Questões Resolvidas de Geometria Plana - Parte 1

QUESTÕES RESOLVIDAS DE GEOMETRIA PLANA\n01. Em um triângulo ABC tem-se que AB = 1cm, AC = 2cm e a medida da mediana relativa ao lado BC é igual à medida do lado BC. Então a medida de BC é igual a:\na) 1+√2 cm\nb) 1+√3 cm\nc) √2 cm\nd) d²/3 cm\ne) √3 cm\n\n02. Num triângulo ABC, AH é a altura relativa ao vértice A e H pertence ao lado BC. M pertence à altura AH de modo que os ângulos <HBM, <MBA e <ACH sejam iguais. Sabendo que BH = 1 cm e HC = 6 cm, calcular a medida da altura AH.\na) √6 cm\nb) 3√6 cm\nc) 4√6 cm\nd) √2/3 cm\n\n03. Em um triângulo ABC, traça-se a mediana BM (<AMB é obtuso) e no triângulo AMB se traça a altura AH, tal que BM = 2MH, AH = 4 cm e BC = 2√5 cm. Calcular a medida de BM.\na) 1\nb) 2\nc) 3\nd) 4\ne) 5\n\n04. Num triângulo ABC, sabe-se que AB = 14 cm e AC = 18 cm. Sabe-se também que a reta que passa pelo incentro e pelo baricentro desse triângulo é paralela ao lado BC. Determine a medida do lado BC. 1\n2 cm\n 1 cm\n A\n 2X\n C M \n B\n\nAM - mediana\nM - ponto médio de BC\nCM = MB\nAM = BC\n\nUtilizando o teorema de Stewart temos:\n1² x + 2² x = 2x(2x)² + 2x.x.x\nx⁴ + 4x² - 8x + 2x³\n10x³ - 5x = 0\n5x(2x² - 1) = 0\n5x = 0 → x = 0 (não convém)\n\n2x² - 1 = 0\n2x² = 1\nx² = 1/2\n\nx = ±√(1/2)\nx = ±1/√2\nx = ±√2/2\nX = √2/2\n\nBC = 2x = 2.√2/2 = √2\n\nm(BC) = √2 cm\n\nALTERNATIVA C AH é altura relativa ao vértice A\n<MHA = <MBA = <ACH\nBM é bissetriz do <ABH\n\nAplicando o teorema da bissetriz interna no △ABH, temos:\ny/1 = x/C ⇒ y = yC (I)\n\nTemos que △ACH ~ △BMH (caso A.A.), então:\nx + y = 6y\nyc + y = 6y ⇒ yc = 5y ⇒ C = 5\n\nAplicando o teorema de Pitágoras no △BHM, temos:\n(BM)² = 1 + y² (III)\n\nCalculando BM, temos:\nBM = √C·1 - xy ⇒ (BM)² = C - xy (IV)\n\nIgualando (III) e (IV), temos:\ny² + 1 = C - xy\ny² + xy = C - 1 (substituindo (I)), temos: BM é mediana relativa ao vértice B\nAH é altura do Δ AMB\nM é ponto médio de AC (AM = MC)\nCálculo da mediana BM:\n2x = (1/2)√2.(2√5)² + c² - b²\n4x = √2.(20 + c²) - b²\n4x = √40 + 2c² - b²\n16x² = 40 + 2c² - b² (I)\nAplicando Teorema de Pitágoras no Δ AHM, temos:\n(1/2)² = x² + 4²\nb² = x² + 16 → b² = 4x² + 64 (II)\nAplicando Teorema de Pitágoras no Δ AHB, temos:\nc² = 4² + (3x)²\nc² = 16 + 9x² (III)\nSubstituindo (II) e (III) em (I), temos: y² + yC - y = C - 1\ny² + yC = C - 1\ny²(1 + c) = C - 1 (substituindo o valor de c), temos:\ny²(1 + 5) = 5 - 1\ny²/6 = 4\ny = ±√(2/3)\ny = ±√6/3\nCálculo de X: De (I), temos:\nX = yC\nX = √(6/5)\nX = 5√6/3\nAH = x + y = 5√6/3 + √6/3 = √6/3 = 2√6\nm(AH) = 2√6 cm\nalternativa b 16x² = 40 + 2c² - b²\n16x² = 40 + 2.(16 + 9x²) - (4x² + 64)\n16x² = 40 + 32 + 18x² - 4x² - 64\n16x² - 14x² = 72 - 64\n2x² = 8\nx² = 8/2\nx² = 4\nx = ±√4\nx = ±2\nX = 2\nCálculo do BM:\nBM = 2x = 2.2 = 4\nm(BM) = 4 cm\nalternativa d 14\nA\n\nc\n\nA\nM e mediana relativa a A\nP e é bissetriz do Δ ABC\nAN e bissetriz interna de A\nI i in\n\nB\n\nc\n\nm(AB) = 14cm = c\nm(AC) = 18 cm = b\nm(BC) = a\n\nB M = M C / 2\nAP = 2/3 AM, PM = 1/3 AM\n\nAplicando o teorema da bissetriz interna, temos:\n\nAI = b+c → AI = 18+14 → AI = 32\nIN a\n\nComo a r\nisto passa por P e por I e e paralela a BC, podemos aplicar o teorema de Tales, então:\n\nAP = AI\nPM\nIN\n\n2/3 = 32/a\n\n2a = 32\na = 16\n\nm(BC) = a = 16 cm\nalternativa a