Capítulo 6: Sistemas com Vários Graus de Liberdade - Autovalores Repetidos

Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 1 6103 Autovalores repetidos Se a equação característica possui raízes repetidas as formas modais correspondentes não são únicas As formas modais Correspondem ao autovalor repetido Multiplicando a 1a equação por 𝑝 e somando com a 2a equação temos Observase que a nova forma modal também satisfaz a equação do problema de autovalor padrão Portanto a forma modal correspondente ao autovalor 𝜆 não é única Qualquer forma modal 𝑋 𝑖 correspondente ao autovalor i deve ser ortogonal a 𝑋 3 caso ele seja um modo normal Se todos os três modos forem ortogonais eles serão linearmente independentes e podem ser usados para descrever a vibração livre Satisfazem a equação 𝑋 1 𝑋 2 𝜆1 𝜆2 𝜆 𝐷 𝑋 1 𝜆1 𝑋 1 𝐷 𝑋 2 𝜆2 𝑋 2 𝐷 𝑋 3 𝜆3 𝑋 3 𝐷 𝑝 𝑋 1 𝑋 2 𝜆 𝑝 𝑋 1 𝑋 2 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 2 Exemplo 612 Autovalores repetidos Determine os autovalores e autovetores de um sistema vibratório para o qual e 𝑚 1 0 0 0 2 0 0 0 1 𝑘 1 2 1 2 4 2 1 2 1 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 3 Se 𝑥 for um vetor arbitrário no espaço ndimensional então Prémultiplicando por 𝑋 𝑗 𝑚 temse que 611 Teorema da expansão Os autovetores formam uma base no espaço ndimensional e qualquer vetor no espaço ndimensional pode ser expresso como combinação linear dos 𝑛 autovetores linearmente independentes Se os vetores modais forem normalizados a constante 𝑐𝑖 é dada por Essa equação é conhecida como o teorema de expansão 𝑥 𝑖1 𝑛 𝑐𝑖 𝑋 𝑖 687 𝑐𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑥 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑥 𝑀𝑖𝑖 𝑖 12 𝑛 688 𝑐𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑥 𝑖 12 𝑛 689 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 4 612 Sistemas irrestritos Por definição a energia cinética é sempre positiva portanto a matriz massa é uma matriz positiva definida Contudo a matriz de rigidez é uma matriz semidefinida a energia potencial é zero sem que o vetor deslocamento seja zero para sistemas irrestritos A equação de movimento para vibração livre Para 𝜔 0 a solução é Se o vetor modal para o modo rígido é O problema de autovalor pode ser expresso como 𝜔 0 então 𝑘 𝑋 0 0 Isto é Se o sistema sofrer translação de corpo rígido nem todos os componentes do vetor modal são zeros isto é o vetor modal não é zero portanto a determinante da matriz de rigidez é zero e a mesma é singular para sistemas irrestritos A energia potencial é definida como 𝑞 𝑡 𝜔2𝑞 𝑡 0 𝑞 𝑡 𝛼 𝛽𝑡 𝑋 0 𝜔2 𝑚 𝑋 0 𝑘 𝑋 0 𝑘11𝑋1 0 𝑘12𝑋2 0 𝑘1𝑛𝑋𝑛 0 0 𝑘21𝑋1 0 𝑘22𝑋2 0 𝑘2𝑛𝑋𝑛 0 0 𝑘𝑛1𝑋1 0 𝑘𝑛2𝑋2 0 𝑘𝑛𝑛𝑋𝑛 0 0 𝑉 1 2 𝑋 0 𝑇 𝑘 𝑋 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 5 Exemplo 613 Frequências naturais de um sistema livre Três vagões de carga estão acoplados por duas molas como mostra a figura Determine as frequências naturais e formas modais do sistema para 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑚 e 𝑘1 𝑘2 𝑘 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 6 Utilizando a solução geral podese escrever como 613 Vibração