e^{im/rl} superfícies equipotencial Item d A energia elétrica armazenada equivale à energia necessária para montar a distribuição de cargas ρv = ρ₀ e^{im/³} e é dado por: W = 1/2 ∫vol ε₀|E|² dvol E = campo elétrico devido a ρv = ρ e^{im/³} Cálculo de E na região 0 ≤ R ≤ a Completar Gaussiana ∮ε₀E·dA = Q ε₀E·4πR² = ρ₀·4/3 π R³ E = ρ₀/3ε₀ R ⇒ E = ρ₀/3ε₀ R âR p/ 0 ≤ R ≤ a Cálculo de E na região R > a ⇒ Já foi calculado no item a ⇒ E = ρ₀ a³/3ε₀ 1/R² âR Então: E = ρ₀/3ε₀ R âR 0 ≤ R ≤ a ρ₀ a³/3ε₀ 1/R² âR R > a Cálculo da energia armazenada: W = 1/2 ∫vol ε₀|E|² dvol ; dvol = R² dR senθ dθ dφ W = 1/2 ∫₀ₐ ∫₀^π ∫₀²π ε₀|E|² R² dR senθ dθ dφ + 1/2 ∫ₐ^∞ ∫₀π ∫₀²π ε₀|E|² R² dR senθ dθ dφ = W = 1/2 ∫₀ₐ ∫₀π ∫₀²π ε₀(ρ₀/3ε₀)² R² dR senθ dθ dφ + 1/2 ∫ₐ^∞ ∫₀π ∫₀²π ε₀(ρ₀ a³/3ε₀ 1/R²)² R² dR senθ dθ dφ = Q'_2 Q'_1 Q_2 Q_1 sistema 1 sistema 2 Q'_2 = -Q_2 Q'_1 = -Q_1 Campo elétrico devido ao sistema 1: gaussiana S ∫S E_1 dA = Q ε_0 E_1 4πR² = Q_1 + Q_2 E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R²) â_R E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R²) â_R E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R²) â_R E_1 a --> Q_1 E_1Ê R â_R Campo elétrico devido ao sistema 2: Como o sistema 2 é idêntico ao sistema 1, basta trocar Q_1 por Q'_1 e Q_2 por Q'_2 obtendo então: Q'_2 E_2 Q'_1 R â_R E_2 = (Q'_1 + Q'_2)/(4πε_0 R²) â_R E_2 = (Q'_1 + Q'_2)/(4πε_0 R²) â_R Campo E_1 no ponto P(x, y, 0): Sistema 1 P(x,y,0) R_1 (0,0,10a) R_1 = x â_x + y â_y - 10a â_z â_R_1 = R_1/R_1 = ( x^2 + y^2 +100a^2 )^(1/2) E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R_1²) â_R_1 E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R_1²) â_R_1 E_1 = (Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R_1²) â_R_1 E_1 Campo E_2 no ponto P(x, y, 0) Q'_2 E_2 Q'_1 R_2 â_R_2 P(x, y, 0) (0,0,-10a) R_2 = x â_x + y â_y + 10a â_z â_R_2 = R_2/R_2 E_2 = (Q'_1 + Q'_2)/(4πε_0 R_2³) â_R_2 O campo resultante no ponto P seria: E = E_1 + E_2 E = ((Q_1 + Q_2)/(4πε_0 R_1³)) â_R_1 + ((Q'_1 + Q'_2)/(4πε_0 R_2³)) â_R_2 Como R_1 = R_2 E torna-se: E = ((Q_1 + Q'_1)/(4πε_0 R_1³)) (x â_x + y â_y - 10a â_z) + ((Q'_1 + Q'_2)/(4πε_0 R_1³)) (x â_x + y â_y + 10a â_z)