Questões Resolvidas de Teoria dos Números equações Diofantinas Lineares e Divisibilidade

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS (DIVISIBILIDADE E EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES)\n\n1) Determine todas as soluções inteiras das equações diofantinas lineares:\na) 56x + 72y = 40 b) 17x + 54y = 8\n\n2) Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:\na) 5x - 11y = 29 b) 30x + 17y = 300\n\n3) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente.\n\n4) Expprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.\n\n5) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 por denominadores e cuja soma seja igual a \\frac{305}{221}. 1)\na) 56x + 72y = 40\n\n8 - 56 - 16.3 = 56 - (72 - 56.1).3 = 56.4 - 72.3 = 56.4 + 72.(-3)\nMultiplicando ambos os membros da igualdade por 8|40 = 5,\n8 . 56 . 4 - 72.(-3)\n\nSolução particular: x = -20 e y = -15\nSolução geral: x = -20 + (72/8)t -> x = -20 + 9t e\ny = -15 - (56/8)t -> y = -15 - 7t, com t arbitrário\n\nb) 17x + 54y = 8\n\n54 17 3 1 3\n54 17 3 2 1\n2 3 2 1 0\n\n1 = 3 - 2 = 3 - (17 - 3.5) = 3.6 - 17 - (54 - 17.3).6 - 17 = 54.6 + 17(-18 - 1) = 17(-19) + 54.6\n\nSolução particular: x = -19 e y = 6\nSolução geral: x = -19 + 54k e\ny = 6 + 17t, com t arbitrário 2)\na) 5x - 11y = 29\n\n11 = 5.2 + 1\n\nTemos uma solução imediata: x = -2 e y = -1, com isso temos: x = -2 - 29, x = -58 e y = -1 - 29.\n\nSolução geral: x = -58 + (11)1t -> x = -58 - 11t e\ny = 29 - (5)1t -> y = 29 - 5t\n\nSendo:\n-58 - 11x > 0 => t < -58/11 ou\n-29 - 5t > 0 => t < -29/5\n\nConsiderando t = -6, então:\nx = -58 - 11t e\ny = -29 - 5t. Consideremos n um inteiro positivo, então n = 8x + 6 e n = 15y + 13.\n8x + 6 = 15y + 13\n8x - 15y = 7\nSolução particular: x = -1 e y = -1\nSolução geral: X = -1 + (-15)t => X = -1 - 15t e y = -1 + (8/1)t => y = -1 + 8t\n#\n#\n#\n#\nConsiderando t = -1, temos:\nx = -1 - 15(-1) = 14 => y = -1 - 8(-1) = 7\nPortanto n = 8.14 + 6 = 118 ou n = 15.7 + 13 = 188\nO menor inteiro positivo é 118. Considerando 7x e 11y os dois inteiros positivos, então:\n7x + 11y = 100\n11 = 7.1 + 4\n7 = 4.1 + 3\n4 = 3.1 + 1\n1 = 4 - 3.1 = 4 - (7 - 4.1) = 4.2 - 7.1.(11-7).2 - 7.1 = 7(-3) + 11.2\nSolução particular: x = -3 e y = 2\nMultiplicando ambos os membros da igualdade por 100:\n1 = 7(-3) + 11.2.(100)\n100 = 7(-300) + 11.200\nSolução geral: X = -300 + 11t e y = 200 - 7t. Considerando as frações x e y, temos então:\nx/13 + y/17 = (17x + 13y) / 221 = 305/221 => 17x + 13y = 305.\n1 3 4\n17 13 41\n4 1 0\n1 - 13 - 4 = 13 - (17 - 13.1).3 = 17 - (-3) + 13.4\nMultiplicando ambos os membros da igualdade por 305:\n305 = 17(-915) + 13.(4220)\nSolução particular: x = -915 e y = 1220.\nSolução geral: X = -915 + 13t e y = 1220 - 17t.\nTemos: -915 + 13t > 0 => t > 70 e 1220 - 17t > 0 => t < 72.\nConsiderando t = 71, temos:\nX = -915 + 13.71 = 8 e y = 1220 - 17.71 = 13.\nAs duas menores frações positivas são: 8/13 e 13/17.