Questões Resolvidas de Probabilidade

QUESTÕES RESOLVIDAS DE PROBABILIDADE 01. Em uma gaveta há 10 pilhas, das quais duas estão descarregadas. Testando-se as pilhas uma a uma até serem identificadas as duas descarregadas, determine a probabilidade de serem feitos cinco testes. 02. O volante da Mega Sena contém 60 números de 1 a 60. Para concorrer, pode-se apostar em seis números (aposta mínima), sete, oito, ..., até quinze (aposta máxima). Há prêmios para quem acertar quatro números (quadra), cinco números (quina) e os seis números (sena). a) Qual a chance de ganhar quem faz a aposta mínima? b) E as chances de fazer a quadra com a aposta mínima? 03. Considere que cada círculo abaixo deve ser pintado com uma cor, escolhida ao acaso entre três cores disponíveis. Determine a probabilidade de que: a) círculos vizinhos não sejam pintados com uma mesma cor. b) exatamente duas cores sejam utilizadas. 04. João e Maria vão disputar um jogo de dados em que o vencedor será aquele que primeiro conseguir obter a face 6 no lançamento de um dado não viciado. Sabe-se que eles jogarão os dados alternativamente, começando por Maria. a) Qual a probabilidade de João vencer o jogo? b) Qual seria a resposta se João começasse jogando? TENHA UM BOM DESEMPENHO!!! RESOLUÇÕES 1) Como queremos calcular a probabilidade de serem feitos 5 testes, temos a seguinte situação: P(descargada) = 2/10 P(carregada) = 8/9 P(carregada) = 7/8 P(carregada) = 6/7 P(descargada) = 1/6 (já que uma descargada saiu na 1ª retirada) Como 1 descargada saiu na primeira retirada restaram 4 possibilidades para sair a 2ª descargada, então: P = C_{4,1} * (2/10) * (1/9) * (8/90) = (4/45) 2) Número total de possibilidades de fazer a aposta: Ω = C_{60,6} a) P(sena) = 1/[(54! * 6!) / (60!)] = 720/35.045.979.200 b) P(quadra/aposta mínima) = C_{54,2} * C_{6,4} / C_{60,6} = [(54! * 6!) / (52! * 2! * 4!) * 286/2] / (60! / (54! * 6!)) = 286/2 / (28.836.783.360) 3) Ω = 3^5 = 243 a) 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 48 maneiras de pintar P = 48/243 = 16/81 b) P(C_{4,5} = 5) = decoração 1 P^{3,2}_{5} = 10 = decoração 2 P^{3,2}_{5} = 10 = decoração 3 P^{4,5}_{5} = 5 = decoração 4 Como temos 3 cores para escolher 2, então: C_{3,2} * 30 = 3! / (2! * 1!) = 30 possibilidades P = 90/243 = 10/27 a) P(Maria perder e Joao ganhar) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6^2} P(Maria perder, Joao perder, Maria perder e Joao ganhar) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^3}{6^4} P(Maria perder, Joao perder, Maria perder, Joao perder, Maria perder e Joao ganhar) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^5}{6^6} Somando todas as probabilidades, temos: \frac{5}{6^2} + \frac{5^3}{6^4} + \frac{5^5}{6^6} + ... que é uma P.G. de razão q = (\frac{5}{6})^2 S_n = \frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{5}{36}}{1-(\frac{5}{6})^2} = \frac{5}{36 - 25} = \frac{5}{11} b) P(Joao ganhar) = \frac{1}{6} P(Joao perder, Maria perder e Joao ganhar) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^2}{6^3} P(Joao perder, Maria perder, Joao perder, Maria perder e Joao ganhar) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^4}{6^5} Somando todas as probabilidades, temos: \frac{1}{6} + \frac{5^2}{6^3} + \frac{5^4}{6^5} + ... que é uma P.G. de razão q = (\frac{5}{6})^2 S_n = \frac{\frac{1}{6}}{1-(\frac{5}{6})^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{36 - 25} = \frac{6}{11}