livre de sistemas não amortecidos A equação de movimento para vibração livre na forma matricial é A solução mais geral é a combinação linear de todas as possíveis soluções Sendo 𝑋 𝑖 o iésimo vetor modal 𝜔𝑖 a frequência natural correspondente e 𝐴𝑖 𝜙𝑖 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais deslocamento e velocidade Representam em forma escalar 2𝑛 equações simultâneas que podem ser resolvidas para determinar os 𝑛 valores de 𝐴𝑖 𝜙𝑖 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 0 695 𝑥 𝑡 𝑖1 𝑛 𝑋 𝑖 𝐴𝑖 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑖𝑡 𝜙𝑖 696 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥𝑛 0 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥𝑛 0 𝑥 0 𝑖1 𝑛 𝑋 𝑖 𝐴𝑖 𝐶𝑜𝑠 𝜙𝑖 𝑥 0 𝑖1 𝑛 𝑋 𝑖 𝐴𝑖𝜔𝑖 𝑆𝑒𝑛 𝜙𝑖 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 7 Exemplo 614 Análise de vibração livre de um sistema massamola Determine a resposta de vibração livre do sistema massamola mostrado na figura correspondente ás condições iniciais Suponha que 𝑘𝑖 𝑘 e 𝑚𝑖 𝑚 para 𝑖 123 𝑥1 0 𝑥10 𝑥2 0 𝑥3 0 0 𝑥𝑖 0 0 𝑖 123 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 8 614 Vibração forçada de sistemas não amortecidos utilizando análise modal A solução das equações de movimento tornase complexa quando o grau de liberdade do sistema 𝑛 é grande ou quando as forças são não periódicas Nesse caso o método a usar é a Análise Modal que usa o teorema da expansão combinação linear dos modos normais Conseguindo desacoplar as equações de movimento Análise Modal A equação de movimento na forma matricial é Primeiro resolvese o problema de autovalor Determinado os autovalores e autovetores pode ser definindo de acordo ao teorema de expansão onde 𝑞𝑖 são as coordenadas generalizadas coordenadas principais ou coeficientes de participação modal A matriz modal 𝑋 é definida como 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 6100 𝜔2 𝑚 𝑋 𝑘 𝑋 6101 𝑥 𝑡 𝑞1 𝑡 𝑋 1 𝑞2 𝑡 𝑋 2 𝑞𝑛 𝑡 𝑋 𝑛 6102 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 9 Se os modos normalizando forem utilizados temos Prémultiplicando pela transposta da matriz modal Reescrevendo a resposta como Como a matriz modal não é função do tempo temos Substituindo na equação de movimento temos O vetor de forças generalizadas associadas às coordenadas generalizadas é A equação de movimento pode ser expressa na forma 𝑋 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 𝑛 𝑥 𝑡 𝑋 𝑞 𝑡 𝑞𝑇 𝑡 𝑞1 𝑡 𝑞2 𝑡 𝑞𝑛 𝑡 𝑥 𝑡 𝑋 𝑞 𝑡 𝑚 𝑋 𝑞 𝑘 𝑋 𝑞 𝐹 𝑋 𝑇 𝑚 𝑋 𝑞 𝑋 𝑇 𝑘 𝑋 𝑞 𝑋 𝑇 𝐹 6108 𝑋 𝑇 𝑚 𝑋 𝐼 6109 𝑋 𝑇 𝑘 𝑋 𝜔2 6110 𝑄 𝑡 𝑋 𝑇 𝐹 𝑡 6111 𝑞 𝑡 𝜔2 𝑞 𝑡 𝑄 𝑡 6112 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 10 Cuja solução é Que denota a solução de 𝑛 equações da forma Os deslocamentos e velocidades generalizadas iniciais são definidas como onde 𝑞𝑖 𝑡 𝜔𝑖2 𝑞𝑖 𝑡 𝑄𝑖 𝑡 𝑖 12 𝑛 𝑞𝑖 𝑡 𝑞𝑖 0 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑖𝑡 𝑞 0 𝜔𝑖 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑖𝑡 1 𝜔𝑖 0 𝑡 𝑄𝑖 𝜏 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑖 𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑖 12 𝑛 𝑞 0 𝑋 𝑇 𝑚 𝑥 0 𝑞 0 𝑋 𝑇 𝑚 𝑥 0 𝑞 0 𝑞1 0 𝑞𝑛 0 𝑞 0 𝑞1 0 𝑞𝑛 0 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥𝑛 