Questões Resolvidas de Teoria dos Números mmc e Mdc

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS\n\n(mmc e mdc)\n\n1. Sejam m e n inteiros positivos. Mostre que o mdc(a^m - 1, a^n - 1) = a^mdc(m,n) - 1.\n\n2. Achar os inteiros x e y que verificam cada uma das seguintes igualdades:\n a) 78x + 32y = 2\n b) -104x + 91y = 13\n\n3. O mdc de dois inteiros positivos a e b é e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b.\n\n4. Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos tais que o mdc(a, b) = mmc(a, b), então a = b.\n\n5. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo:\n a) ab = 4032 e mmc(a,b) = 336\n b) mdc(a,b) = 8 e mmc(a,b) = 560 1) Considerando os inteiros x e y e k, temos:\nx = (x - 1)(x^y - x^2y + x^3y + ... + x^k) + (x - k) \n a = -1, (a^n - 1) é divisível por a mdc(m,n), 1 e a^n - 1 é divisível por \na mdc(m,1). \nmdc(m,n) se divisi com com a^n - 1 e a^n - 1 e é o máximo divisor comum entre eles. \n\n2) 79x + 32y = 2 \nPodemos escrever: 78 = 32*2 + 14 \n32 = 14*2 + 4 \n\n44 = 4*3 + 2 \n4 = 2*2 + 0 \n\nEscrevendo 2 como combinação linear de 78 e 32, temos:\n2 = 14 - 4*3 = 14 - (32 - 14*2)*3 = 7*14 - 3*2 \n= 7*(78 - 32*2) - 32*3 = 7*78 + 3*(-17), logo x = 7 e y = -17\n\nb) -104x + 91y = 13 3) \n 2 1 1 4 \n a b y 8 \n x y 8 0 \n\n y = 8*4 + 0 = 32 \n x = y + 78 - 32 - 1*8 - 40 \n b: x + 1y = 40, 1 + 32 = 72 \n a = 2*b + x*0, 2*72 + 40 = 184 \n\n a = 184 e b = 72 \n\n4) Chamamos K = mdc(a,b), temos que:\nK|a e K|b \nChamamos K = mmc(a,b), temos que:\na|K e b|K \n\nComo K|a e a|K, então a = K e como K|b e b|K, então b = K \nlogo a = b. b) mdc(a,b) = 8, então a = 8x e b = 8y (x e y inteiros)\nmmc(a,b) = 8.560 = 4.480\n\na.b = 4480\n8x.8y = 4480\n64xy = 4480\nxy = 70 → x = 1 e y = 70 ou x = 2 e y = 35\nou x = 7 e y = 10 ou x = 5 e y = 14\n\npl x = 1 e y = 70, temos que: a = 8 e b = 560\npl x = 2 e y = 35, temos que: a = 16 e b = 270\npl x = 7 e y = 10, temos que: a = 56 e b = 80\npl x = 5 e y = 14, temos que: a = 40 e b = 112\n