Questão - Corrente em Fio - Eletromagnetismo 2022 1

3ª. Questão (3,5 pontos) Um fio cilíndrico de raio a é orientado com o eixo z. O fio conduz uma corrente não uniforme de densidade 𝑗⃗ = 𝑏𝑟 𝑧̂􀀀􀀀(𝑎𝑟)2, onde b é uma constante. (a) Qual a corrente total que flui no fio (0,5 ponto) (b) Encontre 𝐻 0 < r < a (1,0 ponto) (c) Encontre 𝐻 r > a (1,0 ponto) (d) Verifique os resultados dos itens b e c através da 3ª. equação de Maxwell na forma diferencial Δ × 𝐻 = 𝐽. 3) Temos 𝑗⃗ = 𝑏𝑟 𝑧̂ (1a) a) Para calcularmos a corrente total, precisamos integrar a densidade de 𝑗⃗ na área de seção Transversa do fio. Logo, 𝑖 = ∫ 𝑗⃗· 𝑑𝐴 a 0 = 2π ∫ 𝑗 𝑟 𝑑𝑟, onde apontamos o vetor área na di- reção 𝑧 e estamos trabalhando em coordenadas polares, sendo o elemento de área 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ = 2π 𝑟 𝑑𝑟 (onde já usamos que 𝑗⃗ não depende do ângulo). Logo, como j = br, 𝑖 = 2𝑟 π b𝑟2 𝑑r = 2π b 𝑎3 (A) 3 b) Vamos utilizar a Lei de Ampère na forma integral: Seja o laço ampreano uma circunferência coaxial ao fio, de raio 𝑟 tal que 0 < 𝑟 < a. Temos, pela lei de Ampère, ∮H· 𝑑L = 𝑖𝑛, onde 𝑖𝑛 é a corrente total compreendida dentro da área definido pelo laço. Logo, 𝑖𝑛 = ∫ 𝑗 2π 𝑟 𝑑𝑟 = 2π b ∫ 𝑟2 𝑑r = 2π b 𝑟3. Temos, 0 3 ∮H· 𝑑L = H 2π 𝑟 = 2π b 𝑟3 → 𝐻 = b 𝑟2 3 3 Como 𝑗⃗ depende apenas da distância radial, 𝐻 = 𝑏 𝑟2 (A/m) 3 enquanto 𝐻 é circunferencial e 𝑟 depende apenas do em c) Já para pontos fora do cilindro, utilizamos uma circun- ferência de raio 𝑟 > a, e a corrente enclausurada é a calculada no item a). Logo, ∮ 𝐻· 𝑑L = i → H 2 π r = 2 π b a 3 → 𝐻 = b a 3 π 𝜑 (A/m) 3 d) Para 𝑟 > a, temos, ∇ × 𝐻 = 1/r (∂/∂r (𝑟 𝐻) 𝑧̂, pois todos os outros termos do rotacional se anulam, já que H só depende de 𝑟 e aponta em 𝜑̂. ∇ × 𝐻 = 1/r (∂/∂r (ba 3/3)) 𝑧̂ = 0, como esperado pois 𝑗⃗ = 0 para r > a. Já para 0 ≤ r ≤ a, ∇ × 𝐻 = 1/r (∂/∂r (b r 2/3)) 𝑧̂ ∇ × 𝐻 = 1/r b 𝑟2 𝑧̂ = b 𝑟 𝑧̂ = 𝑗⃗, como queríamos demonstrar.