0 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥𝑛 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 11 Exemplo 615 Resposta de vibração livre utilizando análise modal Utilizando análise modal determine a resposta de vibração livre do sistema com 2 graus de liberdade cujas equações de movimento são Considere os seguintes dados 𝑚1 10 𝑚2 1 𝑘1 30 𝑘2 5 𝑘3 0 e 𝑚1 0 0 𝑚2 𝑥1 𝑥2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑥1 𝑥2 𝐹 0 0 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥2 0 1 0 𝑥 0 𝑥1 0 𝑥2 0 0 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 12 Exemplo 616 Resposta de vibração forçada de um martelo de forjar A força que age sobre a peça de trabalho submetida ao martelo de forjar na figura resultante do impacto do martelo pode ser aproximada como um impulso retangular como mostra a figura Determine a vibração resultante do sistema para os seguintes dados massa da peça a forjar bigorna e estrutura 𝑚1 200 𝑀𝑔 massa do bloco da base 𝑚2 250 𝑀𝑔 rigidez do coxim elástico 𝑘1 150 𝑀𝑁𝑚 e rigidez do solo 𝑘2 75 𝑀𝑁𝑚 considere os deslocamentos iniciais e velocidades iniciais das massa como zero Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 13 Portanto a equação de Lagrange pode ser escrita como 615 Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso A análise modal como apresentada aplicase só a sistemas não amortecidos Se a resposta dos sistema for exigida para um período longo o amortecimento deve ser considerado É conveniente introduzir uma função dissipação de Rayleigh A equação de movimento na forma matricial é expresso por Considerando a matriz de amortecimento como combinação linear das matrizes massa e rigidez amortecimento proporcional 𝑅 1 2 𝑥𝑇 𝑐 𝑥 6117 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 𝑥𝑖 𝑇 𝑥𝑖 𝑅 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑖 𝐹𝑖 𝑖 12 𝑛 6118 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 𝑐 𝛼 𝑚 𝛽 𝑘 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 14 Se os autovetores forem normalizados a equação reduzse a Substituindo na equação de movimento temos Expressando a solução como combinação linear dos modos naturais do sistema não amortecido A equação anterior pode ser reescrita como Prémultiplicando a equação por 𝑋 𝑇 temos Isto é 𝑚 𝑥 𝛼 𝑚 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 6161 𝑥 𝑡 𝑋 𝑞 𝑡 𝑚 𝑋 𝑞 𝑡 𝛼 𝑚 𝛽 𝑘 𝑋 𝑞 𝑡 𝑘 𝑋 𝑞 𝑡 𝐹 𝑡 6123 𝑋 𝑇 𝑚 𝑋 𝑞 𝛼 𝑋 𝑇 𝑚 𝑋 𝛽 𝑋 𝑇 𝑘 𝑋 𝑞 𝑋 𝑇 𝑘 𝑋 𝑞 𝑋 𝑇 𝐹 𝐼 𝑞 𝑡 𝛼 𝐼 𝛽 𝜔2 𝑞 𝑡 𝜔2 𝑞 𝑡 𝑄 𝑡 𝑞𝑖 𝑡 𝛼 𝜔𝑖2𝛽 𝑞𝑖 𝑡 𝜔𝑖2𝑞𝑖 𝑡 𝑄𝑖 𝑡 𝑖 12 𝑛 6125 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 15 e Escrevendo onde 𝜉𝑖 é o fator de amortecimento modal para o iésimo modo normal E a equação pode ser escrita como A solução do sistema para 𝜉𝑖 1 é onde O amortecimento proporcional é suficiente mas não necessária para a existência de modos normais em sistemas amortecidos A condição necessária é que a transformação que diagonaliza a matriz de amortecimento também desacople as equações de movimento acopladas No caso geral a matriz de amortecimento não pode ser diagonalizada simultaneamente com as matrizes de massa e rigidez 