Slides Funções Vetoriais e Curvas Espaciais 2021 1

Funções Vetoriais e Curvas Espaciais Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Matemática Prof. Rocha Funções Vetoriais Definição 1: Uma função vetorial, ou função a valores vetoriais, é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Exemplo 1: Pense numa partícula que se movimenta sobre a parábola y=x^2 onde a sua posição em cada instante t é (t,t^2). Este movimento é então representado vpela função vetorial 𝑟 ⋅ ℝ → ℝ2 𝒓 𝒕 = 𝒕, 𝒕𝟐 Exemplo 2: Pense numa partícula que se movimenta sobre o cilindro 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 onde a sua posição em cada instante t é 𝑪𝒐𝒔 𝒕 , 𝑺𝒆𝒏 𝒕 , 𝒕 . Este movimento é então representado pela função vetorial 𝑟: ℝ → ℝ3 𝒓 𝒕 = 𝑪𝒐𝒔 𝒕 , 𝑺𝒆𝒏 𝒕 , 𝒕 Exemplo 3: A imagem da função vetorial 𝑟: ℝ → ℝ3 definida por 𝒓 𝒕 = 𝑪𝒐𝒔 𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒕 , 𝑺𝒆𝒏 𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒕 , 𝑺𝒆𝒏(𝒕) representa o movimento de uma partícula sobre a esfera de raio 1 e centro na origem. Funções vetoriais com imagem em ℝ3. Se r é uma função vetorial em ℝ3, então para todo número t no domínio de r existe um único vetor de ℝ3 denotado por r(t). Se f (t), t(t) e h(t) são as componentes do vetor r(t), então f, t e h são funções a valores reais chamadas funções componentes de r e podemos escrever Domínio. O domínio de uma função vetorial r(t)=( f (t), g(t) , h(t) ) é a interseção dos domínios de cada componente. Exemplo 4: Determine o domínio da função 𝑟 𝑡 = 𝑡 + 2, ln 𝑡2 − 1 , 5 − 𝑡 𝑓 𝑡 = 𝑡 + 2 ⇒ 𝐷𝑓 = −2, ∞ g 𝑡 = 𝑡2 − 1 ⇒ 𝐷𝑔 = −∞, −1 ∪ 1, +∞ h(t)= 5 − 𝑡 ⇒ 𝐷ℎ = −∞, 5 𝐷𝑟 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∩ 𝐷ℎ=[-2,-1) ∩(1,5) Imagem. A imagem de uma função vetorial r(t)=( f (t), g(t) , h(t) ) é o conjunto de vetores ( f (t), g(t) , h(t) ) onde t esta no domínio de r No exemplo 1 a imagem é uma parábola No exemplo 2 a imagem é uma hélice sobre o cilindro circular de raio 1 e eixo z No exemplo 3 a imagem é uma curva em forma de “oito” sobre a circunferência de centro na origem e raio. Obs.: Estaremos interessados em determinar/entender a imagem da função. Não temos interesse no gráfico destas funções. Limite O limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os limites de suas funções componentes como a seguir. Se r(t)=( f (t), g(t) , h(t) ) então lim 𝑡→𝑎 𝑟 𝑡 = lim 𝑡→𝑎 𝑓 𝑡 , lim 𝑡→𝑎 𝑔 𝑡 , lim 𝑡→𝑎 ℎ 𝑡 Exemplo 5: Determine lim 𝑡→0 𝑟 𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑡3−𝑡 𝑡2−𝑡, 𝑠𝑒𝑛(𝑡)/𝑡) lim 𝑡→0 𝑟 𝑡 = ( lim 𝑡→0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , lim 𝑡→0 𝑡3−𝑡 𝑡2−𝑡,lim 𝑡→0 𝑠𝑒𝑛(𝑡)/𝑡)=(0,1,1) Continuidade Uma função vetorial r é contínua em a se lim 𝑡→𝑎 𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑎 Em vista da Definição 1, Observação: r é contínua em a se e somente se suas funções componentes f, g e h forem contínuas em a. Curvas espaciais Suponha que f, t e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I. Então, o conjunto C de todos os pontos (x, y, z) no espaço, onde x=f(t) , y=g(t) e z=h(t) é chamado de curva espacial e as equações x=f(t) , y=g(t) e z=h(t) são as equações paramétricas de C. Exemplo 6: Esboce a curva cuja equação vetorial é dada por r 𝑡 = 2cos 𝑡, 𝑡, 3sen 𝑡 𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑥2 = 4 cos2 𝑡 , 𝑧2 = 9 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑥 4 2 + 𝑧 9 2=1 a projeção da curva sobre o plano xz é uma elipse y é independente de x e z 3 2 𝑥 𝑧 𝑦 Exemplo 7: Esboce a curva de interseção das superfícies y-x^2 =z e plano y+z=1 r x z y ൝𝒚 − 𝒙𝟐 = 𝒛 ⋅ 𝒚 + 𝒛 = 𝟏 ⇒ ቊ𝒚 − 𝐳 = 𝒙𝟐 ⋅ 𝒚 + 𝒛 = 𝟏 ⇒ ൜𝟐𝒚 = 𝟏 + 𝒙𝟐 ⋅ 𝒛 = 𝟏 − 𝒚 𝒓 𝒕 : 𝒙 = 𝒕 𝒚 = 𝟏 + 𝒕𝟐 𝟐 ⋅ 𝒛 = 𝟏 − 𝒕𝟐 𝟐 Lista de Exercícios do Livro Texto: Seção 13.1 Exercícios: ímpares de 1 a 29 Exercícios: múltiplos de 3 de 30 a 51