Questões Resolvidas de Geometria Plana - Parte 2

QUESTÕES RESOLVIDAS DE GEOMETRIA PLANA - parte 2\n01. As retas r, s e t são paralelas, com s entre r e t. As transversais u e v determinam, sobre r, s, t pontos A, B, C e A', B', C', respectivamente, tais que AB = x + 2, BC = 2y, A'B' = y e B'C' = (x - 10)/2. Sabendo que x + y = 18, determine AB.\n\n02. Se ABC é um triângulo equilátero e P é um ponto qualquer sobre o arco menor BC de seu círculo circunscrito, então prove que PB + PC = PA.\n\n03. Seja ABC um triângulo qualquer. Utilize o teorema de Ceva para provar que as bissetrizes internas desse triângulo são concorrentes.\n\n04. ABC é um triângulo acutângulo e D é um ponto sobre o lado BC tal que BD / DC = 2 / 3; quanto E é um ponto sobre o lado AC tal que AE / EC = 3 / 4. Sabendo que AD e BE cortam-se em um ponto F, calcular o valor de AE / BF e FD / FE.\n\na) 1/2\nb) 7/6\nc) 9/8\nd) 35/12\ne) 36/25\n\n05. Seja ABCD um trapézio e \"O\" o ponto médio da diagonal BD. Calcular o perímetro do triângulo AOC, sabendo que AB = 6 cm, AD = 8 cm, BC = CD e que os triângulos ABD e BCD são retângulos.\n\na) (10 + 7√2) cm\nb) (10 + 8 + 7√2) cm\nc) (10 + 6√2) cm\nd) (10 + 5√2) cm\ne) 24 cm\n\nTENHA UM BOM DESEMPENHO!! 12\nUtilizando Teorema de Tales, temos:\n\ndados:\n\ntx + 2 = 2y\n2y\nx + 10\n\nx² + 2x - 10 - 20 = -4y²\ny² = -8x - 20 = -4y²\n\n{x + y = 18\ny = 18 - x \\7}\n\nx² - 8x - 20 = 1296 - 144x + 4x²\n4x² - x² - 144x + 8x + 1296 + 20 = 0\n3x² - 136x + 4316 = 0\nΛ = 2.704\nx = 136 + 52\n6\nx¹ = 31,3\nx² = 14\n\np / x = 31,3, temos:\ny = 18 - 31,3\ny = -13,3 (não comemos)\n\np / X = 14, temos:\ny = 18 - 14\ny = 4,\n\nentão x = 4\nAB = x + 2\nAB = 4 + 2\nAB = 6 A ABC é equilátero, então\nm(AB) = m(BC) = m(AC) = l\n\nComo o quadrilátero ABPC está inscrito no círculo e chamando a m(PC) = x e m(PB) = y e utilizando o teorema de Pitágoras, temos:\n085: m(PA) = z\nBC, PA = AC, PB + AB, PC\nl.z = l.y + l.x\nl.z = l(y + x)\n\nZ = l(y + x)\nZ = x + y\n\nPA = PB + PC ou\nPA = PC + PB Considere o triângulo ABC abaixo:\n\nPara que as bissetrizes internas se passem concumentes, pelo Teorema de Ceva temos que:\nAF . BM . CN = 1\nPB . MC . NA\n\nSabemos:\nAM é bissetriz interna de A\nBN é bissetriz interna de B\nCF é bissetriz interna de C\n\nPelo Teorema da Bissetriz Interna, temos:\nAF = AC\nPB = BC\nBM = AB\nMC = AC\nCN = BC\nNA = AB\n\nMultiplicando, membro a membro, temos:\nAF . BM . CN = AB . PB . BC\nFB . MC . NA = BG . AS . AB\n\nAF . BM . CN = 1, logo, pelo Teorema de Ceva, os triângulos internos do ΔABC são concuentes. A\n B\n D C\n E\n F\nBD = 2\nDC = 3\nAE = 3\nEC = 4\n\nPelo Teorema de Menelaus, temos:\nAC . EF . BD = 1\nAE . FB . DC = 1\nAC . EF . 2 = 1\nAE . FB = 3\nAC . EF = 3\nAE . FB = 2\n\nMultiplicando membro a membro, as duas propriedades encontradas, temos:\nAC . BC . 3 = 2 . BF . AF\nAE . BD = 2 . 3 . FE . FD\n\n7 . 5 = 2 . BF . AE\n3 . 2 . FE . FD\n\n2 . BF . AF = 35\nFE . FD = 6\nBF . AF = 35\nFE . FD = 2\n\nAlternativa d No ΔABD utilizando Pitágoras\n(DB)² = 6 + 8\n(DB)² = 36 + 64\n(DB)² = 100\nDB = 10 cm, então:\nOB . OD = 5 cm (é ponto médio)\n\nNo ΔBC utilizando Teorema de Pitágoras, temos:\n10² = x² + x²\n2x² = 100\nx² = 50\nx = 5√2 cm\nDC = BC = 5√2 cm\n\nComo o quadrilátero ABCD possui um par de ângulos opostos suplementares, então ele pode ser inscrito em uma circunferência e com isso temos que OA = OC = OB = OD = 5 cm (só raio da circunferência)\n\nUtilizando o Teorema de Ptolomeu, temos:\nAC . BD = BC . AD + AB . CD\nAC . 10 = 5√2 . 8 + 6 . 5√2\n10AC = 40√2 + 30√2\n10AC = 70√2\nAC = 7√2 cm, portanto:\n2p(ΔAOC) = AO + OC + AC\n2p(ΔAOC) = (5 + 5 + 7√2) cm\n\n2p(ΔAOC) = (10 + 7√2) cm\nAlternativa a