𝑄 𝑡 𝑋 𝑇 𝐹 𝑡 𝛼 𝜔𝑖2𝛽 2𝜉𝑖𝜔𝑖 𝑞𝑖 𝑡 2𝜉𝑖𝜔𝑖 𝑞𝑖 𝑡 𝜔𝑖2 𝑞𝑖 𝑄𝑖 𝑡 𝑖 12 𝑛 1 𝜔𝑑𝑖 0 𝑡 𝑄𝑖 𝜏 𝑒𝜉𝑖𝜔𝑖𝑡𝜏 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑖𝑡 𝜏 𝑑𝜏 𝑖 12 𝑛 𝜔𝑑𝑖 𝜔𝑖 1 𝜉𝑖 2 𝑞𝑖 𝑡 𝑒𝜉𝑖𝜔𝑖𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑖𝑡 𝜉𝑖 1 𝜉𝑖 2 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑖 0 1 𝜔𝑑𝑖 𝑒𝜉𝑖𝜔𝑖𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑖𝑡 𝑞 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 16 Exemplo 617 Equações de movimento de um sistema dinâmico Deduza as equações de movimento do sistema mostrado na figura Fig 615 Sistema dinâmico com 3 graus de liberdade Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 17 Exemplo 618 Resposta de regime permanente de um sistema forçado Determine a resposta de regime permanente do sistema mostrado na figura quando as massa estão sujeitas às forças harmônicas simples 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 onde 𝜔 175 𝑘𝑚 Considere que 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑚 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 𝑐4 𝑐5 0 e que o fator de amortecimento em cada modo normal é dado por 𝜉𝑖 001 𝑖 123 Fig 615 Sistema dinâmico com 3 graus de liberdade Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 18 Em vários sistemas amortecidos o atrito resulta em amortecimento negativo que leva a instabilidade ou vibração autoexcitada Em geral para um sistema com 𝑛 gdl temse 616 Autoexcitação e análise de estabilidade Supomos uma solução é do tipo ou onde 𝑠 é um complexo a ser determinado 𝐶𝑗 é a amplitude de 𝑥𝑗 e Substituindo na equação de vibração livre dá como resultado Para uma solução não trivial temos que A expansão resulta num polinômio em 𝑠 de ordem 𝑚 2𝑛 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 6131 𝑥𝑗 𝑡 𝐶𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑗 12 𝑛 𝑥 𝑡 𝐶𝑒𝑠𝑡 𝐶𝑇 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑛 𝑚 𝑠2 𝑐 𝑠 𝑘 𝐶𝑒𝑠𝑡 0 𝐷 𝑠 𝑚 𝑠2 𝑐 𝑠 𝑘 0 𝐷 𝑠 𝑎0𝑠𝑚 𝑎1𝑠𝑚1 𝑎2𝑠𝑚2 𝑎𝑚1𝑠 𝑎𝑚 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 19 Se 𝑏𝑗 0 𝑒𝑏𝑗𝑡 é decrescente é um sistema estável Se pelo menos um valor de 𝑏𝑗 0 𝑒𝑏𝑗𝑡 é crescente é um sistema instável Se 𝑠𝑗 𝑖𝜔𝑗 𝑒𝑖𝜔𝑗𝑡 é oscilatório é um sistema marginalmente estável Se o sistema possuir raízes múltiplas do tipo imaginárias 𝑠𝑗 𝑖𝜔𝑗 a solução é do tipo 𝑒𝑖𝜔𝑗𝑡 𝑡𝑒𝑖𝜔𝑗𝑡 𝑡2𝑒𝑖𝜔𝑗𝑡 é um sistema instável A estabilidade ou instabilidade dependem das raízes de Ds Seja Utilizando o critério de estabilidade de RouthHurwitz para investigar a instabilidade do sistema definindo o seguinte determinante de mésima ordem Subdeterminantes Condição necessária e suficiente para a estabilidade são 𝑠𝑗 𝑏𝑗 𝑖𝜔𝑗 𝑗 12 𝑚 6136 𝑇𝑚 𝑎1 𝑎0 0 𝑎3 𝑎2 0 𝑎2𝑚1 𝑎2𝑚2 𝑎𝑚 𝑇1 𝑎1 𝑇2 𝑎1 𝑎3 𝑎0 𝑎2 𝑇3 𝑎1 𝑎3 𝑎5 𝑎0 𝑎2 𝑎4 0 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑖 0 𝑖 012 𝑚 𝑇𝑗 0 𝑗 012 𝑚 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade Lista de símbolos 20 𝑚 Massa 𝑥 Aceleração 𝐹 Força resultante 𝑘 Constante elástica 𝑥 Deslocamento 𝑥 Velocidade 𝑅 Função de dissipação de Rayleigh 𝑄 Força generalizada não conservativa 𝑞 Coordenada generalizada 𝜉 Fator de amortecimento modal Frequência natural do sistema