Questões Resolvidas de Teoria dos Números congruência

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS (CONGRUÊNCIA) 1) É possível escrever 1000 como soma de dois cubos perfeitos?\n\nInicialmente vamos observar o que acontece com alguns cubos perfeitos:\n\n\\( 2^3 = 3.3.3 = 9.3 = 2.3 \\)\n\\( 8^3 = 1 (mod 7) \\)\n\\( 27^3 = -1 (mod 7) \\)\n\\( 64^3 = 1 (mod 7) \\)\n\\( 125 = -1 (mod 7) \\)\n\\( 216 = 1 (mod 7) \\)\n\\( 343 = 0 (mod 7) \\)\n\nPercebemos que esses cubos estão sendo congruentes a -1, 0 ou 1, considerando (mod 7). Quando somamos dois cubos, essa soma dá no mínimo -2 e no máximo 2, estão:\n\\( -2 \\equiv -2 (mod 7) \\)\n\\( -1 \\equiv 1 (mod 7) \\)\n\\( 0 \\equiv 0 (mod 7) \\)\n\\( 1 \\equiv 2 (mod 7) \\)\n\nConsiderando agora o número 1000, temos que verifica-se a igualdade atrás e possível.\n\\( 1000 = a\\cdot b \\)\n\\( 10^4 = 34^1 (mod 7) = 3.3.3.3 (mod 7) = 9.9 (mod 7) = 2.2 (mod 7) \\)\n\nTemos que, 1000 \\equiv 4 (mod 7) e como percebemos anteriormente que 3 \\cdot a^3 só é congruente a -2, que 0, ou 0, ou 1, ou 2, então nenhum deles será igual a 4.\n\nConcluímos que 1000 não pode ser escrito como uma soma de cubos. 2) Prove que 1^n + 2^n + 3^n + ... + (n-1)^n é divisível por n se n é ímpar.\nSe n é ímpar, então -1 é par. Com isso a soma a-.\nConsiderando que essa soma em pares: 1^n + (n-1)^n\\cdots + 2^n + (n-2)^n + ... + k^n + (n-k)^n,\n\nEm módulo n:\n1^n + (n-1)^n \\equiv 1^n + (-1)^n \\equiv 0\n0 \\equiv 0, se n é ímpar.\n\n2^n + (n-2)^n \\equiv 2^n + (-2)^n \\equiv 0.\\cdots\</n>\n\nk^n + (n-k)^n \\equiv k^n + (-k)^n \\equiv 0.\n\nObservamos que todas as parcelas são divisíveis por n, então a soma delas também é divisível por n, desde que n seja ímpar. 4) Dê três números que, somados a 16 tenham o resultado divisível por 6.\n I) 16 + 2 = 18\n II) 16 + 2 + 6 = 24\n III) 16 + 2 + 6 + 6 = 30\n Escrevendo em módulo 6, temos (escrevendo cada item acima)\n I) 4 + 2 = 0\n II) 4 + 2 + 0 = 0\n III) 4 + 2 + 0 + 0 = 0\n Os números são: 2, 8 e 14; todos eles congruentes a 2 (mod 6).\n\n5) Encontre um número que, somado a (n² - 1)^{1000} (n + 1)^{1001} tenha resultado divisível por n.\n Rescrevendo a expressão acima em (mod n)\n (n² - 1)^{1000} (n + 1)^{1001} = (0 - 1)^{1000} (1)^{1001} (mod n)\n ≡ (-1)^{1000} (1)^{1001} (mod n)\n ≡ 1·1 (mod n)\n ≡ 1 (mod n)\n Então para que a expressão (n² - 1)^{1000} (n + 1)^{1001} tenha resultado divisível por n, devemos somar a ela o número n - 1.