Questões Resolvidas de Teoria dos Números indução

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS (INDUÇÃO)\n\n1) Demonstre por indução a proposição:\nP(n): 12 + 32 + 52 + ... + (2n - 1)2 = n/3 (4n2 - 1), ∀n ∈ N.\n\n2) Demonstre por indução a proposição:\nP(n): 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ≤ 2 - 1/n ∀n ∈ N.\n\n3) Demonstrar por indução que:\n8|(3n + 7), ∀n ∈ N\n\n4) Demonstrar por indução que 10^(n+1) - 9n - 10 é um múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n. p(1) = 1² * 1/3 = 4·1 - 1 = 3/3 = 1, verdade\n\nSupondo verdade para 2n - 1, então devemos mostrar para 2n + 1:\n1² + 3² + 5² + ... + (2n - 1)² + (2n + 1)² = n/3 (2n + 1)² =\n= n/3 [(2n)² - 1] + (2n + 1)² = n/3 (2n + 1)(2n - 1) =\n= (2n² - n + 6n + 3)(2n + 1) = (2n² + 5n + 3)(2n + 4) =\n= 4n³ + 12n² + 11n + 3 = 4n³ + 12n² + 11n + 3 = \n= (4n² + 8n + 3)(n + 1) = (4n² + 8n + 4 - 1)(n + 1) =\n= [4(n + 1)² - 1]/3 = (n + 1)² - 1/3 p(1) n = 1, temos:\nP(1): 1/I² ≤ 2 - 1/I\n1 < 1, verdadeira\n\nSupondo verdadeira para algum n, iremos mostrar p(n + 1).\n\n1 + 1/3 + ... + 1/n + 1 ≤ (2 - 1/n + 1/n + 1)²\nPodemos observar que: n < n+1 < (n + 1)² ∀n ∈ N\n=> 2 - 1/n < 2 - 1/2 < 1/(n + 1)\nComo, => 1/n+1(n+1)² < 2/n+1\nPodemos observar ainda que: 2n > n > 1 ∀n ∈ N\n=> 2n > n => -1/n1 < -1 p/n = 1\nP(1) = 8 | (8^{3} + 7) = 8/16, verídica\nSuponemos verdaderas para algún n, debemos mostrar para n+1\n3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n + 2} + 7 = 3^{2n} . 3^{2} + 7 = 3^{2n} . 9 + 9 - 2 = 9.(3^{2n} + 1) - 2 = p, p ∈ Z\n9.(3^{2n} + 1) = p + 2 ⇒ 3^{2n} + 1 = p + 2/g ⇒ 3^{2n} + 7 = p + 2 + 6/g\n⇒ 8q = p + 2 + 54/g ⇒ p = 72q - 56 ⇒ p = 8.(9g - 7)\nK ∈ Z\np = 8 K = 3^{2(n+1)} + 7 p/n = 1\nP(1) = 10^{1+1} . 9 . 1 - 10 = 81, 81|81, verídica\nSupongamos verdaderas para algún n, debemos probar para n+1\n10^{(n+1)+1} - 9(n+1) - 10 = p, p ∈ Z\n10^{n+1} - 10 - 9n - 9 - 10 = p ⇒ 10^{n} - 9 = p + 9\n⇒ 10^{n+1} - 9n - 1 = p + 9 ⇒ 10^{n+1} - (9n + 10) = p + 9\n⇒ 10^{n+1} = p + 9n + 10 ⇒ 81q - 9n - 10 = p + 9n + 19\n⇒ p = 81q + 9n + 19 ⇒ 810q + 90n + 100 = p + 9n + 19\n⇒ p = 810q + 90n + 100 - 9n - 19 ⇒ p = 81(10q + n + 1)\nK, K ∈ Z\np = 81 K\np | 81