Exercícios - Ótica - Eletromagnetismo 2021-2

Bruciais Ótica Difração 1) Um laser de hélio-nêon gera um feixe de luz com λ = 632,8 nm que incide a 90° em uma rede de difração que contém 6000 fendas por centímetro. Determine os ângulos para os quais os máximos de 1ª e 2ª ordem são observados. -> Primeiramente devemos calcular a separação das fendas, p/ isso temos: d = \frac{1}{6000} cm = 1,667 x 10^{-4} cm = 1,667 x 10^{-6} = 1667 nm O primeiro máximo é obtido por m = 1, assim temos: d \cdot sen θ = m \cdot λ sen θ = \frac{m \cdot λ}{d} • p/ m = 1: sen θ_1 = \frac{λ}{d} = \frac{632,8 nm}{1667 nm} = 0,3796 ∴ θ_1 = 22,31° • p/ m = 2 (2° máximo); sen θ_2 = \frac{2 \cdot λ}{d} = \frac{2 \cdot 632,8 nm}{1667 nm} = 0,7592 ∴ θ_2 = 49,39° * Se procurarmos pelo máximo de 3ª ordem, nós o encontraremos? sen θ_3 = \frac{3}{λ/d} = 1,139 como sen θ ≤ 1, esta não é uma solução válida. Assim, apenas os máximos de zero, primeira e segunda ordem são observados. 2) Interferência em uma bolha de sabão: Qual a espessura mínima de uma bolha de sabão que resulta em uma interferência construtiva, c/ o raio refletido no filme é iluminado com luz com λ = 600 nm? y_2 = \frac{3 \lambda_2 L}{d} = \frac{3 (510 \times 10^{-9} m) (1.50 m)}{0.025 \times 10^{-3} m} \newline y_2 = 9,18 \times 10^{-2} m \newline \newline Assim, a distancia entre os dois maximos sera: \newline \Delta y = 9,18 \times 10^{-2} m - 7,78 \times 10^{-2} m \newline \Delta y = 1,40 \times 10^{-2} m = 1,40 \: cm \newline \newline Agora, se examinarmos todo o \: \textit{padrao de interferencia devido aos} \: \textit{dois comprimentos de onda e procuramos} \: \textit{por franjas sobrepostas. Ha alguma} \: \textit{localizacao no anteparo onde as franjas claras das duas ondas} \: \textit{se sobrepoem?} Para responder tal questionamento, basta fazer \: y_1 = y_2, \: assim \: temos: \newline \frac{\lambda_1 L}{d} \: m_1 = \frac{\lambda_2 L \: m_2}{d} \newline \newline \lambda_1 \: m_1 = \lambda_2 \: m_2 \Rightarrow \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{m_2}{m_1} \newline \newline \text{m}_2 \over \text{m}_1 = \frac{430 \: nm}{510 \: nm} = \frac{43}{51} \newline \newline Isto \: sugere \: que \: \text{51 a} \: franja \: de \: maximo \: de \: \lambda_1 = 430 nm \: ira \: se \: sobrepor \: a \: \text{43 a} \franja \text{de} \: \text{\: 510 nm.} \newline \newline \text{Agora, a posicao no anteparo sera:} y_1 = \frac{51 \: (430 \times 10^{-9} \: m) \: (1,50 \: m)}{0,025 \times 10^{-3} \: m} = 1,32 \: m = y_2 \newline \newline Contudo, este valor e comparavel com L; assim, a aproximacao usual de baixo angulo nao e valida e tal resultado nao e correto. Se usarmos a relacao exata y = L \: tan \theta \newline pode-se demonstrar que as franjas se sobrepoem em m_1/m_2 = \lambda_1/\lambda_2. Assim, \newline \textit{as franjas 51 e 43 se sobrepoem contudo nao sera no localizacao de 1,32 m.} \newline \newline Fica como exercicio encontrar a localizacao exata destas franjas. \newline (ver \: problema \: 44 \: do \: cap.37 \: do \: Serway \; ed... \: \textit{vol. unico.}) Assim, se m_E é o valor de m na extremi- dade esquerda à direita o seu valor será m_E+5 (já que temos 6 faixas escuras). Com isso, a diferença de espessura será: l_E = \frac{m_E \lambda}{2 n_2} \ e \ l_D = \frac{(m_E+5)\lambda}{2 n_2} assimindo, p/o ar, n_2 = 1,00 temos: \Delta L = L_D - L_E = \frac{(m_E+5)\lambda}{2 n_2} - \frac{m_E\lambda}{2 n_2} \Delta L = \frac{5}{2} \frac{\lambda}{n_2} \therefore \Delta L = 1,58 x 10^{-6} m 5) Uma das superfícies de uma lente de vidro é revestida com um filme fino de fluoreto de magnésio (MgF_2) p/ reduzir a reflexão da luz. O índice de refração do MgF_2 é 1,38 e do vidro 1,50. Qual a menor espessura do revestimento capaz de eliminar os reflexos (por interferência) no ponto central do espectro visível (\lambda = 550 nm)? Supon hamos que a luz incide perpendicularmente à superfície da lente. primeiramente: analisar as diferenças de fase p/ saber qual eq. usar. Assim, como i vai n_1 < n_2, r_1 é defasado de \frac{\lambda}{2}. Na sequência, o raio refratado incide da n_2 < n_3 tb, assim, r_2 tb está defasado de \frac{\lambda}{2}. Como as 2 reflexões produzem a mesma mudança de fase, estas tendem a colocar r_1 e r_2 em fase. Como queremos que as ondas estejam fora de fase, a diferença entre as distâncias percorridas por cada raio deve ser igual a um n.º ímpar de comprimentos de onda; 2L = n.º ímpar \frac{\lambda}{2 n_2} assim, a eq. que devemos seguir p/ interferência destrutiva é: 2L = \left(n + \frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{n_2} Queremos que o filme tenha a menor espessura possível, ou seja, o menor valor de L, assim, fazemos n=0: L = \frac{1}{4 n_2} = \frac{550 nm}{(1)(1.38)} \approx 99,6 nm