Trabalho - Eletromagnetismo - 2023-1

O resultado numérico acima foi feito com auxílio do programa Wolfram Alpha. A seguir, temos o esboço: 𝜎 = \frac{2h}{\Pi} \left\{ \frac{1}{(y+d)^2 + h^2} - \frac{1}{(y-d)^2 + h^2} \right\}. Ou, ainda: \LARGE{𝜎 = - \frac{4 𝜋 hd}{\Pi [(y-d)^2 + h^2] [(y+d)^2 + h^2]}} 2) Claramente, a densidade de cargas se anula na origem, pois se y=0, 𝜎=0. Nos limites de y ± ∞, a densidade de carga tende a 0. Para encontrarmos os máximos e mínimos, façamos \frac{d𝜎}{dy} = 0 \Rightarrow - \frac{2(y+d)}{((y+d)^2 + h^2)^2} + \frac{2(y-d)}{((y-d)^2 + h^2)^2} = 0 [(y+d)((y-d)^2+h^2)^2] = [(y-d)((y+d)^2+h^2)^2]. Aqui, vamos assumir valores para d e h de modo que as expressões fiquem mais simples de serem visualizadas. Se d=h=10, por exemplo, temos as soluções reais da equação acima como y_1 = -\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (ponto onde 𝜎 é máximo) y_2 = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (ponto onde 𝜎 é mínimo). Vamos analisar a representação acima. Primeiro, notamos que estamos assumindo que os cilindros são muito longos, de modo que o potencial gerado pelos fios não depende de x. Além disso, notamos que, para calcularmos o potencial desse sistema, o plano condutor pode ser substituído pelas imagens no 3° e 4° quadrante, como ilustrado. Essa aproximação será mostrada abaixo. Sabemos que o potencial de um cilindro carregado é, para pontos fora dele: \( V(y,z) = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \frac{R^2}{r^2} \), onde \( R \) é a constante e \( r^2 = (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \). Portanto, o potencial total devido aos 4 condutores é: \( V(y,z) = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \ln \left[ \frac{R^2}{(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \right] - \ln \left[ \frac{R^2}{(y+y_0)^2 + (z-z_0)^2} \right] \right. \\\ + \ln \left[ \frac{R^2}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} \right] - \ln \left[ \frac{R^2}{(y-y_0)^2 + (z+z_0)^2} \right] \right) \) Agrupando os quatro termos, temos: \( V(y,z) = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \left[ \frac{(y-y_0)^2 + (z+z_0)^2}{(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \frac{(y+y_0)^2 + (z-z_0)^2}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} \right] \) Vamos conferir se esse potencial satisfaz \( V = 0 \) em \( z = 0 \): \( V(y,0) = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \left[ \frac{(y-y_0)^2 + z_0^2}{(y-y_0)^2 + z_0^2} \frac{(y+y_0)^2 + z_0^2}{(y+y_0)^2 + z_0^2} \right] \) \( V(y,0) = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln 1 = 0 \), como esperado. 1) Para determinarmos a densidade superficial de cargas no plano condutor, vamos usar que a densidade de carga se relaciona com a componente normal do campo elétrico da seguinte maneira: \( \sigma = \varepsilon_0 E_z (y,0) \). Mas, \( E_z = - \frac{\partial V}{\partial z} \). Para calcular essa derivada, notamos que \( \frac{\partial}{\partial z} \ln \left[ \frac{R^2}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} \right] = -\frac{2(z+z_0)}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} \). Portanto, \( E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{z-z_0}{(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} - \frac{z+z_0}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} \\\ + \frac{z+z_0}{(y+y_0)^2 + (z+z_0)^2} - \frac{z-z_0}{(y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \right] \) Logo, a densidade de carga é: \( \sigma = \frac{\lambda}{2 \pi} \left[ -\frac{z_0}{(y-y_0)^2 + z_0^2} - \frac{z_0}{(y-y_0)^2 + z_0^2} + \frac{z_0}{(y+y_0)^2 + z_0^2} + \frac{z_0}{(y+y_0)^2 + z_0^2} \right] \) \( \sigma = \frac{\lambda z_0}{\pi} \left[ \frac{1}{(y+y_0)^2 + z_0^2} - \frac{1}{(y-y_0)^2 + z_0^2} \right] \) No nosso problema, \( z_0 = h \) e \( y_0 = d \), de modo que: