Questões - Campo de Direção e Laplace - 2023-2

Questão 1: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑒𝑥. a) Calcule 𝑓(2). b) Calcule 𝑑3𝑓(𝑥) 𝑑𝑥3 . c) Faça o gráfico de 𝑓(𝑥) para 𝑥 ∈ [−2,2]. Questão 2: Desenhe o campo de direção da EDO 𝑦′ = 𝑥𝑒𝑥 e uma solução passando pelo ponto (1,2). Questão 3: Se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100ºC a 60ºC, em quantos minutos sua temperatura cai de 100ºC a 30ºC? Questão 4: Encontre a solução da EDO 4𝑦′ = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑥 que satisfaça 𝑦(0) = 1. Qual método o Maxima utilizou para obter tal solução? Questão 5: Resolva o PVI abaixo: 𝑦′′ − 6𝑦′ + 10𝑦 = 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑦(𝜋) = 0 𝑦′(𝜋) = −1 Questão 6: Calcule a transformada de Laplace das funções abaixo: a) 𝑓(𝑥) = 𝑦′′′(𝑥) b) 𝑔(𝑥) = sin(𝑥) 𝑈(𝑥 − 2) c) ℎ(𝑥) = 𝑒−2𝑥 Questão 7: Encontre a transformada inversa de Laplace da função 𝑓(𝑠) = 1 𝑠2+4. Questão 8: Utilize transformada de Laplace para resolver o PVI abaixo e faça o gráfico da solução. 𝑦′ + 𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑦(0) = 0 , onde 𝑔(𝑡) = 2, 0 ≤ 𝑡 < 2 −2, 𝑡 ≥ 2 Questão 9: Resolva o PVF abaixo: 𝑦′′ + 4𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦(𝜋/4) = 2 A Lei do Resfriamento de Newton descreve uma situação de equilíbrio térmico entre um corpo e o ambiente em que ele se encontra. “A taxa de variação da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio ambiente.”